數(shù)學方法在計算全要素生產(chǎn)率中的應用

張文哲 余玲玲

【摘要】 本文從數(shù)學角度對全要素生產(chǎn)率（TFP）的計算方法進行闡述，描述所用到的數(shù)學工具.思想方法以及技巧，熟悉該領域的數(shù)理方法，為學習更高級的經(jīng)濟學理論打下基礎.

【關鍵詞】數(shù)學方法;全要素生產(chǎn)率;應用

1 引 言

關于全要素生產(chǎn)率（TFP）的研究，除了知道它的具體含義，一個很重要的問題是怎樣去計算它.這個問題目前仍然可以討論，比如對于國內TFP增長率的估算存在分歧，不同學者之間測算結果大不相同，國內外目前沒有一個統(tǒng)一的測算標準.本文的焦點不在于討論TFP的內涵以及測算的分歧，而在于關注目前計算全要素生產(chǎn)率所用到的數(shù)學方法和工具，從增長核算法、生產(chǎn)函數(shù)法、隨機前沿分析法（SFA）以及數(shù)據(jù)包絡分析法（DEA）這四種主要方法分類闡述TFP變動背后所涉及的數(shù)學理論和方法.

2 增長核算法

從投入產(chǎn)出率的角度出發(fā)，需要假設生產(chǎn)函數(shù)的形式.設一生產(chǎn)周期內有投入向量X≡x1，x2，…，xnT，對應產(chǎn)出Y，時間變量t，以及動態(tài)生產(chǎn)函數(shù)Y=f（X，t）.

3 生產(chǎn)函數(shù)法

通過建立數(shù)學模型描述投入變量與產(chǎn)出變量之間的關系，實際上是數(shù)學中函數(shù)思想在經(jīng)濟學中的一個重要應用.在描述經(jīng)濟增長時，通常涉及增長核算方程，一般的西方經(jīng)濟學教材中主要介紹的是C-D生產(chǎn)函數(shù)Y=AKaN1-a，其中Y為總產(chǎn)出，K為資本投入，L為勞動投入，A為經(jīng)濟技術狀況，a為0到1的參數(shù).在計算TFP的變動時，通常會用“索洛剩余”的方法來測算，具體是首先采用取對數(shù)的技巧將函數(shù)乘積形式轉化為對數(shù)加減形式，再使用最小二乘法來估計參數(shù).

通過觀察以上推導過程可以看到高等數(shù)學的微分學理論在經(jīng)濟學領域中的應用，具體來說首先是建立生產(chǎn)函數(shù)，然后使用多元函數(shù)的偏導數(shù)理論，通過結合多元復合函數(shù)的求導法則以及二階泰勒展開技巧得出所對應的增長率公式.

4 隨機前沿分析法

關于參數(shù)和隨機變量的估計，可使用極大似然估計（ML）和修正的普通最小二乘法（COLS），也可通過廣義矩估計、貝葉斯估計等方法來改進隨機前沿分析法.此部分內容較多涉及概率統(tǒng)計方面的技巧方法.

5 數(shù)據(jù)包絡分析法

從投入-產(chǎn)出的二維幾何平面上看，線性回歸模型試圖通過一條直線來擬合實驗數(shù)據(jù)，而數(shù)據(jù)包絡分析（DEA）方法則通過多個平面相交將離散的數(shù)據(jù)點緊密的包絡在一起.

6 總結

不同于TFP的實證研究，本文從數(shù)學角度初步介紹和分析了計算TFP的方法，主要討論了四種方法，分別是增長核算法、生產(chǎn)函數(shù)法、隨機前沿分析法和數(shù)據(jù)包絡分析法.前三種方法為參數(shù)法，通常首先是利用函數(shù)的思想建立數(shù)學模型，通過模型建立各經(jīng)濟變量之間的聯(lián)系.然后通過數(shù)學變換以及微積分理論進行分析，得到特定模型下的TFP增長率計算公式;而DEA方法則是非參數(shù)的，它利用了集合的思想建立生產(chǎn)可能集，然后由此引入距離函數(shù)，再通過線性規(guī)劃方法來估算，特別是使用Malmquist生產(chǎn)率指數(shù)得到綜合生產(chǎn)率指數(shù)，使得TFP的變動得以刻畫.

本文的討論希望能夠增進對于TFP領域數(shù)理方法和理論的了解，為學習更高級的經(jīng)濟學理論打下基礎.

【參考文獻】

[1]章祥蓀， 貴斌威.中國全要素生產(chǎn)率分析：Malmquist指數(shù)法評述與應用[J].數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究， 2008（6）：111-122.

[2]陽國亮， 何元慶.全要素生產(chǎn)率增長的度量方法[J].學術論壇， 2005（6）：93-96.

[3]沈漢溪.中國經(jīng)濟增長源泉分解——基于Solow增長核算、SFA和DEA的比較分析[D].杭州：浙江大學，2007.

[4]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學（下冊）：第七版[M].北京：高等教育出版社，2014.