常微分方程教學(xué)中逆向思維能力的培養(yǎng)

王艷艷

(安徽工業(yè)大學(xué) 數(shù)理科學(xué)與工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243002)

逆向思維，也稱求異思維，它是對司空見慣的似乎已成定論的事物或觀點反過來思考的一種思維方式。當(dāng)眾人都朝著一個固定的思維方向思考問題時，朝相反的方向思索，這樣的思維方式就叫逆向思維。在工科高等數(shù)學(xué)常微分方程章節(jié)的教學(xué)過程中，通常是給出一類方程后，講解該類方程的求解方法并要求學(xué)生能熟練求解該類方程，以便在以后的解題過程中遇到該類方程就可以得心應(yīng)手地解決，從而節(jié)省時間和精力，這就是應(yīng)用了思維定勢的正效應(yīng)。但是，思維定勢的存在也會束縛我們的思維，使人們只用常規(guī)方法去解決問題，因而會給解決問題帶來一些消極影響，對創(chuàng)新會起到阻礙作用，容易使人養(yǎng)成機(jī)械地、呆板地解決問題的習(xí)慣，從而妨礙人們充分發(fā)揮自己的主觀能動性去靈活思考和解決問題，這也正是過去存在所謂“高分低能”現(xiàn)象的根源所在[1]。在講授常微分方程章節(jié)時利用逆向思維去思考和處理一些特定的數(shù)學(xué)情景、數(shù)學(xué)題型，可以幫助學(xué)生開拓視野，打破思維定勢，以“出奇”達(dá)到“制勝”，從而拓寬學(xué)生的思維，訓(xùn)練其思維能力。

一、整體章節(jié)對逆向思維的培養(yǎng)

在研究客觀事物的規(guī)律時，常常需要研究反映客觀事物規(guī)律的那些量之間的函數(shù)關(guān)系。但在很多情況下，很難直接找出這些函數(shù)關(guān)系，而是建立函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)或微分之間的關(guān)系式，這就是微分方程。其理論及方法是解決幾何學(xué)問題、物理學(xué)問題和其他各類實際問題的重要數(shù)學(xué)工具。目前，微分方程在自動控制、彈道設(shè)計、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性等許多領(lǐng)域都有極其廣泛的應(yīng)用。在高等數(shù)學(xué)常微分方程章節(jié)的教學(xué)過程中，常微分方程求解的最根本的思想就是求導(dǎo)或微分的逆運算，即逆向思維的使用。在學(xué)習(xí)常微分方程之前，學(xué)生已經(jīng)掌握了給定函數(shù)如何求出其導(dǎo)數(shù)或微分。而在常微分方程中，問題變成借助函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，反其道而行之來確定函數(shù)或函數(shù)族。在本章節(jié)的教學(xué)之初，給學(xué)生提出這樣一個問題：已知函數(shù)是y=x2,其導(dǎo)數(shù)或微分是多少？

二、例題教學(xué)對逆向思維的培養(yǎng)

在常微分方程章節(jié)的教學(xué)過程中，我們的教學(xué)模式通常是介紹一類方程，然后講解該類方程的求解方法，比如，在介紹二階線性常系數(shù)方程的通解時，我們都是按照先介紹如何求二階常系數(shù)齊次線性方程的通解，再講授如何求二階常系數(shù)非齊次方程的特解，從而二者相加得到所求非齊次通解，這是正向的思維。然而該章節(jié)的很多題型卻并不是直接的正向思維的題型，必須借助逆向思維才能解決。

1.借助通解給出微分方程

(A)sinx·y″-2cosx·y′=x

(B)cosx·y″-2sinx·y′=x

(C)sinx·y″-2cosx·y′=0

(D)cosx·y″-2sinx·y′=0

在常微分方程章節(jié)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生比較習(xí)慣的思維是給出方程，求其通解或特解，而這樣一個選擇題卻反其道而行之，把通解作為已知條件來找合適的方程，這就打破了學(xué)生的正向思維。在該題中，所給的方程學(xué)生是無法求解的，只能通過逆向思維，根據(jù)通解判斷出選項(B)正確，從而強(qiáng)化了逆向思維。

2.已知特解求方程

例2 某四階常系數(shù)齊次線性微分方程的兩個特解y1=xex和y2=sinx，求此微分方程[2]。

解：由解的結(jié)構(gòu)以及y1=xex為方程的解可知r1=1至少為特征方程的二重根。

由y2=sinx是方程的一個特解可得r3=i,r4=-i至少為特征方程的一對共軛復(fù)根。而四階常系數(shù)齊次線性微分方程的特征方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)只能有4個根，故所求方程的特征方程為

(r-1)2(r-i)(r+i)=0,

展開后借助特征方程和微分方程的一一對應(yīng)，得到所求方程為

y(4)-2y″′+2y″-2y′+y=0

在該例題中，將求高階常系數(shù)齊次方程通解的通用方法反過來使用，充分使用了逆向思維，使問題得到快速解決。該題求解過程中的每一步思路都用到了逆向思維。求解過程的第一步是通過特解得到特征根，這正是高階常系數(shù)線性微分方程求解方法中通過特征根給出相應(yīng)特解的逆運算。在高階常系數(shù)線性微分方程求解方法中首先就要根據(jù)微分方程寫出其對應(yīng)的特征方程，而解題過程中的第二步通過特征方程從而得到常微分方程恰恰就是該過程的逆運算。逆向思維的使用在該題型中得到了充分的訓(xùn)練。

3.逆向思維求特殊方程的解

例3 解微分方程[3]

y″+2y=sinx,y(0)=0,y′(0)=1

對該題常規(guī)的解法是根據(jù)其對應(yīng)的齊次方程，給出特征方程，求出特征根，給出兩個線性無關(guān)的齊次特解，從而得到齊次通解；再根據(jù)方程右端和特征根，形式地給出該方程的一個特解，利用待定系數(shù)法確定該特解，從而得到所給方程的通解；最后根據(jù)定解條件確定所求通解中的兩個任意常數(shù)，從而解決該問題。這種解法計算量相對比較大，計算步驟較多。而利用逆向思維，借助方程特點及方程與特解間的常見聯(lián)系，可以預(yù)估出該問題的特解具有y=csinx的形式，再回歸方程確定c=1，從而使問題得到輕松解決。通過這樣的題型設(shè)置會讓學(xué)生對逆向思維的出其不意有深刻的印象，從而在強(qiáng)化逆向思維的同時也引導(dǎo)了學(xué)生主動使用逆向思維的興趣。

4.提高方程的階數(shù)來求解方程

對于高階方程，除了線性方程，都會考慮能否將其階數(shù)減低，甚至降到一階方程，通過低階的解從而得到高階方程的解。而對于一階微分方程，直接的反應(yīng)就是根據(jù)方程特點直接求解，幾乎不會考慮將其從一階方程變成高階方程來求解。然而，對于一些特殊的一階線性微分方程，升階法也是行之有效的方法。

例4 解一階線性微分方程[4]

y′+y=e-x

對于該方程，學(xué)生腦海中的第一反應(yīng)就是通過公式或常數(shù)變易法給出其通解，但是在這兩種方法之外，升階法同樣可以解決該問題。其思路是將所給的一階線性微分方程轉(zhuǎn)化為二階常系數(shù)齊次線性微分方程，再借助特征方程和特征根給出該二階方程的通解；將該通解帶入原始方程從而確定原始方程的通解。這種方法雖然適用的范圍有局限性，但是它打破了一成不變的降階法，引導(dǎo)學(xué)生從多角度、多方位考慮問題，訓(xùn)練了其逆向思維。

三、結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生優(yōu)先接觸的都是正向的運算，在大量正向思維的訓(xùn)練下，在解決問題時逆向思維難以發(fā)生。而常微分方程章節(jié)的教學(xué)可以彌補(bǔ)這樣的不足，該章節(jié)本身就是微分運算的逆運算，整個章節(jié)都需要用到微分的逆運算，從而自始至終地引導(dǎo)學(xué)生建立逆向思維，而在上述具體問題中，更加強(qiáng)化了逆向思維的訓(xùn)練，培養(yǎng)了學(xué)生逆向思維的能力，加深對問題的認(rèn)識，使其能夠在解決問題時獲得最佳的途徑和方法，能夠擺脫思維的僵化和刻板，新穎地處理問題，把學(xué)生的思維帶入更廣闊的佳境，使思維更加開放、擴(kuò)散。