環(huán)形基礎(chǔ)的基底反力公式理論解

謝信江

(四川電力設(shè)計咨詢有限責任公司 成都610041)

引言

圓形、 環(huán)形基礎(chǔ)廣泛應(yīng)用在煙囪、 風電塔架基礎(chǔ)、 水塔、 筒倉、 石油化工塔中, 但實際設(shè)計中計算其基底反力(接觸應(yīng)力、 基底壓力)分布卻非常不便, 原因主要在于出現(xiàn)脫空區(qū)后的截面參數(shù)是逐漸變化的。 與矩形基礎(chǔ)可得基底壓力精確分布不同, 目前對環(huán)形基礎(chǔ)基底反力分布暫未見準確且簡便之法。

早在1956 年, 前蘇聯(lián)的 D.P.Krasenskii 以脫空零應(yīng)力線位置a為變量, 按照圓形基礎(chǔ)的基底脫空區(qū)是否超過全圓一半而區(qū)分出兩種情形,進行積分計算推導, 并形成了涵蓋偏心荷載下圓形基礎(chǔ)從脫空出現(xiàn)臨界點到全圓脫空的偏心距半徑比、 脫空零應(yīng)力線位置、 基底最大壓力值的對照關(guān)系算表[1]。 除了算表數(shù)據(jù)稀疏之外, D.P.Krasenskii 最早而且完美地解決了圓形基礎(chǔ)在出現(xiàn)脫空后的基底壓力分布問題。 此后, 國內(nèi)外對圓形、 環(huán)形基礎(chǔ)的研究成果文獻大多集中在地基承載力、 地基附加應(yīng)力和沉降方面。 我國的戴康程在1995 年提出了對大偏心受壓圓形基礎(chǔ)的基底反力算法, 通過初定基底反力脫開區(qū)后繼續(xù)迭代調(diào)整到正確的基底反力脫開區(qū)的辦法來實現(xiàn),然后把受壓區(qū)、 脫開區(qū)的慣性矩、 形心軸等力學特性參數(shù)作平行移軸到統(tǒng)一的全截面形心軸上進行計算[2]。 類似地, 同濟大學的陳俊嶺、 馬人樂等采用分區(qū)域計算截面慣性矩再作平行移軸的辦法來求環(huán)形基礎(chǔ)的基底受壓區(qū)參數(shù)[3,4], 其形式上參照矩形基礎(chǔ)的基底壓力計算表達式, 計算方法和力學概念較清楚, 但計算繁多不便。 劉軍采用引入抗力變量的方法進行了環(huán)形基礎(chǔ)的基底壓力推求, 并對規(guī)范算表進行了有限的外擴[5]。 以上屬于基底壓力分布為線性的研究, 這些研究的成果都略有相似, 且都應(yīng)用復雜, 只能寄希望于專人計算后整理出計算表格以供工程設(shè)計人員查表插值選用。 與前述的研究對象為土質(zhì)地基不同, 在巖石地基上的圓形基礎(chǔ), 因基礎(chǔ)-巖石相互作用, 其基底壓力分布普遍是非線性的。 YIN Ke 等對在巖石地基上的圓形基礎(chǔ)基底壓力分布進行了研究, 得到其解析表達式[6], 但這與本文探討情況不一樣。

謝信江、 龔節(jié)福等考察了環(huán)形、 圓形基礎(chǔ)的基底壓力分布, 將脫空零應(yīng)力線位置、 半徑比、偏心距等參數(shù)比例化, 嘗試從力學和數(shù)學的基本概念入手, 進行應(yīng)力的基本分析和微積分推導,已取得一些階段性成果[7,8]。 所采用算法的數(shù)學推導過程較復雜, 但力學概念清楚, 且成果易于使用。

本文繼續(xù)之前的分析推導工作并作完善, 得到完整全面的環(huán)(圓)形基礎(chǔ)基底壓力的準確分布和變化趨勢規(guī)律。 并通過對本文方法計算結(jié)果和其他規(guī)范、 文獻中結(jié)果進行比較, 證實了本文方法和推求得通用公式的正確性。

1 基本假定

根據(jù)靜力學中剛體受力平衡原理, 環(huán)形獨立基礎(chǔ)在受偏心距為e的偏心軸力N作用時(圖1), 所受的基底反力之和應(yīng)與軸力N等值反號, 所受的基底反力之矩之和應(yīng)與彎矩M=Ne等值反號。

圖1 環(huán)形基礎(chǔ)受偏心荷載Fig.1 Ring foundation under eccentric load

基底反力計算的基本假定: 1)假定基礎(chǔ)為剛性體； 2)假定基底壓力符合線性分布。

基底壓力分布有兩種情形: 情形一為基底全壓, 如圖2, 此時零應(yīng)力點已經(jīng)在基礎(chǔ)范圍外,即αR＜-R； 情形二為基底局部出現(xiàn)脫空區(qū), 如圖3, 此時零應(yīng)力點在基礎(chǔ)范圍內(nèi), 即-R≤αR。

圖2 基底壓力分布情形一(全壓, 即α∈( -∞, -1])Fig.2 Case one of distribution for foundation pressure(fully compress, i.e. α∈( -∞, -1])

圖3 基底壓力分布情形二(有脫空, 即α∈( -1, 1))Fig.3 Case two of distribution for foundation pressure(disengagement area, i.e.α∈( -1, 1)

進入情形二的判別依據(jù)是N/A≤M/W。 對于情形一, 基底反力公式已有且簡單易求。 本文著重討論情形二。 各符號意義:R為環(huán)形基礎(chǔ)外半徑(m)；r為環(huán)形基礎(chǔ)內(nèi)半徑(m)；α為環(huán)形基礎(chǔ)的零應(yīng)力位置參數(shù)(無量綱)；β為環(huán)形基礎(chǔ)內(nèi)外半徑比(無量綱),β=r/R；pmax為基底邊緣的最大壓力值(kPa)(后文中簡作p)；N為豎向總荷載(kN)；M為總彎矩(kN·m)；e為偏心距(m),e=M/N。

2 建立積分方程

基底反力z的斜平面方程為:

式中:z為基底反力(kPa)。

根據(jù)高等數(shù)學[9]知識, 沿x向進行微元劃分, 見圖4。 劃分微元的y值方程為:

可得N、M的積分方程:

式中, 各有關(guān)參數(shù)必須同時滿足以下要求:α∈( -1, 1)；β∈(0, 1)；α＜β。

圖4 微元劃分Fig.4 Micro-element dividing

3 N 的積分方程求解

續(xù)上積分方程式(3), 有:

令

則有:

以下先進行各部分的求解, 主要在于采用換元積分法, 然后進行綜合。

3.1 求解N1

令x=Rsint:

3.2 求解N2

令x=Rsint:

3.3 求解N3

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

3.4 求解N4

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

3.5 求解N

將N1、N2、N3、N4代入N式中, 采用分段函數(shù)的表達法, 則為:

綜上, 軸力公式可統(tǒng)一表達為:

式中:n(α,β)為與α,β有關(guān)的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎(chǔ)時, 有:

4 M 的積分方程求解

續(xù)上積分方程式(4), 有:

則有:

4.1 求解M1

令x=Rsint:

4.2 求解M2

同前求解N1。

4.3 求解M3

令x=βRsinu:

由 max( -βR,αR)≤x=βRsinu≤βR?arcsin則有:

4.4 求解M4

同前求解N3。

4.5 求解M

將M1、M2、M3、M4代入M式中, 采用分段函數(shù)的表達法, 則為:

綜上, 彎矩公式可統(tǒng)一表達為:

式中:m(α,β)為與α,β有關(guān)的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎(chǔ)時, 有:

5 情形二下公式的正確性驗證

利用N、M式聯(lián)立求解, 可得環(huán)形基礎(chǔ)基底壓力的通用公式, 如式(29)。 聯(lián)立方程中2個方程 2 個未知數(shù)(α和p), 理論上存在唯一解。

以α,β為變量, 取若干個值計算形成n(α,β)、m(α,β)的曲線圖, 見圖5 和圖6。 可見,符合受力規(guī)律。

利用上述求解的公式, 代入相應(yīng)值, 與《高聳結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB50135 -2006)[10]附錄C 中的表C 進行比較。 按GB50135 來設(shè)計環(huán)(圓)形基礎(chǔ)時, 需要查表和插值, 求得τ、ξ, 再求p、ac。

圖5 情形二 n(α, β)值圖Fig.5 Fig for n(α, β)

圖6 情形二 m(α, β)值圖Fig.6 Fig for m(α, β)

經(jīng)比較發(fā)現(xiàn), 結(jié)果高度一致。 軸力公式中,僅有很少量的n(α,β)算值與表C 中ξ值相差了±0.001； 偶見差異如: (1)r2/r1= 0.65,τ=1.642 時, 表C 中ξ=0.745, 采用本文反力公式為ξ=0.743； (2)r2/r1=0.65,τ=1.611 時, 表C 中ξ=0.732, 采用本文反力公式為ξ=0.730。彎矩公式中, 推求得e/R與表C 中e/r1值都是相差在±0.0003 以內(nèi), 僅有一兩個有細微差異。如: (1)r2/r1= 0.7,τ= 2.000 時, 表 C 中e/r1=0.37, 采用本文反力公式計算應(yīng)為e/r1=0.3725； (2)r2/r1=0.9,τ=2.000 時, 表 C 中e/r1=0.45, 采用本文反力公式計算應(yīng)為e/r1=0.4525。 推測此類情況的發(fā)生原因是, 基底已經(jīng)處于起算滿壓情形, 無法增大τ； 規(guī)范編寫者又不便在表C 中再增加一個零散的e/r1值。

此外, 還與《石油化工塔型設(shè)備基礎(chǔ)設(shè)計規(guī)范》(SH/T3030-2009)[11]計算圓形基礎(chǔ)用的表9 以及其他文獻中數(shù)表[1,4,5]比較, 結(jié)果也是高度一致。

在實際計算中, 應(yīng)注意公式在數(shù)值計算過程的誤差控制, 因為1/0 在數(shù)學上是不成立的, 故需要使用極小量來代替0。 代替后, 1/0 在數(shù)值上的結(jié)果是某個大數(shù), 僅表示數(shù)學意義上的無窮大。 對β=0(即圓形基礎(chǔ), 實際中是存在的)時可用極小量β=1.0 × 10-10代替； 對α=1(即無限逼近全脫空)時可用α=(1 -1.0 ×10-10)代替。

所以, 可利用本反力公式校核GB50135 等資料中數(shù)據(jù), 并可輕松準確地進行適用范圍外擴和細密化。

6 公式在情形一的推廣

不論在第2 節(jié)中的情形一還是情形二, 基底反力之和必須等于基礎(chǔ)及其上部的外力之和, 故可將通用公式推廣到情形一。 僅需將積分方程的積分上下限更改設(shè)置正確, 如下:

式中, 各有關(guān)參數(shù)必須同時滿足以下要求:α∈( -∞, -1]；β∈(0, 1)；α＜β。

與前類似地, 繼續(xù)推求可得:

以α,β為變量, 取若干個值計算形成n(α,β)、m(α,β)的數(shù)據(jù)圖, 見圖7 和圖8。 可見,符合受力規(guī)律, 且與情形二數(shù)據(jù)銜接一致。

圖7 情形一 n(α, β)值圖Fig.7 Fig for n(α, β)

圖8 情形一 m(α, β)值圖Fig.8 Fig for m(α, β)

可由應(yīng)力間線性比例關(guān)系推求得下式, 它在情形一下恒成立。

為免除迭代之麻煩便于實際計算, 先利用上式求得α值, 再將其代入N式或M式中求得p值。

經(jīng)驗證, 推廣后的通用公式應(yīng)用于情形一也是正確的。

7 基底脫開面積比

對環(huán)基的脫開面積比, 分兩種情形計算。 情形一 時,A脫開/A= 0。 情 形 二 時,A脫開/A=

對情形二, 類似地建立積分方程后繼續(xù)進行推導, 如下。

采用分段函數(shù)的表達法, 基底脫開面積比可以表達為:

綜上, 基底脫開面積比公式可統(tǒng)一表達為:

式中:a(α,β)為與α,β有關(guān)的函數(shù), 如前述。

特殊的, 當β=0 即為圓形基礎(chǔ)時, 有:

以α,β為變量, 取若干個值計算形成a(α,β)的曲線圖, 見圖9。

圖9 情形二 a(α, β)Fig.9 Fig for a(α, β)

8 使用示例

某3.0MW 風電機組基礎(chǔ), 天然地基, 修正后fa=380kPa。 極端運行工況下導算塔筒底處的荷載標準值為M=123330kN·m,V=1330kN,N=5180kN。 對極端運行工況下的基底尺寸進行比算。

方案一, 采用圓形基礎(chǔ), 圓形基礎(chǔ)半徑R=10.910m。 對其極端運行工況進行基底反力分布分析。 處理后得基底的荷載標準值為M=173880kN·m,V=1797kN,N=37067kN。

由β=r/R=0,e/R=M/NR=0.42997, 可得:α=-0.4268,n(α,β)=1.0628,m(α,β)=0.4570, 脫開面積比=23.7%, 脫開面積比小于現(xiàn)行規(guī)范限值的 25%。 由式(29) 可得,p=小于 1.2fa=456kPa。

方案二, 改用環(huán)形基礎(chǔ), 采取合理措施使內(nèi)圓范圍內(nèi)不與地基產(chǎn)生受力關(guān)系。 環(huán)形外半徑R=10.910m, 環(huán)形內(nèi)半徑為r=5.455m。 處理后得基底的荷載標準值認為近似同方案一。

由β=r/R=0.5,e/R=M/NR=0.4299, 可得:α=-0.6681,n(α,β)=0.9713,m(α,β)=0.4176, 脫開面積比=14.5%, 脫開面積比小于現(xiàn)行規(guī)范限值的 25%。 由式(29) 可得,p=小于 1.2fa=456kPa。

實際使用中, 可根據(jù)上述公式先編制好算表, 在計算時根據(jù)β、e/R可求得設(shè)定精度的α、n(α,β)、m(α,β)、A脫開/A。 亦可先編制好數(shù)表, 進行查表法插值求解。

9 結(jié)論與討論

總之, 推廣后的通用公式可對環(huán)(圓)形基礎(chǔ)在任意N、M下的線性基底壓力分布實現(xiàn)精確求解。 其特點如下:

(1)公式參數(shù)概念清晰, 成果使用簡便。 可直接使用成果公式進行環(huán)(圓)形基礎(chǔ)的線性基底壓力分布的精確計算, 也可形成成果數(shù)表后查表法插值計算。

(2)可計算范圍全面。 適用于任意半徑比任意偏心距, 它的計算范圍是脫開面積比從0 到100%。 但應(yīng)注意, 對于脫開面積比較大時實際的基底壓力分布未必會符合線性假定, 使用時應(yīng)謹慎。

(3)可套用本文的應(yīng)力積分法, 對于基底形狀特殊的, 以及對于一些基底壓力非性線分布的, 也能求出基底反力分布的唯一解。 本文算法的指導思想為: 先建立應(yīng)力分布函數(shù), 對基底劃分微段的應(yīng)力進行積分, 成立作用力與反作用力平衡方程后進行求解。 只要變化函數(shù)是連續(xù)的,理論上它可對任意的基礎(chǔ)底面形狀(如八邊形、六邊形等)、 基底壓力分布(如鐘形、 馬鞍形等), 進行基底壓力的理論精確求解, 形成與其對應(yīng)的專用n(α,β)、m(α,β)、a(α,β)系數(shù)。 當然, 具體求解能否成功還要看積分算式是否可積和求解難度。