三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的首次穿越分析

彭如月， 焦萌倩， 黃文韜， 蔣貴榮

(1.桂林電子科技大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣西 桂林 541004； 2.廣西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣西 桂林 541004)

在航空領(lǐng)域，三角翼作為當(dāng)今較受歡迎的飛行器，它的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問題值得深入研究。三角翼飛行器在飛行過程中會(huì)遇到很多不確定因素，導(dǎo)致飛行事故的發(fā)生。因此，在研究三角翼的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，考慮隨機(jī)激勵(lì)很有必要。當(dāng)三角翼飛行器受隨機(jī)外激或隨機(jī)參激時(shí)，會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)在相空間中發(fā)生隨機(jī)變化，此時(shí)需要考慮系統(tǒng)的可靠性。 在隨機(jī)動(dòng)力學(xué)中可靠性研究是一個(gè)難點(diǎn)[1]，學(xué)者們在這方面做了大量研究。文獻(xiàn)[2-3]研究了基于擬可積Hamilton系統(tǒng)和不擬可積Hamilton系統(tǒng)的鐵路橋梁動(dòng)力可靠度。朱位秋等[4]利用隨機(jī)平均法研究了隨機(jī)激勵(lì)系統(tǒng)的首次穿越與可靠性問題。文獻(xiàn)[5]通過建立可靠性函數(shù)的后向Kolmgolov方程和廣義Pontryagin方程，分析了色噪聲激勵(lì)下的非線性阻尼動(dòng)力系統(tǒng)的首次穿越問題。

三角翼飛行器有較悠久的研究歷史，三角翼因其優(yōu)良的氣動(dòng)特性在軍用飛機(jī)和無人機(jī)上獲得了廣泛的應(yīng)用[6]。李樂奇[7]設(shè)計(jì)了一種雙回路的無人機(jī)滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的PID控制器，但未考慮外界干擾的影響。牛中國等[8]從來流條件和激勵(lì)參數(shù)分析了DBD (dielectric barrier discharge)等離子體激勵(lì)對三角翼流動(dòng)控制效果的影響規(guī)律，并對三角翼前緣渦控制的發(fā)展進(jìn)行總結(jié)展望。大攻角情況下，機(jī)翼搖滾是一種典型多自由度耦合運(yùn)動(dòng)，它的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)是最主要的自由度[9]。文獻(xiàn)[10]采用旋轉(zhuǎn)升力和動(dòng)態(tài)失速2種不同的方法，研究了撲翼產(chǎn)生的非定常氣動(dòng)力降階模型。文獻(xiàn)[11]利用多種方法分析了三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)響應(yīng)。

目前，涉及到三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的文獻(xiàn)大部分是利用多方面耦合的方法研究搖滾氣動(dòng)特性問題，且得到的大多是一個(gè)數(shù)值結(jié)果，對于三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的首次穿越問題的研究較少；利用數(shù)學(xué)方法研究三角翼單自由度滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)問題的文獻(xiàn)也較少。因三角翼外部干擾的文獻(xiàn)也不多，關(guān)于三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)首次穿越的研究就更少。

鑒于此，研究高斯白噪聲激勵(lì)下三角翼飛行器滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性和可靠性問題。建立三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型，利用最大Lyapunov指數(shù)分析穩(wěn)定性，最后加入一個(gè)PID控制律，利用滾轉(zhuǎn)角比例參數(shù)和滾轉(zhuǎn)角速度比例參數(shù)來減少期望滾裝角與實(shí)際滾轉(zhuǎn)角的誤差。理論分析與數(shù)值模擬相結(jié)合，對三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的首次穿越時(shí)間距進(jìn)行了比較。

1 三角翼隨機(jī)動(dòng)力學(xué)模型

考慮三角翼飛行器單自由度滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，討論滾轉(zhuǎn)角隨時(shí)間變化的定量和定性規(guī)律，其滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程[12]為

(1)

系統(tǒng)(1)未考慮隨機(jī)因素，然而實(shí)際因素對飛機(jī)在飛行過程中的影響很大，所以在系統(tǒng)(1)中加入高斯白噪聲，模型如下：

(2)

設(shè)滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù)為

(3)

將式(3)代入式(2)，得

(4)

令ω2=-cβ1，α1=-(cβ2-D)，α2=-cβ3，α3=-cβ4，α4=-cβ5，則整理式(4)可得三角翼飛行器在高斯白噪聲激勵(lì)下的滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)力學(xué)模型：

(5)

其中：W(t)為具有譜密度K的高斯白噪聲；ω2和αi(i=1,2,3,4)均為系統(tǒng)參數(shù)。

其中，X1、X2分別為三角翼滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的滾轉(zhuǎn)角和滾轉(zhuǎn)角速度。

在系統(tǒng)(5)的無阻尼自由振動(dòng)方程中，其勢能和總能量分別為：

由于能量過程是一個(gè)慢變過程，可近似為馬爾科夫擴(kuò)散過程，系統(tǒng)(5)可依概率收斂到一維擴(kuò)散過程，由伊藤方程支配[4]：

dλ=m(λ)dt+σ(λ)dB(t),

其中：B(t)為標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程；m(λ)、σ(λ)分別為伊藤隨機(jī)過程的漂移和擴(kuò)散系數(shù)。

運(yùn)用能量包線隨機(jī)平均法[4]，可計(jì)算得到系統(tǒng)(5)的漂移和擴(kuò)散系數(shù)：

(6)

(7)

為求解系統(tǒng)(5)的隨機(jī)響應(yīng)過程的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)，給出系統(tǒng)(5)相應(yīng)的FPK(fokker-planck-kolmogorov方程[4])：

(8)

對于隨機(jī)動(dòng)力系統(tǒng)(5)，其穩(wěn)定性主要由平穩(wěn)解決定，將式(6)、(7)代入式(8)，得到系統(tǒng)(5)的平穩(wěn)概率密度p(λ)，即平穩(wěn)解：

其中C為任意常數(shù)。

由于系統(tǒng)存在非平凡平穩(wěn)概率密度，可以考慮系統(tǒng)的樣本漸近穩(wěn)定性。

定義1[4]若對每個(gè)ε1,ε2>0，存在δ(ε1,ε2,t0)>0，使得

成立，且對每個(gè)ε>0，存在δ(ε,t0)>0，使得

只要‖x0‖≤δ，由于ε任意小，則稱樣本漸近穩(wěn)定。

非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)(5)的樣本漸近穩(wěn)定性只取決于最大Lyapunov指數(shù)rmax，因此，系統(tǒng)(5)的漸近穩(wěn)定的充要條件為rmax<0。

2 隨機(jī)穩(wěn)定性

最大Lyapunov指數(shù)是判斷非線性隨機(jī)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的漸近穩(wěn)定性的重要參數(shù)。通過計(jì)算線性化系統(tǒng)的最大Lyapunov指數(shù)討論非線性隨機(jī)系統(tǒng)(5)平凡解的局部穩(wěn)定性。

定理1當(dāng)α1<πK/2ω時(shí)，系統(tǒng)(5)的線性伊藤隨機(jī)微分方程的平凡解(0,0)漸近不穩(wěn)定，此時(shí)三角翼飛行器在隨機(jī)擾動(dòng)的影響下會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象。

證明系統(tǒng)(5)存在一個(gè)平凡解O(0,0)，伊藤隨機(jī)微分方程在零點(diǎn)處存在唯一平凡解。將漂移系數(shù)與擴(kuò)散系數(shù)在λ=0處線性化，得到線性化的伊藤隨機(jī)微分方程：

令Y=lnλ，利用伊藤微分規(guī)則可得到Y(jié)的伊藤方程：

(9)

解得式(9)的形式解為

所以可得：

故最大Lyapunov指數(shù)為

當(dāng)r>0，即α1<πK/2ω時(shí)，系統(tǒng)(5)的線性伊藤隨機(jī)微分方程的平凡解漸近不穩(wěn)定。定理證畢。

3 受控系統(tǒng)的穩(wěn)定性

對于飛行器而言，其飛行控制系統(tǒng)在實(shí)際中至關(guān)重要，它的優(yōu)劣程度將直接影響飛機(jī)安全飛行的各項(xiàng)性能。所以在系統(tǒng)(5)的基礎(chǔ)上，借鑒經(jīng)典的PID控制[7]，在系統(tǒng)(5)中加入控制律e，利用滾轉(zhuǎn)角比例參數(shù)和滾轉(zhuǎn)角速度比例參數(shù)來減少期望滾裝角與實(shí)際滾轉(zhuǎn)角的誤差，得到以下受控的動(dòng)力學(xué)方程：

(10)

定理2當(dāng)KD<α1-πK/2γ時(shí)，隨機(jī)系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機(jī)微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。

證明用能量包線隨機(jī)平均法可得相應(yīng)支配的伊藤隨機(jī)微分方程：

dλ=me(λ)dt+σe(λ)dB(t),

其中：

加入控制律后，系統(tǒng)(10)的線性化伊藤隨機(jī)微分方程為

可解得系統(tǒng)(10)在平衡點(diǎn)處線性化的最大Lyapunov指數(shù)為

(11)

根據(jù)式(11)，KD<α1-πK/2γ時(shí)，有re<0，從而受控系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機(jī)微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。定理證畢。

4 受控系統(tǒng)的首次穿越

系統(tǒng)可靠性問題主要考慮可靠性函數(shù)Re(t,t0,λ0)，它為給定初始狀態(tài)λ0∈[λl,λc)的條件下，在t時(shí)刻系統(tǒng)處于λl≤Λ(t)<λc的概率，

其中：p(λ,t|λ0,t0)為過程λ(t)在超越右邊界(λc)之前的轉(zhuǎn)移概率密度；λl為能量過程λ(t)的左邊界。

令τ=t-t0，則可靠性函數(shù)Re(t,t0,λ0)可記為Re(τ,λ0)，轉(zhuǎn)移概率密度p(λ,t|λ0,t0)滿足后向科爾莫戈羅夫方程(backward Kolmogorov，簡稱BK)[4]：

(12)

其中me(λ0)、σe(λ0)為受控的漂移和擴(kuò)散系數(shù)。

考慮到求解可靠性函數(shù)比較困難，而求解首次穿越時(shí)間的統(tǒng)計(jì)量較為簡單，當(dāng)λ(t0)=λ0時(shí)，能量過程λ(t)首次到達(dá)臨界值λc(λ0<λc)，稱其為發(fā)生了首次穿越[4]。

首次穿越時(shí)間的均值與可靠性函數(shù)之間的關(guān)系[4]為

(13)

根據(jù)式(12)、(13)，可得廣義Pontryagin(GP)方程[4]：

(14)

根據(jù)式(14)，解得加入控制律后的首次穿越時(shí)間的n+1階距：

其中：

因首次穿越時(shí)間非負(fù)，不同階的距的統(tǒng)計(jì)量具有相同的趨勢，因此，一階矩是最重要的[4]。當(dāng)n=0時(shí)，加入控制律后首次穿越時(shí)間距為

(15)

5 數(shù)值模擬

在系統(tǒng)(5)中，取K=0.2，ω2=0.16，α2=1.2,α3=0.8,α4=0.49。根據(jù)定理1，取α1=0.6πK/2ω=0.471 2。 取初始點(diǎn)為(3,2)。圖1為變量x的時(shí)間序列圖的樣本。從圖1可看出，系統(tǒng)(5)的零解不是隨機(jī)穩(wěn)定的。

根據(jù)定理2所示，取Kp=0.15,KD<0.7(α1-πK/2γ)。從圖1可看出，系統(tǒng)(10)中的x趨向于0，從而隨機(jī)系統(tǒng)(10)線性化伊藤隨機(jī)微分方程的平凡解是局部漸近穩(wěn)定的。

圖1 變量x的時(shí)間序列

當(dāng)參數(shù)K=0.2，ω2=0.01，α1=0.047，α2=1.2，α3=0.8，α4=0.19，Kp=-0.15，KD=1.8，λ0=1，λc=10時(shí)，圖2 為系統(tǒng)(5)和(10)的首次穿越時(shí)間距。

在系統(tǒng)(5)和(10)中，取ω2=0.01，α1=0.047，α2=1.2，α3=0.8，α4=0.19，Kp=-0.15，KD=1.8，λ0=1，λc=10，關(guān)于K的首次穿越時(shí)間距如圖2所示。當(dāng)K=0.34時(shí)，系統(tǒng)(5)的首次穿越時(shí)間距約為152，施加控制后，系統(tǒng)(10)的首次穿越時(shí)間距明顯增大，約為351，從而提高了系統(tǒng)的可靠性。

W(t)為具有譜密度為K的高斯白噪聲，K∈[0.3,0.6]。從圖2可看出，當(dāng)K=0.42時(shí)，系統(tǒng)(5)、(10)的首次穿越時(shí)間距約為41和82，隨著噪聲強(qiáng)度的增加，系統(tǒng)的首次穿越時(shí)間距均減少。

圖2 首次穿越時(shí)間距

6 結(jié)束語

針對三角翼飛行器在隨機(jī)激勵(lì)影響下滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，研究了三角翼飛行器滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)在高斯白噪聲影響下發(fā)生的首次穿越問題。利用能量包線隨機(jī)平均法將非線性隨機(jī)函數(shù)表示為一維擴(kuò)散過程，通過最大Lyapunov指數(shù)分析系統(tǒng)的局部穩(wěn)定性，建立可靠性函數(shù)和首次穿越時(shí)間的距所滿足的BK方程，計(jì)算出首次穿越時(shí)間距。通過加入一個(gè)控制律，對比了不加控制與加入控制的時(shí)間距，并對結(jié)果進(jìn)行數(shù)值模擬。結(jié)果表明，加入的控制律能使平均首次穿越時(shí)間距明顯增大，有良好的控制效果。本研究的不足之處是考慮的噪聲激勵(lì)是高斯白噪聲，自然界的隨機(jī)干擾很復(fù)雜，對于其他噪聲還需進(jìn)一步研究。