正、余弦函數(shù)概念教學(xué)反思與重構(gòu)

程仕然

[摘要]從數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角對(duì)正、余弦函數(shù)概念課堂教學(xué)存在的問(wèn)題進(jìn)行反思與重構(gòu)，并給出正、余弦函數(shù)概念教學(xué)的有效策略。

[關(guān)鍵詞]正弦函數(shù);余弦函數(shù);課堂教學(xué);反思;重構(gòu)

[中圖分類號(hào)]G633.6 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A [文章編號(hào)]1674-6058（2020）05-0004-02

正、余弦函數(shù)是解決“按一定規(guī)律周而復(fù)始”問(wèn)題的重要函數(shù)模型，它們是基本初等函數(shù)，它們上承函數(shù)，下啟三角，外聯(lián)向量、解析幾何等內(nèi)容，對(duì)學(xué)生構(gòu)建三角函數(shù)體系，發(fā)展函數(shù)思想，形成初步的幾何（三角形）問(wèn)題代數(shù)化（直角坐標(biāo)系下變量關(guān)系）的解析幾何意識(shí)都有很大幫助，研究正、余弦函數(shù)概念教學(xué)策略具有很好的現(xiàn)實(shí)意義。

一、存在的問(wèn)題

在本節(jié)內(nèi)容的課堂教學(xué)中，常出現(xiàn)如下情形，

情形一：初、高中銜接不暢，教師對(duì)學(xué)生初中學(xué)習(xí)的內(nèi)容和掌握程度不了解，對(duì)學(xué)生能力的預(yù)設(shè)偏高，學(xué)生也因?yàn)槌踔袑W(xué)習(xí)過(guò)銳角三角函數(shù)，從而對(duì)高中新概念的認(rèn)識(shí)和學(xué)習(xí)缺少熱情和理性。

情形二：概念給出直白，缺少概念產(chǎn)生過(guò)程的建構(gòu)，學(xué)生不能領(lǐng)會(huì)概念背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，發(fā)揮不出本節(jié)概念的核心和根基作用。

情形三：缺少數(shù)學(xué)文化的滲透，概念一帶而過(guò)，大部分課堂時(shí)間用在講解例題和練習(xí)上。

情形四：個(gè)別教師對(duì)正、余弦函數(shù)概念本身理解有偏差，對(duì)正、余弦都是角理的函數(shù)理解和表述不清。

高質(zhì)量的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，需要我們?cè)诤诵乃仞B(yǎng)視角下，以概念的有效教學(xué)為突破口，在反思中研究，在重構(gòu)中升華課堂教學(xué)。

二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)視角下課程目標(biāo)分析

1.數(shù)學(xué)建模，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題

從“周而復(fù)始”的生活現(xiàn)象抽象出“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”這一簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型，是進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的最好契機(jī)，提出點(diǎn)與角之間關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，能夠讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的關(guān)聯(lián)，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界。

2.邏輯推理與直觀想象，分析問(wèn)題

從初中的直角三角形邊的比定義的三角函數(shù)，類比出高中坐標(biāo)系上坐標(biāo)比的銳角三角函數(shù)定義，再推廣到一般的三角函數(shù)，這是通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算從特殊到一般的推理，是邏輯推理的體現(xiàn)，通過(guò)直觀想象，建立了形（終邊上點(diǎn)P（x，y））與數(shù)（角α的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)）間的聯(lián)系。

3.數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)抽象，解決問(wèn)題

在整個(gè)概念形成的過(guò)程中，從角α的“直角三角形中邊的比，坐標(biāo)系中的坐標(biāo)比”的圖形問(wèn)題到角α的“正弦、余弦”數(shù)量問(wèn)題，從數(shù)量（正弦，余弦）到數(shù)量（正弦函數(shù)，余弦函數(shù)）抽象出正、余弦函數(shù)的數(shù)學(xué)概念，始終貫穿著數(shù)學(xué)抽象，從銳角三角函數(shù)到任意角的三角函數(shù)，從直角三角形中“邊的比”研究三角函數(shù)到坐標(biāo)系下任意角的終邊上點(diǎn)的“坐標(biāo)比”，一步步抽象出任意角的三角函數(shù)概念，這是從特殊到一般的思考問(wèn)題的方式，是培養(yǎng)學(xué)生把握事物本質(zhì)，運(yùn)用數(shù)學(xué)抽象思維方式思考并解決問(wèn)題的有效途徑，也是提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。

三、反思與重構(gòu)

1.精準(zhǔn)對(duì)接，從“角度變量說(shuō)”過(guò)渡到“實(shí)數(shù)對(duì)應(yīng)說(shuō)”

表1是蘇教版教材（義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)、九年級(jí)下冊(cè)，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1、必修4）該節(jié)相關(guān)內(nèi)容的初、高中呈現(xiàn)形式，

2.問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，從數(shù)學(xué)建模角度重塑正、余弦函數(shù)概念

初中的三角函數(shù)是解決氣球有多高、壩底有多寬等平面幾何問(wèn)題，以直角三角形的銳角（角度制）為自變量的函數(shù)模型，這些初中學(xué)習(xí)的知識(shí)，是學(xué)習(xí)高中知識(shí)的基礎(chǔ)，但也使得多數(shù)師生對(duì)高中新學(xué)習(xí)的內(nèi)容重視不夠，對(duì)新概念的認(rèn)識(shí)缺少研究的熱情和建模的理性。

從學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，提出問(wèn)題：自然界中有許多“按一定規(guī)律周而復(fù)始”的現(xiàn)象……一個(gè)簡(jiǎn)單又基本的例子便是“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”……用（r，a）與用坐標(biāo)（x，y）均可表示圓周上點(diǎn)……用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫（x，y）與（r，a）之間的關(guān)系？從“周而復(fù)始”的生活現(xiàn)象抽象出“圓周上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)”這一簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型，提出點(diǎn)與角之間關(guān)系的數(shù)學(xué)問(wèn)題，進(jìn)一步研究正、余弦函數(shù)是以弧度制下任意角（實(shí)數(shù)）與正、余弦值對(duì)應(yīng)的函數(shù)，建立解決“按一定規(guī)律周而復(fù)始”問(wèn)題的函數(shù)模型——正、余弦函數(shù)。

3.文化滲透，從概念產(chǎn)生的歷史中尋找研究模型的思路和方法

三角函數(shù)的發(fā)展有著漫長(zhǎng)的歷史，最初是以幾何形式表現(xiàn)出來(lái)的，只是靜態(tài)地研究三角形問(wèn)題，后來(lái)，歐拉把三角函數(shù)定義為一種函數(shù)線與圓半徑的比值，再令圓的半徑為單位長(zhǎng)度后，三角函數(shù)可以簡(jiǎn)化為一種與角相對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，他把三角量看作為函數(shù)，使得三角學(xué)進(jìn)入現(xiàn)代時(shí)代。

三角學(xué)相關(guān)概念的產(chǎn)生和完善過(guò)程恰好符合學(xué)習(xí)者的認(rèn)知規(guī)律，正好解決了學(xué)生從初中注重“幾何形式”的銳角三角函數(shù)問(wèn)題升級(jí)到注重“代數(shù)形式”的任意角三角函數(shù)問(wèn)題，重塑概念產(chǎn)生歷程，適當(dāng)?shù)貪B透相應(yīng)的數(shù)學(xué)文化知識(shí)，讓學(xué)生知其然又知其所以然，會(huì)讓學(xué)生找到知識(shí)的生發(fā)點(diǎn)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)和研究提供思路和方向，為概念的抽象搭建舞臺(tái)，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和欲望。

4.適時(shí)簡(jiǎn)化，從模型中抽象出函數(shù)概念及數(shù)學(xué)符號(hào)表示形式

綜上，正、余弦函數(shù)概念的有效課堂教學(xué)策略：建模激趣，文化滲透，精準(zhǔn)對(duì)接，適時(shí)簡(jiǎn)化，重視抽象，重塑概念產(chǎn)生歷程，在概念構(gòu)建過(guò)程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。