一類Caputo分數(shù)階脈沖微分方程Cauchy問題解的存在性

李耀紅，張海燕

(宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，安徽宿州234000)

分數(shù)階微分方程模型由于能更精確的描述一些復(fù)雜的自然科學(xué)現(xiàn)象，其理論研究在多個學(xué)科中有廣泛應(yīng)用，如化學(xué)、生物學(xué)、材料學(xué)、醫(yī)學(xué)、控制理論、信號和圖像處理等[1-5]。脈沖微分方程一般用于描述具有不連續(xù)跳躍或者突變的物理過程模型。近年來，隨著分數(shù)階微分應(yīng)用理論研究的深入，分數(shù)階脈沖微分方程引起國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注，并獲得了一些優(yōu)秀的研究成果[6-13]。特別地，在文[6]中一類Caputpo 分數(shù)階脈沖微分方程Cauchy 問題

1 預(yù)備知識

為方便敘述，引入如下符號和常用定義:

定義1[2]函數(shù)g:(0,+∞)→R 的α＞0 階Riemann-Liouville 分數(shù)階積分定義為

定義2[2]連續(xù)函數(shù)g:(0,+∞)→R 的α＞0 階Caputo 分數(shù)階導(dǎo)數(shù)定義為

其中當α為非正整數(shù)時,n=[α]+1，[α]表示α的整數(shù)部分；當α為正整數(shù)時時,n=α。

引理 1[2]若函數(shù)g∈Cn(0,1)?L1[0,1]且α＞0，則分數(shù)階微分方程有解

其中n如定義2所述。

引理2[2]若函數(shù)g∈L1([0,1],R)且p＞q＞0 ，則對任意t∈[0,1],有

令L1([0,1],R+）表示在范數(shù)下從[0,1]到R的可積函數(shù)的Banach空間。

引理3[15]若q＞0,f∈L1([0,1]，R+)，則有

引理4[19](Leray-Schauder 不動點定理)設(shè)E是實Banach 空間,D是E中有界凸閉集，T:D→D是一個全連續(xù)算子，則T在D中必具有不動點。

引理5[14]若函數(shù)u∈L1(0,1)是分數(shù)階脈沖微分方程Cauchy 問題(1)的解當且僅當u∈L1(0,1)是如下積分方程的解：

2 主要結(jié)果

為敘述方便，給出如下關(guān)于函數(shù)f的若干非線性增長條件:

(H1)存在非負函數(shù)a1i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對?t∈[0,1]和u∈R,有

(H2)存在非負函數(shù)a2i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對?t∈[0,1]和u∈R,有

(H3)存在非負函數(shù)a3i(t)∈L1([0,1],R+),i=1,2 和非負常數(shù)lk,k=1,2,…,m，使得對?t∈[0,1]和u∈R,有

為簡便，記

定理1如果條件(H1)滿足，則分數(shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個解。

證明定義算子F:PC[J,E]→PC[J,E],令

由引理5 知，分數(shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個解，當且僅當算子F在PC[J,E]中至少存在一個不動點。首先令

因此算子FΩ ?Ω。同時注意到f是連續(xù)函數(shù)，類似于文獻[14]，可證得F在Ω 中連續(xù)。記

下面證明F在Ω 中是全連續(xù)的。對?u∈Ω,t,τ∈Jk=(tk,tk+1],τ

顯然，當τ→t時，|(Fu)(t)-(Fu)(τ)|→0，即FΩ是等度連續(xù)的，又注意到FΩ ?Ω，知算子F在Ω中是一致有界的。因此由Azela-Ascoli 定理知算子F在Ω 中是全連續(xù)的。從而由引理4 知算子F在PC[J,E]中至少存在一個不動點。

定理2如果條件(H2)和滿足，則分數(shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個解。

證明與定理1 相似，將式(4)中r滿足條件修改為即可。

定理3如果條件(H3)和A32<1 滿足，則分數(shù)階脈沖微分方程(1)在PC[J,E]中至少存在一個解。

證明與定理1 相似，將式(5)中r滿足條件修改為即可。

3 例題

例1考慮下列分數(shù)階脈沖微分方程

這里α=0.5,0<λ<1,a11(t),a12(t)為非負可積函數(shù)，故由定理1可知分數(shù)階脈沖微分方程至少有一解。

4 小結(jié)

本文利用Leary-Schauder 不動點定理，結(jié)合一些非線性增長條件和分數(shù)階積分不等式，獲得了一類分數(shù)階脈沖微分方程Cauchy 問題解的存在性。改進了已有文獻僅考慮線性增長條件的結(jié)果，如[8,14]。同時也注意到，若問題（1）中的分數(shù)階為高階或非線性項函數(shù)中含有分數(shù)階導(dǎo)數(shù)，本問題將更具一般性，應(yīng)用范圍也將更廣泛。