MKT視角下的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

李悅 沈潔

摘要：

盡管研究者對于教師知識分類的研究不盡相同，但“學(xué)科內(nèi)容知識”（SMK）和“教學(xué)內(nèi)容知識”（PCK）都是研究核心。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，SMK和PCK的概念逐漸被精細(xì)化，美國密歇根大學(xué)的Ball教授及其研究團(tuán)隊提出的“面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識”（簡稱MKT理論）已成為研究數(shù)學(xué)教師知識的熱點問題。本文將該理論應(yīng)用于“函數(shù)的奇偶性”的教學(xué)實踐中，借助視頻分析法來分析一線教師在MKT各個子類上的表現(xiàn)，為實際教學(xué)提供新的研究視角，關(guān)注一線教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識。

關(guān)鍵詞：MKT理論;函數(shù)的奇偶性;學(xué)科內(nèi)容知識;教學(xué)內(nèi)容知識

一、引言

教育的基本要素是教育者、受教育者、教育媒介，三者缺一不可。在學(xué)校教育中，教師是教育的主導(dǎo)者，是保證教育質(zhì)量的關(guān)鍵。優(yōu)秀的教師不僅需要具備深厚的學(xué)科知識，還需具有專業(yè)的教學(xué)知識。高質(zhì)量的學(xué)校教育，對教師的要求更嚴(yán)格，教師不僅要有專業(yè)的學(xué)科知識，還要又將學(xué)科知識落實到實處的能力。MKT理論將數(shù)學(xué)教師知識分為六類，分別是：數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識、一般內(nèi)容知識、專門內(nèi)容知識、內(nèi)容與學(xué)生知識，內(nèi)容與教學(xué)知識以及內(nèi)容與課程知識。本文以《函數(shù)的奇偶性》教學(xué)為例，以MKT框架為理論基礎(chǔ)，在理清知識內(nèi)涵和分類的基礎(chǔ)上探尋高中數(shù)學(xué)教師在課堂教學(xué)中涉及到的知識，并將本節(jié)課錄制成錄像，通過課堂教學(xué)錄像將教師與學(xué)生的每一句話轉(zhuǎn)化為課堂文字稿，對每個環(huán)節(jié)的細(xì)節(jié)進(jìn)行編碼分析，希望可以促進(jìn)數(shù)學(xué)教師對教學(xué)的分析、學(xué)生思維的分析以及反思教學(xué)等。

二、研究過程與方法

本文研究的對象是大連市某高中高一數(shù)學(xué)教師，以其所講授的《函數(shù)的奇偶性》為例。研究者在聽課之前分析該名教師的教案，之后下到課堂聽課，課后與該教師進(jìn)行訪談交流，對整節(jié)課進(jìn)行錄像并全部轉(zhuǎn)錄成文字，借助MKT理論框架分析教師的MKT情況。

該名教師授課流程如下：

1、 創(chuàng)設(shè)情境，提出問題：教師與學(xué)生共同回憶初中學(xué)習(xí)過的軸對稱和中心對稱知識，探討在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)關(guān)于軸對稱和中心對稱的變化規(guī)律，從學(xué)生已有的知識出發(fā)，創(chuàng)設(shè)輕松愉快的探索情境，引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2、 觀察歸納，形成概念：從熟悉的知識轉(zhuǎn)入對具體函數(shù)y=x＼+2，y=|x|的圖象及數(shù)量規(guī)律的研究，設(shè)計三個問題引導(dǎo)學(xué)生從感受圖象特征轉(zhuǎn)變?yōu)樘骄繑?shù)量規(guī)律。教師適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生初步得出偶函數(shù)定義，教師進(jìn)一步完善定義，并強(qiáng)調(diào)判斷偶函數(shù)的前提是判斷函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱。

3、 類比推理，深化理解：類比偶函數(shù)定義，學(xué)生能順利得出奇函數(shù)的定義，此時教師提高要求讓學(xué)生盡可能用精確的數(shù)學(xué)語言敘述奇函數(shù)的定義，同時得出奇函數(shù)定義域的特點。

4、 強(qiáng)化定義，深化內(nèi)涵：根據(jù)定義判斷一個函數(shù)的奇偶性是本節(jié)課的教學(xué)重點，通過對課堂例題的練習(xí)與講解，師生共同探討得出解此類題的一般過程，使學(xué)生體會到函數(shù)奇偶性的數(shù)與形的聯(lián)系。

三、MKT各子類表現(xiàn)分析

1、 數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識（HCK）

HCK代表數(shù)學(xué)水平內(nèi)容知識，橫向來看，教師應(yīng)了解不同數(shù)學(xué)內(nèi)容在不同課程、不同方面之間的聯(lián)系[1]?？v向來看，教師應(yīng)知道同一知識在學(xué)生的不同學(xué)段的前后聯(lián)系。本節(jié)課教師從初中的軸對稱和中心對稱知識入手，通過學(xué)生熟知的函數(shù)，y=x＼+2，y=|x|，讓學(xué)生初步感受函數(shù)奇偶性在圖像上的反映。做到了知識間的承接，強(qiáng)調(diào)了知識脈絡(luò)間的聯(lián)系，但缺乏對知識的橫向聯(lián)系。

2、 一般內(nèi)容知識（CCK）

CCK代表一般內(nèi)容知識，是指針對所有學(xué)生來說都必須掌握的數(shù)學(xué)知識與技能，即“純”的數(shù)學(xué)知識，是跟教師的教學(xué)方法無關(guān)的知識本身[4]。具有良好的數(shù)學(xué)一般內(nèi)容知識的教師應(yīng)該充分理解奇、偶函數(shù)的概念及其相關(guān)性質(zhì)。本節(jié)課該名教師熟練掌握函數(shù)的奇偶性的概念，并可以快速的判斷出給定的函數(shù)的奇偶性。

3、 專門內(nèi)容知識（SCK）

SCK代表專門內(nèi)容知識，是進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)必備的專業(yè)化、獨特的數(shù)學(xué)學(xué)科知識，比教給學(xué)生的知識更豐富，更深刻[3]。對于一堂課而言，最重要的是教師要明確本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，并運用專門內(nèi)容知識完成一堂課的教學(xué)目標(biāo)。

該名教師典型例題的選取具有自己的獨特理解，難度梯度依次遞增，每一道例題都會引出函數(shù)奇偶性的相關(guān)知識點。在課堂上能夠分析學(xué)生做題錯誤產(chǎn)生的原因，當(dāng)學(xué)生給出非常規(guī)的解答時能迅速做出判斷并給予點評。

4、 內(nèi)容與教學(xué)知識（KCT）

KCT是指綜合學(xué)科知識內(nèi)容和教學(xué)實踐兩方面的知識，既具有理論性又具有實踐性。

該名教師采用學(xué)案式教學(xué)，學(xué)案中的題目雖然全部選自新教材的內(nèi)容，但不拘泥于教材，新教材探索與發(fā)現(xiàn)中不以題目形式出現(xiàn)的思考反問部分，該教師都將其編成數(shù)學(xué)題，選題遍布整本教材包括課后習(xí)題，章末練習(xí)題，全書最后的復(fù)習(xí)題等。教師充分依據(jù)學(xué)生的認(rèn)知水平及自己對教材的解讀對書上的內(nèi)容進(jìn)行改編，活躍的課堂充分體現(xiàn)了“以學(xué)生為主體”的授課理念，使學(xué)生成為課堂的主人，能夠讓學(xué)生更加深入地思考內(nèi)容，培養(yǎng)了學(xué)生的思維能力，體現(xiàn)出該教師較高的教學(xué)知識水平。

5、 內(nèi)容與學(xué)生知識（KCS）

KCS指教師對學(xué)生在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的學(xué)習(xí)能力、思維方式和學(xué)習(xí)困難上的了解程度，對于學(xué)生的思維方式及錯誤的知識有預(yù)見性，并能采取相應(yīng)的應(yīng)對措施[2]。

本節(jié)課該教師設(shè)定的教學(xué)重點是函數(shù)奇偶性的概念及其圖像特征，難點是對函數(shù)奇偶性的判斷。在課堂上教師通過探究式教學(xué)引導(dǎo)學(xué)生分析函數(shù)y=x＼+2，y=|x|圖像，得出偶函數(shù)的定義。學(xué)生對于函數(shù)奇偶性的理解與掌握較好，但在判斷函數(shù)奇偶性的時候，部分同學(xué)會遺忘判斷函數(shù)的奇偶性需要先判斷函數(shù)的定義域。在強(qiáng)化學(xué)習(xí)部分，教師引導(dǎo)學(xué)生探究函數(shù)奇偶性與單調(diào)性之間的關(guān)系，得出如果y=f（x）是偶函數(shù)，那么其在

x>0與x<0時的單調(diào)性相反;如果y=f（x）是奇函數(shù)，那么其在x>0與x<0時的單調(diào)性相同。進(jìn)而得出利用函數(shù)奇偶性與單調(diào)性比較函數(shù)值的大小的相關(guān)題型。分析發(fā)現(xiàn)，該名教師無法完全預(yù)測學(xué)生的課堂表現(xiàn)狀況，但成功預(yù)測了學(xué)生的難點。

6、 內(nèi)容與課程的知識（KCC）

KCC是指教師能夠根據(jù)教科書的知識體系，了解知識來源。要求教師在理解新課程標(biāo)準(zhǔn)的基礎(chǔ)上深度挖掘教材、熟悉教材，摸清教材編寫者的意圖，同時也該了解本節(jié)內(nèi)容在教材中占據(jù)的地位及作用。具有良好內(nèi)容與課程知識的教師，對教學(xué)內(nèi)容了然于心，對教學(xué)過程有充分準(zhǔn)備。從課前知識的預(yù)設(shè)到課程的實施，再到課后的鞏固與練習(xí)，教師都應(yīng)保持清晰思路。針對本節(jié)課而言，教師應(yīng)該知道函數(shù)的奇偶性的教學(xué)安排在哪個學(xué)段，有關(guān)函數(shù)圖像的對稱性、初中階段學(xué)習(xí)的對稱關(guān)系在教材中是如編排的，該如何安排函數(shù)奇偶性的發(fā)生與發(fā)展。

本節(jié)課教師從學(xué)生熟知的函數(shù)圖像入手，引導(dǎo)學(xué)生從對稱的角度思考自變量互為相反數(shù)的兩個數(shù)的函數(shù)值的關(guān)系。教師與學(xué)生共同回憶軸對稱圖形和中心對稱圖形的特征，以及給定點坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系不同象限中的數(shù)量關(guān)系，這樣做既有助于理解新知識，又促進(jìn)學(xué)生對知識的直觀想象。該教師能夠引導(dǎo)學(xué)生以核心知識為重點，建立知識的多元表征，建構(gòu)課程內(nèi)容間的聯(lián)系，幫助學(xué)生突破難點，由于對課堂探討實踐及課堂節(jié)奏把握不夠，出現(xiàn)拖堂的情況。從總體上來說，該教師的KCC的知識水平整體表現(xiàn)較好，但還有一定的提升空間。

四、結(jié)論

本研究利用MKT理論對高中一線數(shù)學(xué)教師的知識分析得出，該教師的CCK水平明顯高于HCK，SCK，KCS，KCC，KCT五類水平，教師沒有出現(xiàn)數(shù)學(xué)知識錯誤，而本節(jié)課的KCS水平明顯低于其余五類的水平。當(dāng)然，決定一堂課的教學(xué)效果的因素不僅只有這些，教師本身的素質(zhì)、人格魅力也都是做好教學(xué)的必要條件，也是教師教學(xué)知識體系中的重要組成部分。MKT的框架可以用來指導(dǎo)教師上課，也可以用作評課的一種框架。將MKT理論與課堂教學(xué)緊密聯(lián)系起來，以MKT的視角對學(xué)科的教學(xué)進(jìn)行研究既具有理論意義，又具有實際意義。

[參考文獻(xiàn)]

[1]龐雅麗，李士锜.職前數(shù)學(xué)教師MKT現(xiàn)狀的調(diào)查研究[J]數(shù)學(xué)通報，2012，51（08）：8.

[2]徐章韜，顧泠沅.面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識[J]教育發(fā)展研究，2011，31（06）：53-57.

[3]陳艷.初中數(shù)學(xué)教師面向教學(xué)的數(shù)學(xué)知識現(xiàn)狀的案例研究[D].四川師范大學(xué)，2016.

[4]董濤.基于PCK結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)課例分析程序與特征[J].課程、教材、教法，2015（11）.

基金項目：沈潔 國家自然科學(xué)基金項目，網(wǎng)絡(luò)通訊中的優(yōu)化模型與近似束方法，61877032.

（作者單位：遼寧師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，遼寧 大連 116029）