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      高中數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)策略

      2020-03-18 03:05:18陳劍穎
      數(shù)理化解題研究 2020年3期
      關(guān)鍵詞:解題技巧極值單調(diào)

      陳劍穎

      (福建省福州第十一中學(xué) 350001)

      高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)解題教學(xué)中,求導(dǎo)是最為基礎(chǔ)的步驟,關(guān)系著解題的成敗,教學(xué)中應(yīng)做好基礎(chǔ)知識講解,使學(xué)生牢固掌握常見函數(shù)的求導(dǎo)公式,避免求導(dǎo)時張冠李戴.同時,依托具體題型,講解相關(guān)解題策略,使學(xué)生少走彎路,盡快找到解題突破口.

      一、利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性的解題策略

      求解復(fù)雜函數(shù)單調(diào)性是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用之一.通常函數(shù)帶有參數(shù),研究其單調(diào)性時需要進(jìn)行分類討論.為使學(xué)生掌握這一題型的解題方法,教學(xué)中,一方面,認(rèn)真講解導(dǎo)數(shù)的意義,使學(xué)生深入理解.同時,要求學(xué)生采用對比記憶法,牢固記憶基本函數(shù)、復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式,明確求導(dǎo)中應(yīng)注意的問題,以正確求導(dǎo),為討論函數(shù)單調(diào)性奠定基礎(chǔ).另一方面,依托具體例題講解,使學(xué)生認(rèn)識到求導(dǎo)后需運用所學(xué)的函數(shù)知識進(jìn)行分類討論,確定函數(shù)的極值點以及對應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

      例1已知函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)ex(x∈R),若x=1是函數(shù)f(x)的一個極值點,試求出b關(guān)于a的關(guān)系式(用a表示b),并確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.

      解題策略首先,根據(jù)f(x)的表達(dá)式先進(jìn)行求導(dǎo),由x=1,求出b關(guān)于a的關(guān)系式.其次,求導(dǎo)后,統(tǒng)一使用a表示f(x)的導(dǎo)函數(shù),求解出函數(shù)的極值點.最后分類討論極值點,確定其單調(diào)區(qū)間,解題過程如下:

      解由f(x)=(x2+ax+b)ex,則f′(x)=[x2+(2+a)x+(a+b)]ex.

      ∵x=1為其極值點,則f′(1)=[1+(2+a)+(a+b)]e=0,解得b=-3-2a,則f′(x)=ex(x-1)[x+(3+a)].令f′(x)=0得x1=1,x2=-3-a.∵x=1是極值點,∴-3-a≠1,即a≠-4.當(dāng)-3-a>1,即a<-4時,由f′(x)>0得x∈(-3-a,+∞)或x∈(-∞,1),由f′(x)<0得x∈(1,-3-a),當(dāng)-3-a<1,即a>-4時,由f′(x)>0得x∈(1,+∞)或x∈(-∞,-3-a),由f′(x)<0得x∈(-3-a,1).

      綜上,當(dāng)a<-4時,f(x)在(-∞,1)、(-3-a,+∞)上單調(diào)遞增,在(1,-3-a)上單調(diào)遞減.當(dāng)a>-4時,f(x)在(-∞,-3-a)、(1,+∞)上單調(diào)遞增,在(-3-a,1)上單調(diào)遞減.

      二、利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍解題策略

      求解參數(shù)范圍是導(dǎo)數(shù)知識的又一重要應(yīng)用,其常和導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性、極值點結(jié)合起來,綜合性較強(qiáng).為使學(xué)生能夠順利解答這一試題類型,教學(xué)中,一方面,引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化,尤其對于恒成立問題,可轉(zhuǎn)化為f(x)min>a或f(x)max

      例2已知函數(shù)f(x)=aln(1+x)+x2-10x,x=3為其一個極值點.若直線y=b和函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,求b的取值范圍.

      解題策略首先,根據(jù)題干求出函數(shù)f(x)的表達(dá)式.其次,通過求導(dǎo)找到其單調(diào)區(qū)間及極值點.最后,根據(jù)其單調(diào)性其極值點,大致繪制其圖形,確定b的取值范圍,解題過程如下:

      ∴f(x)max=f(1)=16ln2-9,f(x)min=f(3)=32ln2-21.又當(dāng)x→-1+時,f(x)→-∞;當(dāng)x→+∞時,f(x)→+∞.

      結(jié)合函數(shù)大致圖形可知要想直線y=b和y=f(x)的圖象有3個交點,則b的取值范圍應(yīng)為(32ln2-21,16ln2-9).

      三、利用導(dǎo)數(shù)求解不等式的解題策略

      導(dǎo)數(shù)和不等式結(jié)合在高考中較為常見.這類題型技巧性較強(qiáng),有時需要構(gòu)造函數(shù),因此,教學(xué)中,為使學(xué)生攻克這一類型,一方面,為學(xué)生講解相關(guān)的解題技巧,如進(jìn)行作差和零比較大小,作商和1比較大小等.另一方面,為使學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)求解不等式的具體過程,教學(xué)中還應(yīng)多為學(xué)生講解相關(guān)題目,詳細(xì)板書解題過程,鼓勵學(xué)生進(jìn)行思考,當(dāng)堂消化吸收所學(xué).

      解題策略首先,根據(jù)給出的函數(shù)表達(dá)式求解其單調(diào)性,求解單調(diào)性時應(yīng)注意定義域.其次,根據(jù)要求證的結(jié)果,分別進(jìn)行作差,結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及極值分別加以證明.另外,需要注意的是,必要情況下需要構(gòu)造新的函數(shù),通過求導(dǎo)進(jìn)行證明.該題的證明過程如下:

      高中數(shù)學(xué)教學(xué)中,為使學(xué)生掌握導(dǎo)數(shù)解題技巧,應(yīng)做好教學(xué)經(jīng)驗總結(jié),注重教學(xué)反思,積極尋找有效的教學(xué)策略.一方面,深入講解導(dǎo)數(shù)基礎(chǔ)知識,使學(xué)生切實打牢基礎(chǔ),應(yīng)講解優(yōu)秀例題,使學(xué)生掌握不同題型解題方法.另一方面,優(yōu)選代表性題目,對學(xué)生進(jìn)行訓(xùn)練,使學(xué)生在訓(xùn)練中積累經(jīng)驗,掌握解題技巧,高效解答有關(guān)導(dǎo)數(shù)類型的試題.

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