基于等維遞補(bǔ)灰色模型的人口預(yù)測分析

唐賢芳，崔 巖，張淑麗

(西北工業(yè)大學(xué)明德學(xué)院信息工程學(xué)院，陜西西安 710124)

0 引言

一個(gè)國家或地區(qū)的人口數(shù)量直接影響該地區(qū)就業(yè)、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，因此科學(xué)地預(yù)測人口的數(shù)量對制定經(jīng)濟(jì)政策、區(qū)域發(fā)展規(guī)劃具有非常重要的意義[1].

灰色理論是鄧聚龍教授于1982年提出的，GM(1,1)模型是其中內(nèi)容之一，它具有所需信息量少，模型建立較簡單，求解容易等特點(diǎn)，在社會、經(jīng)濟(jì)、農(nóng)業(yè)、電力等領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用.但它也存在一些缺陷，比如對數(shù)據(jù)序列有比較嚴(yán)格的要求，當(dāng)發(fā)展系數(shù)的絕對值比較大時(shí)，會使模型預(yù)測偏差增大，預(yù)測效果不理想.針對它的缺陷，近年來不少學(xué)者對GM(1,1)模型進(jìn)行了改進(jìn)[2].本文在數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，選擇2003～2015年數(shù)據(jù)進(jìn)行靜態(tài)灰色建模，采用等維遞補(bǔ)的方法對數(shù)據(jù)進(jìn)行動態(tài)預(yù)測.對比兩個(gè)模型，動態(tài)預(yù)測的效果明顯優(yōu)于靜態(tài)預(yù)測.最后用構(gòu)建的動態(tài)灰色預(yù)測模型對陜西省2018～2028年人口數(shù)量進(jìn)行預(yù)測.結(jié)果可為有關(guān)部門制定相關(guān)決策提供了較為科學(xué)、合理的依據(jù).

1 GM(1,1)模型的建立

1.1 靜態(tài)GM(1，1)模型

GM(1,1)灰色模型是通過對原數(shù)據(jù)進(jìn)行生成處理，使其呈現(xiàn)指數(shù)變化趨勢，依此建立微分方程，得到預(yù)測模型.該模型適用于對部分信息已知、部分信息未知的灰色系統(tǒng)進(jìn)行預(yù)測，特別適合小樣本、增長速度較快的數(shù)據(jù)建模求解[3].它的建模一般分為以下幾個(gè)步驟.

第一步：原始數(shù)據(jù)檢驗(yàn).因?yàn)镚M(1,1)本質(zhì)是指數(shù)方程，為了確保建模的可行性，要求用于預(yù)測的數(shù)據(jù)具有指數(shù)變化規(guī)律，才能建立灰色模型.數(shù)據(jù)檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)有級比檢驗(yàn)和光滑度檢驗(yàn)兩種.

設(shè)原始數(shù)據(jù)列為

x(0)=[x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)]

(1)

級比檢驗(yàn)：定義數(shù)據(jù)序列的級比為

(2)

光滑度檢驗(yàn)：首先對原始數(shù)據(jù)序列做一次累加，生成累加序列為

x(1)=[x(1)(1),x(1)(2),…,x(1)(n)]

(3)

(4)

是k的遞減函數(shù)，則該數(shù)據(jù)序列為光滑離散序列.只有滿足這一條件才適合用灰色預(yù)測.

第二步:灰色模型的建立.對累加序列建立一階微分方程

(5)

其中α是發(fā)展灰數(shù)，μ為內(nèi)生控制灰數(shù).

第三步:灰色模型的求解.設(shè)取背景值z(1)(k)為x(1)的鄰近均值生成數(shù)序列

z(1)(k)=0.5[x(1)(k-1)+x(1)(k-1)],

k=2,3…,n

(6)

(7)

其中

Y=[x(0)(2),x(0)(3),…,x(0)(n)]T

(8)

將求解出的參數(shù)代入到微分方程(5)中，得相應(yīng)的x(1)序列預(yù)測模型為

k=1,2,…n-1

(9)

累減后得到原始數(shù)據(jù)序列的預(yù)測為

k=1,2,…n-1

(10)

第四步：模型精度檢驗(yàn).為了確保所建立的灰色模型有較高的精度能夠應(yīng)用于預(yù)測實(shí)際，按照灰色理論需要對所建立的GM(1,1)模型的精度進(jìn)行檢驗(yàn).一般的精度檢驗(yàn)包括3個(gè)方面：殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后差檢驗(yàn)[4].

(10)

一般要求相對殘差值小于20%，最好是小于10%，符合要求.

關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn): 關(guān)聯(lián)度是用來定量描述各變化過程之間的差別.關(guān)聯(lián)系數(shù)越大，說明預(yù)測值和實(shí)際值越接近.第t個(gè)數(shù)據(jù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)定義為

(11)

(12)

當(dāng)關(guān)聯(lián)度的值大于0.6時(shí)，認(rèn)為通過檢驗(yàn).

后驗(yàn)差檢驗(yàn): 后驗(yàn)差檢驗(yàn)有兩個(gè)指標(biāo)，即后驗(yàn)差比C和小誤差概率P.

(14)

其中S1,S2分別為原始數(shù)據(jù)和殘差的均方差.模型精度等級參考表1所示.

表1 后驗(yàn)差檢驗(yàn)判別參照表

1.2 等維遞補(bǔ)動態(tài)GM(1,1)模型

等維遞補(bǔ)模型是對傳統(tǒng)靜態(tài)GM(1,1)模型的動態(tài)應(yīng)用，它通過不斷引入已知信息來減少灰平面的灰度，這樣的模型由于及時(shí)引入了新的已知信息，就能比較準(zhǔn)確及時(shí)地反映系統(tǒng)的變化.它的原是用已知數(shù)列建立第一個(gè)灰色模型，用它來預(yù)測第一個(gè)預(yù)測值.然后將第一個(gè)已知的值去掉，將預(yù)測值加到數(shù)列后，保持?jǐn)?shù)據(jù)序列的等維，然后重新建立灰色模型，預(yù)測下一個(gè)值.如此推進(jìn)、重復(fù)，逐個(gè)預(yù)測、去值、遞補(bǔ)，直到完成預(yù)測任務(wù)或達(dá)到精度要求[5].

2 陜西省人口預(yù)測的實(shí)證分析

2.1 數(shù)據(jù)搜集與處理

灰色預(yù)測的特長是樣本數(shù)據(jù)不必很多，即“小樣本”數(shù)據(jù)，所以樣本的選取不需太多.通過查詢中國統(tǒng)計(jì)網(wǎng)的數(shù)據(jù)中心，選取2003～2017年陜西省年末人口總數(shù)為預(yù)測樣本，具體值見表2.

選取2003～2015年數(shù)據(jù)建立靜態(tài)灰色模型，

表2 2003～2017年陜西省人口數(shù)(單位：萬人)

根據(jù)公式(1)得到

x(0)=(3672,3681,3690,3699,3708,3718,3727,3735,3743,3753,3764,3775,3793)

按照建模過程，則對上式進(jìn)行一次累加生成，根據(jù)公式(3)得到新序列:

x(1)=

2.2 數(shù)據(jù)檢驗(yàn)

對數(shù)據(jù)進(jìn)行級比檢驗(yàn).根據(jù)公式(2)計(jì)算得

δ(k)=

當(dāng)n=13時(shí)，

表明原始數(shù)據(jù)滿足級比檢條件.

根據(jù)公式(4)，則

ρ(k)=(1.0025,0.5018,0.335,0.2515,

0.2015,0.1681,0.1442,0.1263,0.1125,0.1014,

0.0923,0.0849),

滿足數(shù)據(jù)光滑度檢驗(yàn)要求.檢驗(yàn)結(jié)果表明原始數(shù)據(jù)序列可以用于GM(1,1)灰色模型預(yù)測.

2.3 靜態(tài)GM(1,1)灰色模型

根據(jù)公式(7)計(jì)算灰色系數(shù)α,μ:

將系數(shù)代入公式(8)得到GM(1,1)一次累加數(shù)據(jù)的預(yù)測模型為

(13)

取k=1,2…,14，利用式(13)計(jì)算出2003～2017年的一次累加數(shù)據(jù)，再利用公式(9)計(jì)算2003～2017年陜西省人口預(yù)測值，見表3第3列.

表3 擬合及人口預(yù)測

2.4 等維遞補(bǔ)GM(1,1)預(yù)測模型

為了降低灰度，對預(yù)測樣本采用逐年遞補(bǔ)，不斷補(bǔ)充新信息，對靜態(tài)GM(1,1)模型參數(shù)做不斷修正，通過一次遞補(bǔ)預(yù)測2017年陜西人口數(shù)量.遞補(bǔ)GM(1,1)預(yù)測模型的原始預(yù)測數(shù)據(jù)列為

累加數(shù)據(jù)預(yù)測模型

對以上兩種模型預(yù)測結(jié)果，進(jìn)行殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后差檢驗(yàn)，結(jié)果見表4.

表4 兩個(gè)模型檢驗(yàn)值

從表4可見，兩個(gè)模型的精度都滿足要求，可以進(jìn)行外推預(yù)測，但動態(tài)模型的精度更高.且從預(yù)測的2017年的數(shù)值可見，動態(tài)預(yù)測數(shù)值比靜態(tài)預(yù)測的數(shù)值更接近真值.所以，選擇動態(tài)模型進(jìn)行外推預(yù)測.

根據(jù)灰色預(yù)測維數(shù)選擇經(jīng)驗(yàn)：數(shù)據(jù)年份越靠近待預(yù)測年份預(yù)測越準(zhǔn)確.我們選擇2005～2017年數(shù)據(jù)運(yùn)用等維遞補(bǔ)方法進(jìn)行外推.通過MATLAB編程計(jì)算得到陜西省2018～2028年的人口預(yù)測值，見表5.

對于以上外推模型進(jìn)行殘差檢驗(yàn)、關(guān)聯(lián)度檢驗(yàn)和后差檢驗(yàn)，檢驗(yàn)結(jié)果如表6所示.

從表6可見，預(yù)測2018～2028年的模型精度均為優(yōu)，從各項(xiàng)綜合指標(biāo)來分析，精度隨著外推的次數(shù)呈現(xiàn)先增后減的趨勢，第十次外推的后驗(yàn)差值比較高，所以，不再往外遞推.

表5 2018～2029年陜西省人口預(yù)測值(單位：萬人)

表6 外推模型的精度檢驗(yàn)

3 結(jié)論

(1)選擇一樣的數(shù)列進(jìn)行預(yù)測，動態(tài)遞補(bǔ)模型明顯好于靜態(tài)預(yù)測，預(yù)測精度更高，可靠性更強(qiáng)；

(2)采用動態(tài)遞補(bǔ)預(yù)測，隨著模型的外推，精度會呈現(xiàn)先增后減趨勢.遞推次數(shù)不能太大，一定要結(jié)合精度要求綜合考慮；

(3)根據(jù)動態(tài)預(yù)測結(jié)果，陜西省人口呈現(xiàn)遞增趨勢.但每年增加的比例在0.35%左右，與陜西省人民政府印發(fā)的人口規(guī)劃中，提到人口自然增長率穩(wěn)定在0.4%有些差距，需要相關(guān)部門采取措施提高人口自然增長率.