基于Theodorsen氣動(dòng)模型的機(jī)翼顫振計(jì)算與分析

李 達(dá), 楊 慧, 胡志賢

(上海工程技術(shù)大學(xué) 航空運(yùn)輸學(xué)院， 上海 201620)

0 引 言

下一代飛行器的機(jī)翼具有大展弦比和高空飛行的特點(diǎn)，這使得氣動(dòng)彈性問(wèn)題變得突出，為了保證其能在極端環(huán)境下安全飛行，需要對(duì)機(jī)翼的顫振問(wèn)題進(jìn)行研究與分析。顫振是典型的氣動(dòng)彈性問(wèn)題，是彈性結(jié)構(gòu)在均勻流體中受到流體動(dòng)力、慣性力和彈性力的耦合作用而發(fā)生的一種不衰減振動(dòng)。機(jī)翼的顫振問(wèn)題是飛行器系統(tǒng)中一個(gè)備受重視的問(wèn)題，機(jī)翼顫振問(wèn)題具有復(fù)雜性和不可預(yù)知性，若飛行器的機(jī)翼發(fā)生顫振，其帶來(lái)的后果往往是毀滅性的[1]。

國(guó)外早期的大多數(shù)研究主要采用風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)方法。Garrick推導(dǎo)得出俯仰沉浮翼型的推力和效率計(jì)算公式[2]；Kaufmann證實(shí)了螺旋槳槳葉在臨近失速狀態(tài)時(shí)會(huì)發(fā)生氣動(dòng)遲滯效應(yīng)，顫振速度會(huì)急劇下降[3]；1935年，Theodorsen給出了二元翼型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)下氣動(dòng)力的精確解，此研究具有里程碑意義[4]。國(guó)內(nèi)對(duì)氣動(dòng)彈性方面的研究工作起步較晚，胡海巖等對(duì)飛機(jī)結(jié)構(gòu)氣動(dòng)彈性動(dòng)態(tài)問(wèn)題作了綜述，并給未來(lái)氣動(dòng)彈性分析與控制方面的研究指明了方向[5]；袁家信針對(duì)亞音速機(jī)翼氣動(dòng)彈性控制系統(tǒng)中的干擾、時(shí)滯等問(wèn)題進(jìn)行了研究[6]。

針對(duì)機(jī)翼顫振問(wèn)題，本文對(duì)影響顫振的相關(guān)因素進(jìn)行了研究。首先基于Theodorsen氣動(dòng)模型，利用U-g法對(duì)機(jī)翼進(jìn)行顫振計(jì)算。因?yàn)轱w行器的發(fā)展方向是高空飛行和機(jī)翼具有大展弦比，所以探究了展弦比對(duì)機(jī)翼的顫振帶來(lái)的影響。同時(shí)研究了飛行器高空飛行時(shí)空氣密度的變化對(duì)顫振的影響。

1 非定常氣動(dòng)力

兩自由度機(jī)翼的簡(jiǎn)化力學(xué)模型如圖1所示。機(jī)翼半弦長(zhǎng)為b;彈性軸距離翼弦中心點(diǎn)的距離為a·b;a為翼弦中點(diǎn)到彈性軸的距離占機(jī)翼半弦長(zhǎng)的比例; 彈性軸在翼弦中點(diǎn)前時(shí)，a<0；U為來(lái)流速度。圖1未展示的y方向?yàn)檎归L(zhǎng)方向，機(jī)翼的展長(zhǎng)為l。

圖1 機(jī)翼的簡(jiǎn)化力學(xué)模型

L=-πρ

2πρU

(1)

Tα=πρ

2πρU

(2)

式中，ρ為空氣密度;C(k)是Theodorsen函數(shù);其具體表達(dá)式為式(3)和式(4)：

(3)

(4)

(5)

(6)

可以通過(guò)Matlab來(lái)計(jì)算C(k)，得到C(k)函數(shù)的實(shí)部和虛部隨k的變化情況，如圖2所示。

根據(jù)拉格朗日方程的相關(guān)理論，可得非定常氣動(dòng)力為式(7)：

(7)

當(dāng)機(jī)翼發(fā)生顫振時(shí)，系統(tǒng)做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，式(8)：

(a) 實(shí)部隨折合頻率k的變化

(b) 虛部隨折合頻率k的變化

(8)

(9)

(10)

將式(8)～(10)代入式(1)和(2)整理可得式(11)：

(11)

將式(4)帶入Q0后可得表達(dá)式(12)：

(12)

2 機(jī)翼動(dòng)力學(xué)模型

已知受來(lái)流作用的二元機(jī)翼氣動(dòng)彈性方程(13)：

(13)

不考慮系統(tǒng)中阻尼時(shí)，利用U-g法進(jìn)行顫振計(jì)算，對(duì)應(yīng)的顫振方程(14)：

(14)

其中，g為引入的結(jié)構(gòu)阻尼。

式(14)的復(fù)特征值為式(15)：

(15)

用U-g法做顫振分析的方法：

首先，給定來(lái)流密度ρ，再預(yù)先給定一組折合頻率k的范圍，取首個(gè)k來(lái)計(jì)算式(14)的復(fù)特征值，根據(jù)公式(15)和(16)求得該k值下的結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)g和來(lái)流速度U，記為(g,U)；

其次，按一定步長(zhǎng)更換k值，重復(fù)上面的步驟；最終得到一組(g,U)，將計(jì)算結(jié)果繪制成U-g曲線。

若機(jī)翼的真實(shí)結(jié)構(gòu)阻尼值g0與計(jì)算得到的g值相等，則該g值所對(duì)應(yīng)的U值被認(rèn)為是機(jī)翼的顫振臨界速度。當(dāng)來(lái)流速度達(dá)到臨界顫振速度時(shí)，機(jī)翼就會(huì)發(fā)生顫振。

由于g0非常復(fù)雜，難以被確定，在使用U-g法的過(guò)程中，通常假設(shè)機(jī)翼的真實(shí)結(jié)構(gòu)阻尼系數(shù)為0；因此，當(dāng)結(jié)果中某一特征值對(duì)應(yīng)的g值剛好等于0時(shí)，其所對(duì)應(yīng)的U值正是機(jī)翼的臨界顫振速度。

3 顫振分析

通過(guò)Matlab軟件，利用U-g法完成機(jī)翼的顫振計(jì)算，機(jī)翼的結(jié)構(gòu)參數(shù)見(jiàn)表1。

表1 機(jī)翼的結(jié)構(gòu)參數(shù)

取機(jī)翼展長(zhǎng)l=0.1～0.5 m;來(lái)流密度取ρ=1.225 kg/m3。得到的分析結(jié)果如圖3所示。g=0時(shí)對(duì)應(yīng)的來(lái)流速度為顫振速度，具體數(shù)值見(jiàn)表2。

圖3 不同機(jī)翼展長(zhǎng)下的機(jī)翼顫振結(jié)果圖

可以看出，當(dāng)來(lái)流速度趨近于0時(shí)，機(jī)翼不受氣動(dòng)力的影響，雖然g趨近于0，但此時(shí)沒(méi)有發(fā)生顫振。隨著來(lái)流速度U的增加，不同展長(zhǎng)的機(jī)翼的紛紛出現(xiàn)g=0的情況，此時(shí)對(duì)應(yīng)的來(lái)流速度U即為此機(jī)翼發(fā)生顫振時(shí)的臨界來(lái)流速度。顫振隨著機(jī)翼展長(zhǎng)的增加，顫振速度逐漸減少，這意味著大展弦比的機(jī)翼更容易發(fā)生顫振。

表2 不同機(jī)翼展長(zhǎng)下的機(jī)翼顫振數(shù)據(jù)

取機(jī)翼展長(zhǎng)l=0.5m，來(lái)流密度取ρ=1.225～0.4kg/m3，得到的分析結(jié)果如圖4所示，顫振速度數(shù)值見(jiàn)表3。可以得出，來(lái)流密度越小，顫振速度越大。這說(shuō)明在空氣密度小的空中飛行時(shí)，機(jī)翼不容易發(fā)生顫振?？諝饷芏扰c海拔和氣溫等因素相關(guān)，在設(shè)計(jì)飛行器時(shí)應(yīng)該注意空氣密度對(duì)顫振的影響。

圖4 不同來(lái)流密度下的機(jī)翼顫振結(jié)果圖

表3 不同來(lái)流密度下的機(jī)翼顫振數(shù)據(jù)

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)下一代飛行器的機(jī)翼具有大展弦比和高空飛行的特點(diǎn)，本文探究了展弦比和來(lái)流密度對(duì)機(jī)翼的顫振帶來(lái)的影響?；赥heodorsen氣動(dòng)模型，利用U-g法對(duì)機(jī)翼進(jìn)行顫振分析。結(jié)果表明，機(jī)翼的顫振對(duì)展弦比和來(lái)流密度的取值較為敏感。在飛行器的設(shè)計(jì)過(guò)程中，應(yīng)注意機(jī)翼的展弦比不能過(guò)大，并充分考慮飛行器的飛行環(huán)境。