基于學(xué)生學(xué)習(xí)起點分析的幾何教學(xué)研究
——以人教版“認(rèn)識圖形(二)”一課為例

韋欣

“認(rèn)識圖形(二)”是人教版(2013年版)小學(xué)數(shù)學(xué)一年級下冊的教學(xué)內(nèi)容，是學(xué)生正式學(xué)習(xí)平面圖形的開始。內(nèi)容分3個課時進(jìn)行教學(xué)：一是在由立體圖形描畫出平面圖形并分類的活動中，讓學(xué)生初步認(rèn)識長方形、正方形、平行四邊形、三角形和圓；二是通過同樣的平面圖形進(jìn)行拼組的活動，讓學(xué)生初步體會平面圖形之間的關(guān)系；三是解決簡單的實際問題。

樹立以學(xué)為中心的理念，教師在備課前把握學(xué)生學(xué)習(xí)起點，思考學(xué)生學(xué)習(xí)起點對教學(xué)設(shè)計實施的作用與價值，在教與學(xué)的活動中更好地凸顯學(xué)生的主體地位，更好地根據(jù)學(xué)生的困惑疑難處去突破重難點，使教師的教與學(xué)生的學(xué)達(dá)到事半功倍的效果。對“認(rèn)識圖形(二)”第一課時，基于學(xué)生學(xué)習(xí)起點分析，進(jìn)行教學(xué)研究；研究怎樣把握學(xué)生的學(xué)習(xí)起點，如何因應(yīng)學(xué)習(xí)起點進(jìn)行教學(xué)改進(jìn)，以期得到認(rèn)識圖形教學(xué)的一般教學(xué)啟示，以提升認(rèn)識圖形教與學(xué)的效率。

一、學(xué)生學(xué)習(xí)起點分析

學(xué)生學(xué)習(xí)起點可分為兩類，一類是學(xué)習(xí)心理基礎(chǔ)，另一類是學(xué)習(xí)知識起點。學(xué)習(xí)知識起點就是學(xué)生學(xué)習(xí)新內(nèi)容時的知識準(zhǔn)備，即邏輯知識起點和現(xiàn)實知識起點。邏輯知識起點是指學(xué)生按照教材學(xué)習(xí)的進(jìn)度，需要具有的知識準(zhǔn)備?，F(xiàn)實知識起點是指學(xué)生實際的知識狀況和學(xué)習(xí)經(jīng)驗，對知識學(xué)習(xí)可能起正向或負(fù)向作用。

(一)學(xué)習(xí)心理基礎(chǔ)分析

關(guān)于兒童幾何概念發(fā)展的研究，大多以皮亞杰和范希爾的研究為基礎(chǔ)，皮亞杰側(cè)重于從年齡角度考查發(fā)展的過程，范希爾側(cè)重研究影響幾何思考發(fā)展的教學(xué)因素。

綜合皮亞杰理論和范希爾理論研究，分析一年級學(xué)生學(xué)習(xí)幾何概念的心理基礎(chǔ)。學(xué)生年齡在6—7歲，剛接觸幾何圖形方面的知識，處于皮亞杰理論的投影幾何階段，主要通過直觀認(rèn)知，只有經(jīng)過視覺確認(rèn)的事物，才認(rèn)為其真實存在，蘊藏在視覺之外的事物都不真實，相信各種形狀會根據(jù)視角的變化而變化。按范希爾理論，學(xué)生的幾何思維水平則處于最低水平0(前識別)與水平1(直觀)的過渡期。從不能辨認(rèn)許多常見的形狀，發(fā)展到能根據(jù)圖形的表面來辨別和操作幾何形狀。根據(jù)以上分析，啟發(fā)教師思考：認(rèn)識圖形的教學(xué)需重視直觀性學(xué)習(xí)，教師需要合理設(shè)計符合學(xué)生心理基礎(chǔ)的活動，發(fā)揮學(xué)生語言表達(dá)的作用。

(二)邏輯知識起點分析

學(xué)生在一年級上學(xué)期已經(jīng)直觀地認(rèn)識了長方體、正方體、圓柱等立體圖形，可以根據(jù)圖形的特征作出辨別?！罢J(rèn)識圖形”是學(xué)生正式學(xué)習(xí)平面圖形的開始。

(三)現(xiàn)實知識起點分析

結(jié)合單元知識，對本校一年級3個班學(xué)生，共94人進(jìn)行平面圖形表象形成情況的前測。

【測試題1】你知道下面這些圖形的名稱嗎？請把圖形和名稱連起來。

圖1

結(jié)果分析：學(xué)生基本能正確連線，正確率達(dá)93.6%，連錯的學(xué)生錯在不認(rèn)識平行四邊形的名稱。測試題1的圖形全部是正向呈現(xiàn)(底邊水平)，結(jié)合范希爾幾何思維水平分析，一年級學(xué)生正處于水平0(前識別)與水平1(直觀)的過渡期，主要通過整體輪廓辨認(rèn)圖形，已基本形成一般圖形表象(見圖1)，反映學(xué)生能夠感知某一平面幾何圖形，能將這個圖形從若干個其他圖形中辨認(rèn)出來，一般圖形表象與名稱能一一對應(yīng)。

【測試題2】把圖形的序號填進(jìn)合適的括號里面。(完成測試題1后，告知連線錯誤的6名學(xué)生平行四邊形的名稱后，再進(jìn)行題2測試)

圖2

對結(jié)果進(jìn)行數(shù)據(jù)統(tǒng)計并對個別學(xué)生進(jìn)行訪談，結(jié)合范希爾幾何思維水平分析，測試題2的圖形除了底邊水平正向呈現(xiàn)的一般圖形外，還出現(xiàn)了變式呈現(xiàn)，大小位置方向各有不同。

結(jié)果發(fā)現(xiàn)，把立體圖形與平面圖形混淆的有8人，占8.51%；訪談表明，有的學(xué)生認(rèn)為長方體上也有長方形，所以在長方形的選項中選了⑧，有的學(xué)生能區(qū)分實物，卻看不出立體圖形的平面圖與平面圖形有區(qū)別。把④認(rèn)為是圓的有10人，占10.64%；學(xué)生認(rèn)為橢圓是一個很特別的圓，理由類似于有兩個面是正方形的也是長方體。學(xué)生對圓的辨析度最高，這反映出學(xué)生在這幾種平面圖形中，比較容易接受圓的概念。把②認(rèn)為是長方形的有18人，占19.14%；這反映出學(xué)生特別關(guān)注長方形“長”的特征，即兩條邊長，兩條邊短，而對角特征的感覺比較弱。認(rèn)為⑦不是正方形的有45人，占47.87%；學(xué)生認(rèn)為底邊不是水平的，就不是正方形。教師要提示學(xué)生，一般圖形表象的非本質(zhì)屬性會對其判斷造成干擾；即在另一種不同的視覺角度下，當(dāng)位置、方向發(fā)生變化時，就不能正確辨認(rèn)出同一種圖形。認(rèn)為⑨不是平行四邊形的有71人，占75.53%；學(xué)生要么認(rèn)為它是菱形，與平行四邊形是完全不同的圖形，要么不知道它是什么圖形。幾何概念的圖形表象包括一般圖形表象和特殊圖形表象，當(dāng)呈現(xiàn)特殊圖形表象時，未正式學(xué)習(xí)幾何概念的學(xué)生則難以理解，會將特殊圖形表象視作與一般圖形表象完全不同的另一種圖形。

本題全對的學(xué)生僅有23人，占24.47%。這部分學(xué)生已經(jīng)從層次0水平發(fā)展到層次1水平，能分析圖形的組成要素及特征，了解圖形的特性，能夠把兩個或多個不同的例證視為同一類圖形。

學(xué)生在生活和經(jīng)驗中已經(jīng)積累了一定的平面圖形知識，形成了一定的圖形表象，但這些表象是不完整的，只有對圖形整體的認(rèn)識，沒有關(guān)注到更多的特征，或只局限于一些特殊的表象。

二、基于學(xué)習(xí)起點分析的教學(xué)研究

幾何概念的內(nèi)部表征形式以表象為主，所謂表象，就是信息在頭腦中的形象性表征方式，由于幾何對象與概念本身就伴隨著圖形信息，因此表象是幾何推理與想象的基本形式?；谏鲜鰧W(xué)生學(xué)習(xí)起點分析，“認(rèn)識圖形(二)”的教學(xué)研究如下。

(一)對照課標(biāo)要求，準(zhǔn)確定位學(xué)習(xí)目標(biāo)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對行為動詞分類是按照了解、理解、掌握、運用從低到高的要求程度排列的。課標(biāo)第10頁第一學(xué)段目標(biāo)提出“經(jīng)歷從實際物體中抽象出簡單幾何體和平面圖形的過程，了解一些簡單幾何體和常見的平面圖形”。課標(biāo)第18頁課程內(nèi)容部分提出“3．能辨認(rèn)長方形、正方形、三角形、平行四邊形、圓等簡單圖形。4．通過觀察、操作，初步認(rèn)識長方形、正方形的特征(三年級)。5.會用長方形、正方形、三角形、平行四邊形或圓拼圖。7.能對簡單幾何體和圖形進(jìn)行分類”。

根據(jù)課標(biāo)要求，基于學(xué)生的幾何思維實際水平，在一年級幾何圖形教學(xué)中，教師應(yīng)對學(xué)生的要求是“辨認(rèn)”，不應(yīng)有意去拔高。因此，目標(biāo)定位為建立幾何圖形表象。具體為直觀認(rèn)識平面圖形，能夠辨認(rèn)和區(qū)分它們。

(二)重視直觀學(xué)習(xí)，初步形成圖形表象

1.體會面在體上，感受直觀表象

學(xué)生對幾何圖形的認(rèn)識依賴于觀察、操作，從感知具體事物入手，充分利用視覺、聽覺、觸覺等多種感官，親身體驗有助于形成幾何圖形表象。

學(xué)生在一年級第一學(xué)期已經(jīng)認(rèn)識了立體圖形。教師可以讓學(xué)生說出自備盒子和教師提供盒子的形狀，回顧已學(xué)過的立體圖形的名稱，喚醒認(rèn)知經(jīng)驗。由于學(xué)生在日常生活中對平面圖形已具備了一定感性認(rèn)識，因此讓他們找一找在這些物體中還藏著一些什么圖形，看一看在此立體圖形上找到了哪些圖形，摸一摸這個圖形在哪里。說一說摸這個圖形有什么感覺？學(xué)生會覺得是平平的、滑滑的。教師介紹平面圖形后，直接告知平面圖形上有邊和角，讓學(xué)生再摸摸邊有什么感覺，摸角呢？讓學(xué)生通過找一找、看一看、摸一摸、說一說，先直觀認(rèn)識“面在體上”，體會平面圖形與立體圖形的關(guān)系；再引導(dǎo)學(xué)生在描述的過程中，初步感受平面圖形的整體形狀，知道平面圖形有邊有角。

2．操作面從體生，再現(xiàn)圖形表象

在學(xué)生的原有認(rèn)知中，實物是實物，圖形是圖形，兩者是沒有關(guān)系的。因此，在具體三維的“體”中分離抽象出二維的“面”，是學(xué)生空間觀念認(rèn)識發(fā)展的一大飛躍。前測結(jié)果也說明有部分學(xué)生面體不分?？梢姀摹绑w”剝離出“面”，是學(xué)生新舊知識的銜接點。皮亞杰說，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須有動手做的過程。

通過觀看從物體表面描出平面圖形的微課，學(xué)生自主嘗試描、畫、印、拓等活動，讓學(xué)生經(jīng)歷從物體上“分離”出面的過程，體會“面從體生”，面與體的聯(lián)系區(qū)別，體會平面圖形的共同特征就是物體某個面的形狀。說說用什么體的哪個面畫出了什么形，初步體會某種平面圖形是對應(yīng)立體圖形某個面的形狀，以及同一個立體圖形(如三棱柱)的不同面可以畫出不同的平面圖形。教師展示學(xué)生畫的各種各樣的長方形，讓學(xué)生感受這些圖形大小不一，體會不同長方體能畫出不同的長方形，同一個長方體也可畫出不同的長方形，豐富學(xué)生對長方形的表象認(rèn)識。

學(xué)生利用直觀模型，通過找、看、摸、說，體會“面”在“體”上，感知圖形表象，通過描、畫、印、拓等操作，了解“面”從“體”生，再現(xiàn)圖形表象。讓學(xué)生經(jīng)歷從具體到抽象的過程，初步形成圖形的直觀表象，初步了解圖形與模型、名稱與圖形的聯(lián)系。

(三)呈現(xiàn)變式樣例，正確建立圖形表象

范希爾認(rèn)為幾何思維達(dá)到直觀水平的標(biāo)志是“學(xué)生能認(rèn)識各種圖形存在差異，并懂得在不同的位置，圖形保持形狀不變。一般圖形表象是幾何概念表征的重要形式，通過識記正確的圖形表象來理解幾何概念，既是前提又是手段”。心理學(xué)研究表明，識記的效果受到識記材料的性質(zhì)及數(shù)量、呈現(xiàn)形式等多方面因素的制約。

從前測可知，當(dāng)正方形底邊不是水平擺放時，學(xué)生就認(rèn)為它不是正方形，一般圖形表象的非本質(zhì)屬性會對學(xué)生造成干擾。再通過觀察比較一年級教材中幾何圖形的圖示，我們可以發(fā)現(xiàn)教材都是以標(biāo)準(zhǔn)圖形呈現(xiàn)的，即底邊都是水平方向放置，這樣的直觀材料雖然有利于學(xué)生對幾何圖形表象的建立，但也容易限制學(xué)生的思維，讓學(xué)生誤認(rèn)為圖形的底邊水平是圖形的本質(zhì)屬性，從而縮小概念的外延。

因此，教學(xué)中提供的直觀材料必須要考慮到圖形概念的含義以及圖形表象的科學(xué)性，教師需要通過圖形變式，減少圖形表象非本質(zhì)屬性干擾來教學(xué)，突出圖形的本質(zhì)屬性。一般意義上的概念性變式包括概念變式和非概念變式，受限于學(xué)生的心理認(rèn)知特點，一年級的圖形教學(xué)宜只采用概念變式，讓一般圖形表象的非本質(zhì)屬性發(fā)生變化，且注意變式的樣例不宜太多。

如改變圖形擺放的方式，使位置、方向不同，讓學(xué)生在不同的視角下，仍能辨認(rèn)出這是什么圖形。通過教具改變圖形邊的長短、角的大小(如三角形、平行四邊形)，使其大小、形狀不同，讓學(xué)生認(rèn)出這是什么圖形。在圖形變式中初步感受各種圖形的外在樣式可以是多種多樣的。教師設(shè)計把圖形送回家的游戲，學(xué)生要找出圖形的共同點才能正確辨析，并完成任務(wù)。在此過程中學(xué)生進(jìn)一步體會圖形的本質(zhì)屬性，教師向其滲透“變中不變”思想，從而幫助其建立正確幾何圖形表象。

(四)加強(qiáng)語言描述，理解圖形表象特征

根據(jù)范希爾理論，每一個幾何思維水平都有自己的語言，組織語言活動是促進(jìn)向高一級水平發(fā)展的主要因素。同時，加強(qiáng)語言表征，能凸顯一般圖形表象的本質(zhì)屬性，對學(xué)生正確記憶圖形表象有非常重要的作用。因此，在教學(xué)過程中，應(yīng)盡力為學(xué)生提供語言交流的機(jī)會。

例如，認(rèn)識圖形的名稱以及面對各種變式的圖形，在正確建立圖形表象的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生說說今天所學(xué)的平面圖形里面，哪個最特別，以此進(jìn)行圖形分類的活動。低年級的學(xué)生因年齡限制，只能使用自己的話語系統(tǒng)來描述：“圓最特別，因為只有它的邊是彎彎的，其他圖形的邊是直直的。”直觀描述出直線圖形與曲線圖形的區(qū)別。教師趁機(jī)引導(dǎo)，拿走所有的圓形，繼續(xù)觀察剩下的幾種圖形，“它們的邊都是直的，你又覺得哪種最特別呢？”學(xué)生回答：“三角形，形狀都不一樣，而且三角形只有三條邊，其余圖形都是四條邊?！蹦米呷切魏笤儆^察，學(xué)生會說：“平行四邊形的邊有兩條是斜的?！蓖瑫r還用身體語言來輔助，做手勢同時向左斜或向右斜。教師指著不是水平放置的長方形，故作疑惑地說：“這個長方形的兩條邊也是斜的呀?！睂W(xué)生很著急地說：“如果放正了，就不斜了，就會這樣了?！彪S即用兩手做出直角的樣子。當(dāng)只剩下長方形和正方形時，教師提問：“這兩種圖形長得很像，角都是這樣的(做出直角手勢)，你們是怎樣辨別它們的？”學(xué)生指著黑板上的長方形回答：“長方形有時胖(長寬接近)，有時瘦(長寬相差較多)，有時不肥不瘦(接近黃金比例，生活中常見的長方形，如門窗、書本的表象)，但正方形都是方方的(四邊相等)?！?/p>

學(xué)生的語言很有童真，雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn)，但都經(jīng)過自己的觀察、比較、思考、抽象、概括，用自己的話語系統(tǒng)提煉表達(dá)出來。通過語言描述和分類辨析活動，促進(jìn)學(xué)生從關(guān)注圖形的整體形狀到開始觀察圖形的局部，關(guān)注邊、角的特征，進(jìn)一步認(rèn)識理解圖形表象所反映的本質(zhì)屬性。幫助大部分的學(xué)生從范希爾層次0(前識別)向水平層次1(直觀)水平過渡，并滲透認(rèn)識圖形的學(xué)法指導(dǎo)。一般認(rèn)識圖形是從邊、角特征入手研究的。

(五)設(shè)計想象活動，初步培養(yǎng)空間觀念

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展空間觀念。幫助學(xué)生建立空間觀念，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀與推理能力。要求在學(xué)生對圖形有豐富感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上，循序漸進(jìn)培養(yǎng)其空間觀念。

空間想象能力是空間觀念建立標(biāo)志之一，學(xué)生如果能從圖形的局部，想象到圖形的整體和結(jié)構(gòu)，或者無圖聯(lián)想，得到圖形的表象，這說明學(xué)生達(dá)到了空間想象能力的第一水平——聯(lián)想水平。

前面談到的觀外形，觸其面，畫其形，讀名稱，分類別，辨特征，都能幫助學(xué)生建立正確的圖形表象，從而形成空間觀念。由于一年級的學(xué)生受幾何思維水平所限，教師可以設(shè)計適當(dāng)?shù)南胂蠡顒印?/p>

【例1】“我說你畫”活動

請學(xué)生閉上眼睛，先在腦海中想想圓形、三角形、平行四邊形、長方形、正方形的樣子，教師說出一個圖形的名字，讓學(xué)生伸出手指，在空中畫一畫它們的樣子。

【例2】分組進(jìn)行“我說你猜”活動

一個同學(xué)手伸進(jìn)箱子摸出一個圖形(不拿出箱子)，告訴同學(xué)，摸到圖形的邊和角是什么樣子的，讓同學(xué)猜猜摸到的圖形名稱。講的同學(xué)根據(jù)摸的直觀感覺，描述出幾何圖形特征，猜的同學(xué)依據(jù)語言描述，提取記憶表象，想象出實際圖形。

學(xué)生經(jīng)歷動手摸物、調(diào)動表象、回憶特征、語言描述，想象圖形的過程，在多感官的協(xié)同活動中，彼此深化對幾何圖形的特征認(rèn)識，有助于空間觀念的建立。

基于以上對學(xué)生學(xué)習(xí)心理基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)知識起點分析以及對“認(rèn)識圖形(二)”的教學(xué)研究，我們可以得到認(rèn)識圖形的一般教學(xué)啟示：因?qū)W定教，準(zhǔn)確定位要求設(shè)計活動；重視直觀，初步形成幾何圖形概念；呈現(xiàn)變式，建立正確幾何圖形概念；利用語言，理解幾何圖形概念特征；合理想象，深化概念培養(yǎng)空間觀念。