滲透數(shù)學(xué)思想 凸顯核心素養(yǎng)

劉玉文

摘?要：數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心部分，數(shù)學(xué)思想貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中在2019年高考三角函數(shù)試題中，滲透著諸多數(shù)學(xué)思想，凸顯對(duì)核心素養(yǎng)的考查，值得我們重視和探究.

關(guān)鍵詞：高考;三角函數(shù);數(shù)學(xué)思想;核心素養(yǎng)

數(shù)學(xué)思想是分析、處理和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本想法，是對(duì)數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)課程目標(biāo)的集中體現(xiàn)，它是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中逐步形成的，是具有數(shù)學(xué)基本特征、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所需要的知識(shí)、能力和思維品質(zhì)數(shù)學(xué)思想不僅是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的核心部分，也貫穿在數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中許多三角函數(shù)問(wèn)題，若能靈活運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)思想，往往能快速、準(zhǔn)確地找到解題思路，從而得到便捷的解法本文以2019年高考三角函數(shù)試題為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)思想在三角函數(shù)中的運(yùn)用以及其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的凸顯，以達(dá)到拋磚引玉之功效.

1?數(shù)形結(jié)合思想

數(shù)形結(jié)合可以使抽象的、復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，通過(guò)幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來(lái)在學(xué)習(xí)三角函數(shù)的過(guò)程中，應(yīng)把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖形之中，充分利用三角函數(shù)的圖象來(lái)解決問(wèn)題.

例1?（2019年全國(guó)Ⅱ卷理科第9題）下列函數(shù)中，以π2為周期且在區(qū)間（π4，π2）單調(diào)遞增的是（?）.

A f（x）=cos2x?Bf（x）=sin2x

C f（x）=cosx?D f（x）=sinx

解析?作出f（x）=sinx的圖象如圖1，知其不是周期函數(shù)，排除D;

因?yàn)閒（x）=cosx=cosx，周期為2π，排除C;

作出f（x）=cos2x圖象如圖2，由圖象知，其周期為π2，在區(qū)間（π4，π2）單調(diào)遞增，A正確;

作出f（x）=sin2x的圖象如圖3，由圖象知，其周期為π2，在區(qū)間（π4，π2）單調(diào)遞減，排除B，故選A.

評(píng)注?數(shù)形結(jié)合可以將抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成直觀的幾何問(wèn)題求解，使抽象思維和形象思維有機(jī)結(jié)合.本題通過(guò)作出函數(shù)f（x）=sin|x|，f（x）=|cos2x|以及f（x）=|sin2x|的圖象，再結(jié)合圖象直觀分析函數(shù)的周期以及函數(shù)在區(qū)間（π4，π2）的單調(diào)性，即可作出選擇.本題滲透了數(shù)形結(jié)合的思想方法，凸顯了對(duì)直觀想象、邏輯推理等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

2?化歸與轉(zhuǎn)化思想

化歸與轉(zhuǎn)化思想是指研究解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，采用某種手段將問(wèn)題通過(guò)變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問(wèn)題得到解決的一種解題策略在實(shí)踐中一般有以下幾種方法：（1）未知化為已知;（2）特殊化為一般;（3）一般化為特殊;（4）等價(jià)轉(zhuǎn)化.

例2?（2019年浙江卷第16題）設(shè)函數(shù)f（x）=sinx，x∈R.

（1）已知θ∈0，2π，函數(shù)f（x+θ）是偶函數(shù)，求θ的值;

（2）求函數(shù)y=f（x+π12）2+f（x+π4）2的值域.

解析?（1）因?yàn)閒（x+θ）=sin（x+θ）是偶函數(shù)，

所以對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有sin（x+θ）=sin（-x+θ）.

即 sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ.

故2sinxcosθ=0.所以cosθ=0.

又θ∈0，2π，因此θ=π2或3π2.

（2）y=f（x+π12）2+f（x+π4）2

=sin2（x+π12）+sin2（x+π4）

=1-cos（2x+π6）2+1-cos（2x+π2）2

=1-12（ 32cos2x-32sin2x）

=1- 32cos（2x+π3）.

因此，函數(shù)的值域是1- 32，1+ 32.

評(píng)注?本題第（1）問(wèn)的解答關(guān)鍵是以函數(shù)f（x+θ）是偶函數(shù)為切入點(diǎn)，然后等式兩邊分別進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化;本題第（2）問(wèn)的解答關(guān)鍵是半角公式的逆用、輔助角公式的巧用、三角函數(shù)有界性的活用而得解，在對(duì)問(wèn)題的解答過(guò)程中，顯示出強(qiáng)大的轉(zhuǎn)化與化歸功能，有梯度，立意深刻，充分凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.

3?函數(shù)與方程思想

高考數(shù)學(xué)試題既有考查函數(shù)與方程思想的基本概念與基本性質(zhì)的客觀型試題，又有從深層次上對(duì)函數(shù)與方程思想進(jìn)行綜合考查的主觀型試題應(yīng)用函數(shù)與方程思想解題，要學(xué)會(huì)用變量來(lái)思考問(wèn)題，學(xué)會(huì)溝通已知與未知之間的關(guān)系.

例3?（2019年全國(guó)Ⅰ卷文第15題）函數(shù)f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx的最小值為.

解析?f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=-2（cosx+34）2+178.

因?yàn)?1≤cosx≤1，所以當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）min=-4.

故函數(shù)f（x）的最小值為-4.

評(píng)注?本題首先應(yīng)用誘導(dǎo)公式，通過(guò)轉(zhuǎn)化得到二倍角的余弦，再進(jìn)一步應(yīng)用二倍角的余弦公式，得到關(guān)于cosx的二次函數(shù)，從而得解在解題過(guò)程中體現(xiàn)了函數(shù)思想的運(yùn)用，凸顯了對(duì)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的考查.

例4?（2019年北京卷理）在△ABC中， a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B-C）的值.

解析?（1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得 b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因?yàn)閎=c+2，

所以 （c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5所以b=7.

（2）由cosB=-12得sinB= 32.

由正弦定理得sinC=cbsinB=5 314.

在△ABC中，∠B是鈍角，所以∠C為銳角.

所以cosC=1-sin2C=1114.

所以sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=4 37.

評(píng)注?解答本題第（1）問(wèn)的關(guān)鍵是以cosB=-12為切入點(diǎn)，利用b=c+2建立關(guān)于c的方程得解;本題第（2）問(wèn)考查正弦定理、兩角差的正弦公式的應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.

4?分類(lèi)討論思想

分類(lèi)討論的原則是分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一分類(lèi)要做到不重復(fù)、不遺漏，能不分類(lèi)的盡量不分類(lèi)，絕不無(wú)原則地分類(lèi)分類(lèi)的步驟有四步：（1）明確討論的對(duì)象;（2）確定分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn);（3）逐步進(jìn)行討論;（4）歸納小結(jié)總結(jié)出結(jié)論.

例5?（2019年江蘇卷第13題）已知tanαtan（α+π4）=-23，則sin（2α+π4）的值是.

解析?由tanαtan（α+π4）=tanαtanα+11-tanα=tanα（1-tanα）tanα+1=-23，得3tan2α-5tanα-2=0.

解得tanα=2或tanα=-13.

sin（2α+π4）=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4

= 22（sin2α+cos2α）

= 22（2sinαcosα+cos2α-sin2αsin2α+cos2α）

= 22（2tanα+1-tan2αtan2α+1）.

當(dāng)tanα=2時(shí)，上式= 22×2×2+1-2222+1= 210;

當(dāng)tanα=-13時(shí)，

上式= 22×2×（-13）+1-（-13）2（-13）2+1= 210.

綜上，sin（2α+π4）= 210.

評(píng)注?本題利用分類(lèi)討論和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題由題意首先求得tanα的值，然后利用兩角和的正弦公式和二倍角公式將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為齊次式求值的問(wèn)題，最后切化弦求得三角函數(shù)式的值即可該過(guò)程體現(xiàn)了三角化簡(jiǎn)求值的靈活性和綜合性，達(dá)到了訓(xùn)練、理解、思維品質(zhì)的梯度上升的目的，凸顯了對(duì)數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的考查.

5?整體思想

整體思想在三角函數(shù)中主要體現(xiàn)在利用整體代入、整體變形、整體換元、整體配對(duì)、整體構(gòu)造等進(jìn)行化簡(jiǎn)求值或研究函數(shù)性質(zhì)等.

例6?（2019年全國(guó)Ⅲ卷理科第18題）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC為銳角三角形，且c=1，求△ABC面積的取值范圍.

解析?（1）由題設(shè)及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA.

因?yàn)閟inA≠0，所以sinA+C2=sinB.

由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cosB2 .

故cosB2=2sinB2cosB2.

因?yàn)閏osB2≠0，故sinB2=12.

由0°

（2）由題設(shè)及（1）知△ABC的面積S△ABC= 34a.

由正弦定理得a=csinC·sinA=sin（120°-C）sinC= 32tanC+12.

由于△ABC為銳角三角形，故0°

所以30° 33.

故12

因此，△ABC面積的取值范圍是（ 38， 32）.

評(píng)注?本題第（1）問(wèn)把sinA+C2作為整體進(jìn)行代換，第（2）問(wèn)把 32tanC+12作為整體，利用△ABC是銳角三角形這個(gè)條件，確定a的范圍，進(jìn)而確定出△ABC面積的取值范圍.這道高考題濃縮了三角函數(shù)、正弦定理的精華知識(shí)和方法，考查得很全面，是一道很好的考題不同思維水平的學(xué)生處理起來(lái)進(jìn)入角色的起點(diǎn)不同，到達(dá)終點(diǎn)的路徑體現(xiàn)了本題較好的區(qū)分度.在給考生創(chuàng)設(shè)自由的空間去“實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值”的同時(shí)，也給高中數(shù)學(xué)教學(xué)引領(lǐng)了方向：“放棄大量機(jī)械的訓(xùn)練，注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的提煉，提升學(xué)生思維水平”，這就是“數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)”！

總之，三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想較多，但它們的核心是化歸與轉(zhuǎn)化思想，只要大家認(rèn)真思考，靈活運(yùn)用，在運(yùn)用中感悟數(shù)學(xué)思想，積累思維經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)思想一定能給你的學(xué)習(xí)帶來(lái)事半功倍的效果，只有這樣，才能有效形成和發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

（收稿日期：2019-10-10）