基于小波變換的負(fù)荷諧波概率密度函數(shù)分析

楊宏偉，郭立杰

(1.國(guó)網(wǎng)北京通州供電公司，北京101101；2.國(guó)網(wǎng)北京昌平供電公司，北京102200)

0 引 言

諧波阻抗作為電能質(zhì)量分析的重要技術(shù)指標(biāo)，在電能質(zhì)量限制值計(jì)算中起著重要的作用，而諧波限制值的計(jì)算又直接影響到用戶的諧波運(yùn)行水平。因此，如何方便快捷而又準(zhǔn)確地計(jì)算諧波阻抗，對(duì)于電能質(zhì)量行業(yè)的發(fā)展有著重要影響。現(xiàn)有的諧波阻抗多是使用儀器記錄電壓和電流瞬時(shí)值波形，然后根據(jù)信號(hào)處理方法得到諧波阻抗。這種方法具有原理準(zhǔn)確的特點(diǎn)，但對(duì)電力系統(tǒng)的監(jiān)測(cè)水平提出很高要求，需要最大的經(jīng)濟(jì)投入，且這種方法無法滿足較長(zhǎng)監(jiān)測(cè)周期內(nèi)的諧波阻抗變化趨勢(shì)，無法完全滿足電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)和治理的需要。

為彌補(bǔ)上述方法的缺陷，國(guó)內(nèi)專家提出一系列方法對(duì)上述方法進(jìn)行改進(jìn)。文獻(xiàn)[1]提出正交多項(xiàng)式和統(tǒng)計(jì)量來應(yīng)用于矢量求和的概率密度函數(shù)，為應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法解決電能質(zhì)量問題提供了理論基礎(chǔ)。文獻(xiàn)[2-3]針對(duì)實(shí)際電鐵電能質(zhì)量諧波進(jìn)行概率分析研究，為后續(xù)非線性負(fù)荷研究提供了可供借鑒的模型。文獻(xiàn)[4-6]應(yīng)用一類正交多項(xiàng)式對(duì)諧波求解問題進(jìn)行分析，為研究實(shí)際中多諧波源之間的關(guān)系提供了有力工具和方法。上述方法多是基于瞬時(shí)值已知的前提計(jì)算諧波阻抗，但實(shí)際電能質(zhì)量監(jiān)測(cè)過程中，都是以有效值形式儲(chǔ)存于數(shù)據(jù)庫(kù)中，瞬時(shí)值雖然信息量完整，但需要存儲(chǔ)空間巨大，只有在極少數(shù)場(chǎng)合才得到應(yīng)用。而電力系統(tǒng)模型都是基于瞬時(shí)值建立的，以上文獻(xiàn)并未考慮有效值和瞬時(shí)值之間的概率關(guān)系。已知有效值的概率密度函數(shù)，反求瞬時(shí)值的概率密度關(guān)系屬于諧波求和的逆問題。

筆者在前人研究成果的基礎(chǔ)上，首先選取實(shí)際測(cè)量中的3 s有效值，并擬合出3 s有效值的概率密度分布，并根據(jù)3 s有效值和200 ms值關(guān)系，得出200 ms的概率分布。在仿真中驗(yàn)證了小波變換在概率密度函數(shù)計(jì)算過程中的有效性。

1 小波變換

電能質(zhì)量測(cè)試中電流和電壓值是以有效值的形式展現(xiàn)的，下面闡述各種有效值的定義。

1.1 小波變換

小波變換作為一種具有良好的局部化刻畫信號(hào)處理方法，通過構(gòu)造與信號(hào)相似的小波基函數(shù)，以及對(duì)基函數(shù)的伸縮和平移來實(shí)現(xiàn)靈活刻畫信號(hào)的目的，小波變換從原理來講也是一種信號(hào)的正交分解。一種常見的小波變換表達(dá)式如下：

(1)

式中：cA1(x)為近似系數(shù)向量，cDi(x)為細(xì)節(jié)系數(shù)向量。

1.2 Gram-Schmidt正交化

式(1)得到的近似系數(shù)向量和細(xì)節(jié)系數(shù)向量如果沒有正交的話，可以通過Gram-Schmidt正交化過程實(shí)現(xiàn)正交，對(duì)應(yīng)的步驟如下：

p0(x)=cDn

(2)

(3)

(4)

(5)

當(dāng)多項(xiàng)式和區(qū)間[a,b]確定之后，正交化多項(xiàng)式也是唯一的。f(x)對(duì)應(yīng)可以寫為區(qū)間[a,b]上的正交多項(xiàng)式的線性組合。

2 3 s有效值和200 ms有效值定義

2.1 200 ms值

對(duì)瞬時(shí)信號(hào)做傅里葉變換，即可得到n次諧波的幅值和相角。電能質(zhì)量計(jì)算中約定每200 ms得到一組有效值，即200 ms值。文獻(xiàn)[7-8]定義50 Hz系統(tǒng)諧波的計(jì)算值計(jì)算周期為10個(gè)周期，即200 ms得到一組諧波值。對(duì)應(yīng)的表達(dá)式如下：

(6)

式中：w為頻率，abs為求解幅值函數(shù)，urms_1s(w)為w頻率對(duì)應(yīng)幅值。

2.2 3 s有效值

對(duì)3 s內(nèi)上述15個(gè)“連續(xù)200 ms有效值”作均方根計(jì)算。

(7)

式中：urms_1s為3s有效值，N=15。

式(7)定義式是在式(6)基礎(chǔ)上得出的。為了處理方便，對(duì)式(7)做出如下變形：

(8)

3 3 s有效值和200 ms值概率密度函數(shù)統(tǒng)計(jì)量的關(guān)系

根據(jù)式(8)的關(guān)系和概率統(tǒng)計(jì)中均值和方差性質(zhì)，可以得出200 ms值平方的均值和方差為

u200ms=u2s

(9)

σ200ms=15σ3s

(10)

式中：u200ms為200 ms值平方的均值，σ200ms為200 ms值平方的方差。

4 概率密度函數(shù)計(jì)算

4.1 3 s有效值平方概率密度函數(shù)計(jì)算

3 s有效值平方的概率密度函數(shù)可以通過實(shí)測(cè)的3 s電能質(zhì)量數(shù)據(jù)擬合得到，3 s有效值平方的均值和方差也可以通過3 s有效值平方統(tǒng)計(jì)得到。假設(shè)3 s有效值平方均值為μ3s，方差為σ3s。

4.2 200 ms值概率密度函數(shù)計(jì)算

假設(shè)200 ms值平方的概率密度函數(shù)為f200ms-2(x)，在定義區(qū)間上進(jìn)行小波正交展開：

(11)

式中：ai為正交多項(xiàng)式的系數(shù)，對(duì)應(yīng)的表達(dá)式為

ai=〈pi(x),f200ms-2(x)〉

(12)

其中：〈pi(x),f200ms-2(x)〉為pi(x)和f200ms-2(x)的內(nèi)積，也為變量x函數(shù)pi(x)的期望。對(duì)式(12)進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，保留前三項(xiàng)，可得

(13)

對(duì)于沒有表達(dá)式的pi(x)，用微分跟蹤器求取其二階微分。

5 微分跟蹤器

微分跟蹤器是為了求取含有噪聲數(shù)值信號(hào)的微分信號(hào)而設(shè)計(jì)的,具體的表達(dá)式詳見文獻(xiàn)[9]。

6 仿真分析

為了驗(yàn)證理論的有效性，提取FLUKE1760儀器對(duì)現(xiàn)場(chǎng)諧波測(cè)試數(shù)據(jù)。選取電力系統(tǒng)電力機(jī)車、整流站2種典型負(fù)荷進(jìn)行計(jì)算分析。小波分解采用bior3.5基函數(shù)，分解層數(shù)為4層，小波基和層數(shù)是根據(jù)電能質(zhì)量數(shù)據(jù)而定的，沒有量化的判斷標(biāo)準(zhǔn)。

6.1 牽引站電流數(shù)據(jù)分析

牽引站電流3 s有效值平方的擬合曲線和小波分解如圖1、圖2所示。根據(jù)圖2得到牽引站3 s電流有效值平方分解系數(shù)之后，根據(jù)式(2)～(5)得到正交向量，再根據(jù)式(12)得到200 ms電流有效值概率密度函數(shù)的系數(shù)。具體的圖形如圖3所示。

圖1 牽引站電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.1 Fitting curve for 3 s RMS square of current in traction station

圖2 電流3 s有效值平方的小波分解Fig.2 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current

圖3 電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.3 Probability density for 200 ms RMS square of current

從圖3可以看出，200 ms電流有效值繼承了圖2小波分解中近似系數(shù)cA1的主要部分，細(xì)節(jié)系數(shù)分量cD1也有所體現(xiàn)，但相比較圖1的3 s有效值曲線，已經(jīng)有所減小。

6.2 換流站電能質(zhì)量數(shù)據(jù)分析

圖4為換流站電流有效值平方的擬合曲線，對(duì)其進(jìn)行小波分解，分解層數(shù)為9層，小波基函數(shù)為dmey，分解之后的高頻和低頻分量如圖5所示。截取cA1、cD8、CD9為有效分量。

圖4 換流站電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.4 Fitting curve for 3 s RMS square of current in convertor station

圖5 換流站電流3 s有效值平方的小波分解Fig.5 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in convertor station

200 ms換流站電流有效值平方的概率密度函數(shù)如圖6所示。從圖6可以看出，與牽引站的規(guī)律相似，200 ms換流站電流有效值平方繼承了小波分解的低頻部分，即近似系數(shù)cA1的部分，濾除了部分高頻分量。

圖6 換流站電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.6 Probability density for 200 ms RMS square of current in convertor station

6.3 風(fēng)電場(chǎng)電能質(zhì)量數(shù)據(jù)分析

圖7為風(fēng)電場(chǎng)3 s諧波電流幅值平方的概率密度函數(shù)，分布為較為平整，近似于高斯分布。

對(duì)圖7做小波分解，可以將其分解為如圖8所示的分量概率密度，與換流站分解結(jié)果相差較大。主要原因是換流站電流分布較為陡峭，分解變量含有較多的高頻分量。而風(fēng)電電流幅值平方分布較為平滑，分解分量比較少，且含有的低頻分量較多。說明小波分解對(duì)不同非線性負(fù)荷分布具有一定的適應(yīng)性，可以根據(jù)不同的負(fù)荷特性分解出不同的分量，進(jìn)而反映出不同負(fù)荷的特征。

圖7 風(fēng)電場(chǎng)電流3 s有效值平方的擬合曲線Fig.7 Fitting curve for 3 s RMS square of current in wind farm

圖8 風(fēng)電場(chǎng)電流3 s有效值平方的小波分解Fig.8 Wavelet decomposition for 3 s RMS square of current in wind farm

圖9為經(jīng)過變換之后200 ms風(fēng)電電流有效值平方的概率密度函數(shù)，與圖7所示的波形具有較好的相似性，說明200 ms有效值概率分布與3 s有效值概率分布具有較好的相似性。

圖9 風(fēng)電電流200 ms有效值平方的概率密度Fig.9 Probability density for 200 ms RMS square of current in wind farm

從圖1、圖4、圖7可以看出，對(duì)應(yīng)不同的概率密度函數(shù)曲線，小波分解都可以有效地將對(duì)應(yīng)的細(xì)節(jié)系數(shù)和近似系數(shù)分離處理，有效地估計(jì)200 ms值的概率密度函數(shù)，表明該方法具有較好的適應(yīng)性，能夠針對(duì)不同的非線性負(fù)荷進(jìn)行概率密度函數(shù)的估計(jì)。

7 結(jié) 語(yǔ)

依據(jù)3 s有效值數(shù)據(jù)計(jì)算200 ms值概率密度函數(shù)。小波分解的引入簡(jiǎn)化了電能質(zhì)量有效值概率密度函數(shù)估算。但仍有以下問題需要解決：

1)200 ms值的區(qū)間估計(jì)只是粗略假設(shè)，需要更為精確的理論評(píng)估來確定200 ms值區(qū)間。

2)小波基的選取缺乏最優(yōu)的選擇方法，有待于更加規(guī)范的反復(fù)選取。