功能梯度壓電層/壓電半空間結(jié)構(gòu)中Love 波的傳播：一種改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法

張朋威，禹建功，張小明，張 博

(河南理工大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，河南焦作454000)

關(guān)鍵字：功能梯度材料；拉蓋爾多項(xiàng)式；Love 波；位移分布；應(yīng)力分布

0 引 言

功能梯度壓電材料(Functionally Graded Piezoelectric Materials, FGPM)可實(shí)現(xiàn)機(jī)械能與電能的轉(zhuǎn)化，通過調(diào)整材料組成使其梯度化，可使壓電系數(shù)獲得最恰當(dāng)分配以達(dá)到提高壓電器件性能及壽命的目的，被廣泛應(yīng)用于電氣、機(jī)械、通信、光學(xué)、核能、化學(xué)、生物醫(yī)學(xué)和土木工程等領(lǐng)域。而Love 波作為水平剪切(Shear Horizontal, SH)波的一種，其剪切極化和聲能量集中在表面附近的幾個(gè)波長以內(nèi)，可以利用Love 波的這種特性與壓電材料來制作Love 波傳感器[1]，Love 波傳感器是通過在水平切變表面波器件表面覆蓋薄層波導(dǎo)及超薄金屬催化膜得到，其聲波能量集中在薄層波導(dǎo)內(nèi)，因此Love 波傳感器能非常敏感地反映環(huán)境的擾動(dòng)與變化。而Love 波在不同結(jié)構(gòu)中傳播特性的研究可為Love 波傳感器研制提供理論依據(jù)[2]。因此，越來越多的國內(nèi)外學(xué)者使用不同的方法和模型研究了FGPM 半空間結(jié)構(gòu)中Love 波的傳播特性。例如WKB 法[3]、貝塞爾函數(shù)法[4]、冪級數(shù)法[5]、剛度矩陣法[6]及正交多項(xiàng)式方法[7]等。

正交多項(xiàng)式方法于1972 年由Maradudin 等[8]提出，并使用拉蓋爾多項(xiàng)式方法研究了半無限體中的波傳播；之后，該方法被用來解決各種波和振動(dòng)的問題，從均勻和層狀結(jié)構(gòu)中的表面波[9]到非均勻半空間結(jié)構(gòu)中的表面波[10]。該方法有兩個(gè)主要特點(diǎn)：(1) 利用正交多項(xiàng)式擴(kuò)展的每個(gè)位移分量來計(jì)算整個(gè)空間的運(yùn)動(dòng)方程，將運(yùn)動(dòng)方程轉(zhuǎn)化為矩陣求解特征值問題；(2) 通過假定與位置有關(guān)的材料常數(shù)可直接把邊界條件納入到運(yùn)動(dòng)方程中，極大地簡化了邊界問題的處理過程。

傳統(tǒng)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法用一種展開的多項(xiàng)式處理波傳播問題，只能確保位移和電勢在整個(gè)結(jié)構(gòu)中是連續(xù)的，但由于兩個(gè)相鄰層的材料常數(shù)不同，必將產(chǎn)生不連續(xù)的應(yīng)力和電位移分布。為了克服此方法的不足，本文提出了一種改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法。對于有限厚度的覆層，該方法將位移展開成勒讓德多項(xiàng)式級數(shù)，而在相對無限的半空間基體，將位移展開成拉蓋爾多項(xiàng)式級數(shù)。與傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法對比，該方法能夠得到連續(xù)的正應(yīng)力和正電位移分布。分析了覆層梯度變化和波數(shù)變化對Love 波波動(dòng)特性的影響。

1 基本方程及求解

基于三維線性壓電彈性理論，考慮一個(gè)帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，其上表面自由，覆層厚度為h。采用笛卡爾坐標(biāo)系(x, y, z)，如圖1 所示，原點(diǎn)設(shè)在材料的表面，材料的極化方向垂直于xOy 平面，波的傳播方向?yàn)閥 方向，質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)方向?yàn)閦，半空間的厚度方向?yàn)閤 軸的正方向，覆層材料特性在厚度x 方向上發(fā)生梯度變化。

對于壓電但無磁化的電介質(zhì)體，線性壓電的波動(dòng)控制方程由式(1)中的運(yùn)動(dòng)方程和麥克斯韋方程組成：

本構(gòu)方程和壓電方程分別為

幾何方程為

式(1)～(4)中：Tij和εkl分別應(yīng)力和應(yīng)變；Di和 Ek分別為電位移和電場強(qiáng)度；Φ 為電勢；ui為位移；Cijkl為彈性常數(shù)；ekij和∈ik分別為壓電常數(shù)和介電常數(shù)；ρ 為材料密度，下標(biāo)中逗號(hào)表示對坐標(biāo)的偏微分。

圖1 帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)Fig.1 Schematic diagram of piezoelectric half-space covered by a functionally graded piezoelectric layer

假設(shè)Love 波沿y 方向傳播，位移和電勢可表示為

將式(5)代入式(1)，可得到式(6)的運(yùn)動(dòng)方程：

功能梯度壓電材料的本構(gòu)方程可寫為

考慮應(yīng)力自由、電開路的邊界條件(Txz=0，Dx= 0，x=0 和x→∞處)，引入矩形窗函數(shù)θ (x)：

此函數(shù)的引入，直接在波動(dòng)方程中解決了結(jié)構(gòu)的邊界條件問題，具體證明見文獻(xiàn)[11]。

對于覆層，材料常數(shù)被寫成式(9)的形式：

在半空間基體，材料常數(shù)可表示為

對于帶有覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，Love 波的自由諧波解可以表示成如下形式：

式中：k 為波數(shù)；ω 為波的角頻率；V ( x) 為z 方向的振幅；X ( x )為電勢振幅。

將式(7)～(9)和式(10)～(11)代入式(6)，則得到位移、電勢表示的波動(dòng)控制微分方程：

式中，上角標(biāo)'和"表示對x 的一階和二階導(dǎo)數(shù)。

為了求解波動(dòng)控制微分方程，傳統(tǒng)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法把位移分量V(x)和X(x)都擴(kuò)展成拉蓋爾多項(xiàng)式級數(shù)來處理層狀半空間結(jié)構(gòu)。

式中： pm、rm是待定多項(xiàng)式系數(shù)；Tm( x) 是第m 階拉蓋爾多項(xiàng)式。

當(dāng)兩個(gè)相鄰層的材料常數(shù)不同時(shí)，傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法只能保證連續(xù)的位移和電勢分布，必將產(chǎn)生不連續(xù)的應(yīng)力和電位移分布。因此，本文提出一種改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法來處理帶覆層的半空間結(jié)構(gòu)。在覆層，將V(x)和X(x)展開成勒讓德多項(xiàng)式級數(shù)，在半空間基體，將V(x)和X(x)展開成拉蓋爾多項(xiàng)式級數(shù)。

在覆層：

在半空間基體：

為了滿足界面處應(yīng)力和電位移連續(xù)，位移和電勢表示為

在覆層：

在半空間基體：

把式(16)～(20)代到式(12)中，兩邊同時(shí)乘以Qj( x) 、 Lj( x)，j 從0～M，然后對x 從0～∞求積分，可以得到如式(21)的代數(shù)方程：

把式(21b)寫成：

將式(22)代入式(21a)得：

式(23)也可以表示為

2 數(shù)值算例及討論

在覆層，假設(shè)梯度材料有2 種組分組成，在計(jì)算FGPM 的等效參數(shù)時(shí)，使用混合率細(xì)觀力學(xué)模型，即：

這里Pi和Vi(x )分別代表第i 種材料的材料特性及體積含量，其中V1(x ) + V2(x)=1 ，由此可得：

梯度結(jié)構(gòu)在厚度方向的組分變化規(guī)律可表示為

在半空間基體，假設(shè)材料是均勻的。

基于上述理論，分別開發(fā)了基于改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法和傳統(tǒng)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法的Mathematica 程序，計(jì)算了帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間中Love 的波頻散、應(yīng)力和電位移曲線。

為了驗(yàn)證所提出方法的正確性，首先計(jì)算了帶有均勻壓電覆層的壓電半空間中Love 波頻散曲線，并與文獻(xiàn)[1]中WKB 法得到的頻散曲線結(jié)果進(jìn)行比較。所用的材料參數(shù)可在文獻(xiàn)[1]找出。計(jì)算結(jié)果如圖2 所示，其中點(diǎn)線為改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法得到的結(jié)果，實(shí)線為WKB 方法得到結(jié)果。由圖2 可以看出，兩者的計(jì)算結(jié)果吻合。

圖2 帶有均勻壓電覆層的壓電半空間中Love 波頻散曲線Fig.2 Dispersion curves of Love waves in a piezoelectric half-space covered by a homogeneous piezoelectric layer

帶有功能梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，覆層上表面即x=0 處的材料為PZT-2，覆層下表面x=h=1 mm 處選用材料PZT-4，壓電半空間材料選用BaTiO3，簡寫為PZT-2/PZT-4/BaTiO3。相關(guān)的材料參數(shù)如表1 所示。梯度場函數(shù)選用這里n 分別取1、2 和3，

所得Love 波的頻散曲線如圖3 所示?？梢姡S著梯度場函數(shù)的變化，即冪函數(shù)冪n(以下稱梯度指數(shù)n)的增加，Love 波的相速度變小，頻散越顯著。由方程(27)可知，隨梯度指數(shù)n 的增加，覆層上表面材料的體積含量增加。而PZT-2 材料體波波速小于PZT-4 材料的波速，因此，隨著梯度指數(shù)n 的增加，Love 波的相速度值變小。

表1 計(jì)算所用的材料參數(shù)Table 1 Material parameters used in the computation

圖3 不同n 值的Love 波頻散曲線Fig.3 Dispersion curves of Love waves for different values of n

為了分析改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法和傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法的區(qū)別，當(dāng)覆層梯度指數(shù)n=1、k=2時(shí)， 分別使用兩種多項(xiàng)式方法計(jì)算了PZT-2/PZT-4/BaTiO3半空間中Love 波第一階模態(tài)的相對應(yīng)力和相對電位移分布，如圖4、5 所示。圖4、5 中曲線進(jìn)行了正則化(Tyz0和Dy0分別表示應(yīng)力Tyz和電位移 Dy在x=0 處的值)處理。結(jié)果顯示，使用傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法求得的正應(yīng)力Txz和正電位移Dx在覆層和基體的交界(x=h=1 mm)處是不連續(xù)的，而且它們在覆層表面(x=0)處不為0，這與所假設(shè)的應(yīng)力邊界條件不符合。而改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法能夠很好地克服傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法的這些不足。

為分析高頻處帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)中Love 波的應(yīng)力和電位移分布，計(jì)算了一種覆層梯度指數(shù)n=1 時(shí)，結(jié)構(gòu)中Love 波的應(yīng)力和電位移分布。覆層上表面x=0 處的材料為PZT-2，覆層下表面x=h 處的材料為PZT-4，壓電半空間的材料為BaTiO3，簡寫為PZT-2/PZT-4/BaTiO3。圖6 為在大波數(shù)k=20 時(shí)，梯度覆層半空間結(jié)構(gòu)的相對應(yīng)力和相對電位移分布。由于材料中的波速PZT-2＜PZT-4＜BaTiO3，如圖6 所示，對于帶有梯度壓電層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，高頻Love 波的應(yīng)力和電位移主要分布在功能梯度壓電層中材料波速低的一側(cè)。因此，可通過調(diào)節(jié)頻率和覆層半空間材料組成，控制波的應(yīng)力和電位移分布。

圖4 k=2 時(shí)，Love 波第一階模態(tài)的相對應(yīng)力分布Fig.4 Relative stress profiles of the first order mode of Love waves at k=2

圖5 k=2 時(shí)，Love 波第一階模態(tài)的相對電位移分布Fig.5 Relative electric displacement profiles of the first order mode of Love waves at k=2

圖6 k=20 時(shí)，PZT-2/ PZT-4/ BaTiO3 半空間中Love 波第一階模態(tài)的相對應(yīng)力和相對電位移分布Fig.6 Relative stress and relative electric displacement profiles of the first order mode of Love waves in PZT-2/PZT-4/BaTiO3 half-space at k=20

3 結(jié) 論

由于傳統(tǒng)拉蓋爾多項(xiàng)式方法在求解層狀半空間結(jié)構(gòu)的波傳播問題時(shí)存在局限性，本文提出一種改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法用于研究在功能梯度壓電層狀半空間結(jié)構(gòu)中的表面波傳播。由以上分析可以得到以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 與已有文獻(xiàn)結(jié)果比較，證明了改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法的正確性。該方法能克服傳統(tǒng)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法因?qū)娱g材料差異所造成的波應(yīng)力、電位移不連續(xù)的現(xiàn)象。

(2) 對于帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，Love 波頻散曲線隨著梯度指數(shù)n 的增加，相速度減小，頻散現(xiàn)象更明顯。

(3) 對于帶有梯度壓電覆層的壓電半空間結(jié)構(gòu)，高頻Love 波的應(yīng)力和電位移主要分布在功能梯度壓電層中材料波速較小的一側(cè)。

(4) 改進(jìn)的拉蓋爾多項(xiàng)式方法還可以推廣應(yīng)用于研究多覆層的壓電半空間、磁電半空間等結(jié)構(gòu)上的表面波傳播特性。