自回歸模型參數(shù)變點(diǎn)的修正殘差CUSUM監(jiān)測

賈偉亞，魏岳嵩，楊兆新①

（淮北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 淮北235000）

0 引言

近些年，變點(diǎn)問題是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)研究的熱點(diǎn)問題之一，在理論和實(shí)踐等方面有諸多應(yīng)用.變點(diǎn)是模型中的某個(gè)或某些量突然變化之點(diǎn)［1］. 變點(diǎn)問題最初在質(zhì)量控制領(lǐng)域被提出，之后，大量的學(xué)者進(jìn)行推廣和完善，逐漸將變點(diǎn)問題應(yīng)用在通信、醫(yī)學(xué)、金融、水文等領(lǐng)域.

變點(diǎn)在線監(jiān)測問題是指在已有模型基礎(chǔ)上對新觀測的數(shù)據(jù)進(jìn)行監(jiān)測，直到出現(xiàn)變點(diǎn)才停止［2］. Horvath等［3-4］應(yīng)用最小二乘估計(jì)研究線性模型系數(shù)變點(diǎn)的殘差在線監(jiān)測問題；Gombay 等［5］通過引入有效得分向量，將變點(diǎn)的在線監(jiān)測問題推廣到AR（p）（p階自回歸）模型中；薛義新等［6］對變點(diǎn)的殘差CUSUM（cumulative sum method，累積和方法）監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行構(gòu)造，證明累積和統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)和備擇假設(shè)下的極限性質(zhì)；Aue 等［7-8］分別應(yīng)用漸近線變點(diǎn)監(jiān)測和波動(dòng)監(jiān)測程序研究RCA（1）（1 階隨機(jī)系數(shù)自回歸）和RCA（p）（p階隨機(jī)系數(shù)自回歸）模型中參數(shù)變點(diǎn)的在線監(jiān)測問題；Xia等［9］提出加權(quán)殘差的CUSUM檢驗(yàn)和MOSUM（Moving sum，滑動(dòng)和方法）檢驗(yàn)2種變點(diǎn)檢驗(yàn)方法；Pape等［10］提出在線監(jiān)測p維隨機(jī)變量序列方差變點(diǎn)的方法；陳占壽等［11-12］通過引入窗寬參數(shù)進(jìn)行線性回歸模型和自回歸模型的參數(shù)變點(diǎn)監(jiān)測，均對原模型進(jìn)行修正后的變點(diǎn)監(jiān)測，有效縮短變點(diǎn)監(jiān)測的平均運(yùn)行長度，有一定的優(yōu)越性. 類似對自回歸模型參數(shù)變點(diǎn)的殘差CUSUM在線監(jiān)測問題，引入窗寬參數(shù)進(jìn)行分析.

本文對AR（p）模型的參數(shù)變點(diǎn)監(jiān)測進(jìn)行分析，對AR（p）模型進(jìn)行系數(shù)變點(diǎn)在線監(jiān)測. 利用最小二乘估計(jì)法構(gòu)造殘差的CUSUM監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量，該檢測統(tǒng)計(jì)量中引入的窗寬參數(shù)對起始時(shí)刻進(jìn)行調(diào)整，將變點(diǎn)出現(xiàn)的其他時(shí)刻移動(dòng)到起始時(shí)刻，提高檢驗(yàn)勢，縮短平均運(yùn)行長度. 證明引入窗寬參數(shù)后的監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量在原假設(shè)和備擇假設(shè)下的極限性質(zhì).

1 模型假設(shè)

考慮如下AR（p）模型

令Yi=(1,yi-1,…,yi-n)T，Φi=(φi0,φi1,…,φip)T，模型簡化yi=YiTΦi+εi(i≥1).這里進(jìn)行如下假設(shè)：

假設(shè)1 Φi=Φ0,1 ≤i≤m.

假設(shè)2 {εi,i≥1} 是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，Eεi=0 ，0＜σ2=Varε1＜∞，E|ε1|v ＜∞，其中v ＞2.

假設(shè)3 AR（p）模型平穩(wěn)，即它的p個(gè)特征根都在單位圓內(nèi).設(shè)H0:Φi=Φ0，i=m+1,m+2,…,m+n.H1：存在k?≥1，使得

其中：Φ0≠Φ?. 當(dāng)Q(m,k,h)第一次超過g(m,k,h)時(shí)拒絕假設(shè)H0，定義停止時(shí)刻

其中：Q(m,k,h)與g(m,k,h)分別表示監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量和邊界函數(shù). 定義

本文使用最小二乘法估計(jì)未知參數(shù)Φn和σ2，Φn的估計(jì)量為，其中

σ2的估計(jì)量為

2 殘差的CUSUM監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量

由監(jiān)測統(tǒng)計(jì)量和邊界函數(shù)給出下列定義

由文獻(xiàn)［13］定理3.7、3.8及注解3.9有

引理1 設(shè)是C 的第一列，在式（1）的條件下，有

及

證明類似文獻(xiàn)［14］中引理5.1的證明.

引理2 在假設(shè)1～3和H0下，當(dāng)m→∞時(shí)，那么有

其中

證明由于

由中心極限定理和式（2）得

由引理1，存在ξ1和m0，使得

綜合式（2）（4）（5）得

又

得

這里m→∞. 由式（4）和式（7）得

結(jié)論得證.

引理3 在假設(shè)1～3和原假設(shè)H0下，存在2個(gè)相互獨(dú)立的維納過程

那么有

證明由假設(shè)2可得是相互獨(dú)立的，其中m=1,2,…. 因此，對任意m的K-M-T近似值［15-16］，有2個(gè)相互獨(dú)立的維納過程和{W2,m(t),0 ≤t＜∞}，使得

所以

和

結(jié)論得證.

3 極限分布定理

定理1 在假設(shè)1～3和原假設(shè)H0下，那么有

和

由疊對數(shù)原理，對?δ ＞0，有

由初等定理得

其中T→∞. 由式（11）～（13），得

其中?δ ＞0.由的疊對數(shù)原理得

其中?δ ＞0.由式（8）～（10），式（14）（15），得

假設(shè)明確表明

由引理3和式（16）～（18），結(jié)論得證.

定理2 若假設(shè)1～3成立，且CT1( )

Φ0-Φ?≠0，在備擇假設(shè)H1下，那么有

證明設(shè)，由假設(shè)H1可得

由定理1得

由式（3）有

由式（20）可得

由式（19）與（21），結(jié)論得證.