矩陣分解的應用淺述

金少華　徐勇　程俊明

【摘要】矩陣論既是數學的一個重要分支，又是一門具有實用價值的數學理論.本文給出了矩陣分解的若干應用.

【關鍵詞】矩陣論;正規(guī)矩陣分解;滿秩分解;奇異值分解;特征值

【基金項目】河北工業(yè)大學研究生《矩陣論》示范課程建設項目（121031）;2019年河北省研究生示范課程立項建設項目（KCJSX2019011）

《矩陣論》是工科研究生的一門重要的學位課（參見文獻[1]-[4]）.本文給出了矩陣分解的若干應用.

一、利用正規(guī)矩陣的分解計算矩陣函數

例1 設矩陣A=100-101-100-110-1001，試求eA，cos A.

解 對于正規(guī)矩陣A，可求得P-1AP=Λ，其中

P=1001011001-10100-1，? Λ=0022，? P-1=12P，于是

eA[ZK（]=P11e2e2P-1=121+e21-e21+e21-e21-e21+e21-e21+e2.[ZK）]

cos A=P11cos 2cos 2P-1=121+cos 21-cos 21+cos 21-cos 21-cos 21+cos 21-cos 21+cos 2.

二、利用矩陣的滿秩分解求矩陣的特征根

設n階方陣A的滿秩分解為A=F·G，則由文獻[5]，有

|λEn-A|=|λEn-F·G|=λn-rλEr-G·F.（1）

因此，若A的秩rn，則可通過（1）式右邊的行列式來求A的特征根，這將大大簡化計算.

例2 求n階矩陣A=22…222…222…2 的特征值.

解 容易看到，矩陣A的秩為1，其滿秩分解為A=22211…1，由等式（1），得 |λEn-A|=λn-1（λ-2n），所以矩陣A的特征值為λ1=λ2=…=λn-1=0，λn=2n.

三、利用矩陣A的滿秩分解求解齊次線性方程組AX=0

結論1[6] 設矩陣A的滿秩分解為A=F·G，則 GX=0AX=0.

例3 求解方程組AX=0，其中A=14-1562000-14-1-2-4011-2-1-1-6.

解 先做A的滿秩分解.對A進行行的初等變換，有

A→1000-70100-900106000111，

所以，矩陣A的滿秩分解為A=F·G=14-152000-1-2-401-2-1-11000-70100-900106000111.解方程組GX=0，得方程組AX=0的通解為X=k79-6-111，k∈R.

四、利用矩陣A的滿秩分解求其廣義逆A+

例4 已知A=1i-i0i-1111i-i0，求其廣義逆A+.

解 對A進行行的初等變換，有A→1i-i000010000，

得A的滿秩分解為A=10i1101i-i00001=F·G.

于是A+[ZK（]=G+F+=GHGGH-1FHF-1FH=16101-i0-ii0i-3i6-3i.[ZK）]

五、利用矩陣A的奇異值分解求其廣義逆A+

設矩陣A的奇異值分解為A=Uσ1σr00VH，則A+=Vσ-11σ-1r00n×mUH.

例5 設A=111111，求A 的廣義逆A+.

解 首先注意到A的秩為1，AAT的特征值是λ1=6，λ2=0，由兩兩正交的單位特征向量構成的正交矩陣可取為U=121-111，又ATA的特征值是λ1=6，λ2=0，λ3=0，由兩兩正交的單位特征向量構成的正交矩陣可取為V=33-12-163312-1633026，則A的奇異值分解為A=U600000VT，

從而A+=V1600000UT=16111111.

六、應用奇異值分解求解方程組AX=0

設矩陣A∈Rm×nr的奇異值分解為A=UDVT，D=Σ000，其中矩陣U是m階正交矩陣，矩陣V是n階正交矩陣，Σ=diag（σ1，σ2，…，σr）.于是方程組Ax=0可寫為UDVTx=0.該方程兩邊左乘UT，得DVTx=0.令VTx=y，則有Dy=0，從而該方程組的通解為

y=k1er+1+…+kn-ren（k1，…，kn-r∈R）.

設正交矩陣V的第j個列向量為vj（j=1，2，…，n），則AX=0的通解為：

x=Vy=k1vr+1+…+kn-rvn（k1，…，kn-r∈R）.

即求出矩陣ATA的屬于特征根0的線性無關的特征向量，則這些特征向量的任意線性組合即為Ax=0的通解[6].

例6 求解方程組AX=0，其中A=-112-221-1-2011-2.

解 ATA的屬于特征根0的線性無關的特征向量為：ξ1=1-110，ξ2=0201，則方程組AX=0的通解為x=k1ξ1+k2ξ2（k1，k2∈R）.

七、利用矩陣A的廣義逆A+求解方程組Ax=b

對于給定的方程組Ax=b，只要求出A+，則A+b便給出了該方程組的各種意義下的解，即當Ax=b相容時，A+b或為其唯一解，或為其唯一的極小范數解，而當Ax=b不相容時，A+b或為其唯一最小二乘解，或為其唯一的極小最小二乘解.從而廣義逆A+將方程組Ax=b的求解問題從理論上及方法上都圓滿解決了.

例7 已知A=101011112， b=111，求方程組Ax=b的極小范數解或極小范數最小二乘解x0，并指出x0的類型.

解 對A進行行的初等變換，有A→101011000，

得A的滿秩分解為A=100111101011=F·G.

于是A+[ZK（]=G+F+=GTGGT-1FTF-1FT=195-41-451112.[ZK）]

所求x0=A+b=19224， 因AA+b=23112≠b， 故x0是極小范數最小二乘解.

例8 已知A=110101101211，b=314，求方程組Ax=b的極小范數解或極小范數最小二乘解x0，并指出x0 的類型.

解 先求廣義逆A+，對A進行行的初等變換，有故Ax=b有解，其極小范數解為x0=A+b=（1 1 0 1）T.

【參考文獻】

[1]徐仲，張凱院，陸全，等.矩陣論簡明教程[M].北京：科學出版社，2014.

[2]張紹飛，姚慕生.矩陣論教程[M].北京：機械出版社，2012.

[3]靳全勤.初等變換的一個應用：矩陣的滿秩分解[J].大學數學，2009，25（5）：195-197.

[4]金少華，徐勇，金大永.矩陣論教學的幾點注記[J].數學學習與研究，2019（23）：13.

[5]同濟大學應用數學系.高等代數與解析幾何[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6]金少華，金大永，徐勇.矩陣分解在求解線性方程組中的應用[J].高師理科學刊，2016，36（4）：61.