數(shù)學(xué)教學(xué)中的數(shù)學(xué)建模

吳慶豐

(淮北師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽淮北 235000)

0 引言

數(shù)學(xué)建模(Mathematical Modeling)[1]：根據(jù)需要，針對(duì)實(shí)際問題，利用相關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，建立數(shù)學(xué)模型的全過程(包括表述、求解、解釋、檢驗(yàn)等).

數(shù)學(xué)建?？梢岳斫猬F(xiàn)實(shí)世界到數(shù)學(xué)世界的“雙向翻譯”見圖1.

表述:根據(jù)建模目的和信息將實(shí)際問題“翻譯”成數(shù)學(xué)問題.

求解:選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法求得數(shù)學(xué)模型的解答.

解釋:將數(shù)學(xué)語言表述的解答“翻譯”回實(shí)際對(duì)象.

驗(yàn)證:用現(xiàn)實(shí)對(duì)象的信息檢驗(yàn)得到的解答.

圖1 模型框圖

1 課堂設(shè)計(jì)想法和建議

1.1 教學(xué)要求

認(rèn)真聽講，縝密思維；做好筆記，認(rèn)真復(fù)習(xí)；積極討論，完成作業(yè)；動(dòng)手解決問題.

1.2 教學(xué)目的

掌握專業(yè)知識(shí)，有效培養(yǎng)應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的綜合能力.

1)“雙向翻譯”能力；

2)運(yùn)用數(shù)學(xué)思想進(jìn)行綜合分析能力；

3)結(jié)合其他專業(yè)特別是應(yīng)用計(jì)算機(jī)解決問題的能力；

4)觀察力和想象力；

5)提高撰寫科研論文的能力；

6)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.

1.3 教學(xué)方式的多樣性

教師講授方式，小組討論方式，學(xué)生報(bào)告方式數(shù)學(xué).

1.4 教學(xué)課堂設(shè)計(jì)

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，講解理論專業(yè)知識(shí)結(jié)合實(shí)際應(yīng)用，一方面從實(shí)際應(yīng)用中更深刻領(lǐng)會(huì)專業(yè)知識(shí)，另一方面鍛煉學(xué)生將專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題的能力，讓學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)不僅僅是枯燥的理論知識(shí)，也有廣泛的實(shí)際應(yīng)用.

有些問題課前可做好問卷調(diào)查,要求學(xué)生如實(shí)獨(dú)立完成.對(duì)課堂教學(xué)的建議：爭(zhēng)取盡可能多地互動(dòng)，活躍氣氛.特別希望任課老師能把自己在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的問題(優(yōu)缺點(diǎn)、可行性的肯定或否定意見等)實(shí)話實(shí)說地提出來，一起進(jìn)行分析研究，共同找出問題所在，提出具體的改進(jìn)方法；除了課堂學(xué)習(xí)外, 要求學(xué)生親自動(dòng)手，認(rèn)真作幾個(gè)實(shí)際問題，(作業(yè)和課后練習(xí)——體驗(yàn)).

2 應(yīng)用舉例

運(yùn)輸問題[2]在現(xiàn)實(shí)中有著廣泛的應(yīng)用，是一類具有特殊結(jié)構(gòu)的線性規(guī)劃問題，由于其模型結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，可以采用比單純形法計(jì)算效率高得多的表上作業(yè)法求解.

例1設(shè)有三個(gè)供應(yīng)地A、B、C向四個(gè)需求地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ供應(yīng)物資W.各物資數(shù)量,各地區(qū)年需要量及從各供應(yīng)地到各需求地運(yùn)送單位物資的運(yùn)價(jià)(萬元/萬噸)如表1所示.試求出總運(yùn)費(fèi)最省的物資調(diào)撥方案.

表1 供求量及單位運(yùn)價(jià)表

此問題是計(jì)算從3個(gè)發(fā)點(diǎn)到4個(gè)收點(diǎn)的最小費(fèi)用運(yùn)輸問題.首先讓學(xué)生看懂上述表格，從三個(gè)供應(yīng)地A、B、C往四個(gè)需求地區(qū)Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ運(yùn)送物資，每個(gè)供應(yīng)地有供應(yīng)量限制，每個(gè)需求地有最低需求和最高需求，其中地區(qū)Ⅳ最高需求為不限，向?qū)W生提問：不限是否意味地區(qū)Ⅳ最高需求是無限大的意思.有的學(xué)生沒認(rèn)真思考回答是的，純粹從表格簡(jiǎn)單的看似乎是這樣，但其實(shí)不是.另外有的學(xué)生經(jīng)過認(rèn)真思考回答不是，地區(qū)IV最多可得到(50+50+60)(總產(chǎn)量)-(70+30)(其它地區(qū)最小需求)=60.從C到Ⅳ為禁止，表示C不往Ⅳ運(yùn)送物資，向?qū)W生提問：C不往Ⅳ運(yùn)送物資在模型中應(yīng)該如何處理？處理方式可以將C往Ⅳ的運(yùn)輸成本設(shè)為很大，此時(shí)運(yùn)輸方案如果選擇從C往Ⅳ的運(yùn)輸量不為零，那么將受到懲罰使得運(yùn)輸費(fèi)用很大就不可能為最省方案.

下面建立數(shù)學(xué)模型.決策變量xij表示從供應(yīng)地i(i=1,2,3分別表示供應(yīng)地A,B,C)往需求地j(j=1,2,3,4分別表示需求地Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ)的運(yùn)量，單位為萬噸.aij表示從3個(gè)供應(yīng)地A、B、C到4個(gè)需求地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的每單位運(yùn)輸費(fèi)用，單位為萬元/萬噸.pi表示3個(gè)供應(yīng)地A、B、C的產(chǎn)量，gj,hj分別表示4個(gè)需求地Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ的最低、最高需求量，這里aij，pi，gj,hj均為已知量.向?qū)W生提問：最高需求、最低需求在模型中如何表達(dá)？學(xué)生經(jīng)過思考回答：必須保證最低需求，在約束條件中是“≥”號(hào)，不得超過最高需求，在約束條件中用“≤”號(hào)表示.要求總運(yùn)費(fèi)最省，目標(biāo)函數(shù)為

約束條件：首先保證需求地最低需求有

然后考慮不超過最高需求有

最后考慮每個(gè)供應(yīng)地的實(shí)際運(yùn)輸量不超過其產(chǎn)量有

所以數(shù)學(xué)模型為

此問題是產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題，可以采用表上作業(yè)法求解.首先，需要將產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題化為產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題，讓學(xué)生思考并討論如何將產(chǎn)銷不平衡的運(yùn)輸問題化為產(chǎn)銷平衡的運(yùn)輸問題？三個(gè)供應(yīng)地總產(chǎn)量為160萬噸，四個(gè)需求地的最低總需求量為110萬噸，最高需求量為無窮大.根據(jù)現(xiàn)有產(chǎn)量，需求地Ⅳ最多分配60萬噸，這樣最高需求量為210萬噸，大于總產(chǎn)量160萬噸，為了得到平衡，在產(chǎn)銷平衡表中增加一個(gè)假想的供應(yīng)地D，其年產(chǎn)量為50萬噸.由于各需求地的需求量包含兩個(gè)部分，比如需求地Ⅰ最低需求量是30萬噸，由于最低需求必須滿足，故不能由虛擬供應(yīng)地D供給，為了處理這個(gè)問題，可以令相應(yīng)單位運(yùn)價(jià)為M(任意大的抽象正數(shù))，而另一部分需求量20萬噸可以滿足也可以不滿足，因此可以由虛擬地D供給，注意此時(shí)令相應(yīng)單位運(yùn)價(jià)為0.要求學(xué)生思考總結(jié)處理方法，如何確定虛擬地往各需求地的單位運(yùn)價(jià)，可以互相討論.但凡需求分為兩種情況的地區(qū)，實(shí)際上可以按照兩個(gè)地區(qū)對(duì)待，如果需求必須滿足，則供應(yīng)不能由虛擬地供應(yīng)(由于虛擬地是假想的實(shí)際不存在，僅是為了產(chǎn)銷平衡)，此時(shí)令相應(yīng)運(yùn)價(jià)為M，如果需求不必滿足，則可以由虛擬地供應(yīng)，此時(shí)令相應(yīng)運(yùn)價(jià)為0.下面給出此問題的產(chǎn)銷平衡單位運(yùn)價(jià)表，如表2所示.

表2 產(chǎn)銷平衡單位運(yùn)價(jià)表

利用表上作業(yè)法求解可得最優(yōu)運(yùn)輸方案如表3所示.

表3 最優(yōu)運(yùn)輸表

此模型也是特殊的線性規(guī)劃模型，可以借助數(shù)學(xué)軟件LINGO求解，下面采用LINGO軟件編程求解.

sets:

r/1..3/:p;!A,B,C 3個(gè)供應(yīng)地的產(chǎn)量;

c/1..4/:g,h;!g,I,II,III,IV的最低需求, h,I,II,III,IV的最高需求;

m(r,c):x,a;!x,運(yùn)輸方案，a,運(yùn)輸成本;

endsets

data:

p=50 60 50;

g=30 70 0 10;

h=50 70 30 60;

a=16 13 22 17

14 13 19 15

19 20 23 1000; !c禁止往IV運(yùn)輸，設(shè)成很大的數(shù);

enddata

min=@sum(m:a*x);

@for(c(j):@sum(r(i):x(i,j))>g(j);@sum(r(i):x(i,j))

@for(r(i):@sum(c(j):x(i,j))=p(i));

End

運(yùn)行LINGO可知，全局最優(yōu)目標(biāo)值即總的最小運(yùn)費(fèi)為2460萬元，最省運(yùn)輸方案為：A往II運(yùn)輸50萬噸，B往II運(yùn)輸20萬噸，B往IV運(yùn)輸40萬噸，C往I運(yùn)輸50萬噸.

此模型也可采用MATLAB編程求解，結(jié)合計(jì)算機(jī)求解,順應(yīng)了當(dāng)前社會(huì)的發(fā)展,也使學(xué)生的綜合能力得到提高.

3 結(jié)語

“創(chuàng)新是推動(dòng)人類社會(huì)向前發(fā)展的重要力量”，[3]在數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模的思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性的思維能力，創(chuàng)造性的洞察能力和創(chuàng)造性的科研能力，這些都是創(chuàng)新人才所必備的能力.數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)建模順應(yīng)了當(dāng)前素質(zhì)教育和課程改革的需要.將理論知識(shí)應(yīng)用于實(shí)際問題中往往內(nèi)容的具有趣味性,有些問題就象是做游戲，引人入勝，更能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又鍛煉了學(xué)生動(dòng)手解決實(shí)際問題的能力,體現(xiàn)了素質(zhì)教育.