Heston模型下具有違約風(fēng)險(xiǎn)的DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡投資策略

乾丞健，殷艷紅，郭宇超，夏登峰

(安徽工程大學(xué) 數(shù)理與金融學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

養(yǎng)老金是世界各國養(yǎng)老保險(xiǎn)制度的主要表現(xiàn)形式，是社會(huì)保障制度中最重要的構(gòu)成部分，關(guān)系到社會(huì)的和諧穩(wěn)定。養(yǎng)老金計(jì)劃類型中最為常見的是確定收益型(Defined Benefit，DB)計(jì)劃和確定繳費(fèi)型(Defined Contribution，DC)計(jì)劃。DB型養(yǎng)老金計(jì)劃中養(yǎng)老金的受益額是提前確定的，繳費(fèi)率可以隨時(shí)調(diào)整，因此基金管理者需要承擔(dān)相應(yīng)的金融風(fēng)險(xiǎn)。在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃中，繳費(fèi)率是提前確定的，養(yǎng)老金的受益額依賴于養(yǎng)老基金投資回報(bào)率，因此，受益人需要承擔(dān)相應(yīng)的金融風(fēng)險(xiǎn)，這更有利于養(yǎng)老基金的管理和保值增值，因而DC型養(yǎng)老金計(jì)劃更加符合養(yǎng)老金的管理現(xiàn)狀。

我國企業(yè)年金制度起步較晚，但也引起了學(xué)者們關(guān)注，他們對(duì)養(yǎng)老基金和社會(huì)保障基金的研究為我國企業(yè)年金的研究提供了一些參考[1-3]。從研究方法看，Merton[4]開創(chuàng)了嶄新的連續(xù)時(shí)間投資消費(fèi)組合理論，使用隨機(jī)最優(yōu)控制方法，Merton導(dǎo)出了優(yōu)化問題中價(jià)值函數(shù)的非線性偏微分方程。Vigna[5]等在高斯利率模型下，應(yīng)用隨機(jī)動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法去分析養(yǎng)老基金計(jì)劃中的金融風(fēng)險(xiǎn)。Haberman[6]等擴(kuò)展了他們的論文。Devolder[7]等在幾何布朗運(yùn)動(dòng)描述的利率模型下，研究養(yǎng)老基金合約管理。以上研究是在不同利率模型下進(jìn)行的研究。另外一種方法是鞅方法，由Cox[8]等引入，這個(gè)方法一般用于在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下求解偏微分方程。

在DC型養(yǎng)老保險(xiǎn)金里，因?yàn)橐獙⒗U款投入到金融市場進(jìn)行投資，所以風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的定價(jià)顯得尤為重要。第一種風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從(Geometric Brownian Motion,GBM)模型，即幾何布朗運(yùn)動(dòng)模型。但服從GBM模型就意味著其波動(dòng)率為常數(shù)，很顯然，這不符合我們的現(xiàn)實(shí)生活。有許多實(shí)證研究支持股票價(jià)格存在隨機(jī)波動(dòng)性[9-11]。Cox[12]等提供的恒定彈性方差(Constant Elasticity of Variance,CEV)模型開創(chuàng)了隨機(jī)波動(dòng)率市場研究的先河，引起了學(xué)者的廣泛關(guān)注。如Xiao[13]和Gao[14]應(yīng)用Legendre變換和對(duì)偶理論研究了DC型養(yǎng)老金計(jì)劃在CEV模型下對(duì)養(yǎng)老金成員整個(gè)生命的最優(yōu)投資問題。Heston模型是隨機(jī)波動(dòng)率模型的一種，是均值回復(fù)平方根的過程，并且其回報(bào)率和波動(dòng)率都是隨機(jī)的。因此，Heston隨機(jī)波動(dòng)率模型優(yōu)于GBM模型，并克服了CEV模型回報(bào)率為常數(shù)的不足之處。Guan[15]等在隨機(jī)利率和Heston模型框架下考慮了DC型養(yǎng)老金。文獻(xiàn)[16-17]也考慮了類似的問題。

根據(jù)管理者及參與者關(guān)注投資目標(biāo)不同，如終端財(cái)富期望效用最大化，平方損失最小化以及均值-方差目標(biāo)準(zhǔn)則，Boulier[18]等在隨機(jī)利率的假設(shè)下，利用鞅方法研究了退休后具有支付保證約束的DC型養(yǎng)老基金的管理問題。Han[19]等和Guan[20]等研究了隨機(jī)利率情況下的DC型養(yǎng)老基金最優(yōu)投資策略。

研究在Li[21]和吳奕東[22]研究的基礎(chǔ)上將資產(chǎn)投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和違約債券，在MV標(biāo)準(zhǔn)下得出DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)服從Hull-White隨機(jī)利率模型，風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從Heston模型。在均值方差的原則前提下，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理，建立了相應(yīng)的HJB(Hamilton Jacob Bellman)方程并求解，得到最優(yōu)均衡投資策略。最后使用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬，分析各項(xiàng)參數(shù)對(duì)我們得到的DC型養(yǎng)老金最優(yōu)策略的影響，對(duì)現(xiàn)有模型進(jìn)行了拓展。

1 模型的建立

令(Ω,G,P)是一個(gè)完備的帶流概率空間，G=(Gt)0≤t≤T為信息流，表示截止到時(shí)刻t的所有的市場信息，并且G是由Gt=Ft∨Zt給出的擴(kuò)張的信息流。信息流Ft是由布朗運(yùn)動(dòng){W(t)}產(chǎn)生的，而Zt是由表示違約到達(dá)的泊松過程來表示的。

在DC型養(yǎng)老金計(jì)劃中，養(yǎng)老金基金的繳款假定是在積累階段的預(yù)定金額的保險(xiǎn)費(fèi)。假設(shè)每單位時(shí)間的保險(xiǎn)費(fèi)為c，并且累積期限從w0年齡開始，一直持續(xù)到w0+T，直到退休金成員退休為止，即退休金的累積期限為T，為了獲得更高的收益，養(yǎng)老基金可以投資于由無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、可違約債券和風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)組成的金融市場。P測度下的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的價(jià)格過程遵循以下過程：

dS0(t)=rS0(t)dt,S0(0)=1。

風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的財(cái)富過程由Heston模型描述：

式中，r>0表示無風(fēng)險(xiǎn)利率；λ,k,θ,σ均為正常數(shù)；W1(·)和W2(·)是兩個(gè)一維布朗運(yùn)動(dòng)，相關(guān)系數(shù)為ρ∈[-1,1]；同時(shí)為了確保過程L(t)是幾乎處處非負(fù)的，假設(shè)2kθ≥σ2成立。

為了研究可違約債券的價(jià)格過程，類似于文獻(xiàn)[23]，定義如下違約過程。

定義1 令τ為非負(fù)隨機(jī)變量，代表發(fā)行債券的公司的違約時(shí)間。在隨機(jī)時(shí)間T進(jìn)行離散跳躍的非遞減右連續(xù)過程稱為違約過程。用Z(t):=1τ≤t表示違約過程，其中1表示指標(biāo)，如果有跳躍則值為1，否則為0。

引用文獻(xiàn)[24]對(duì)違約時(shí)間的定義，違約時(shí)間T可以被建模為泊松過程的首次到達(dá)。跳躍過程的強(qiáng)度用h表示，它度量違約值的到達(dá)率。如文獻(xiàn)[23]中所示，存在面值為1單位，到期日為T1的可違約零息債券。投資者在違約前收回違約債券市值的一小部分，則違約后債券的違約值為0。損失率用ζ∈[0,1]表示，那么恢復(fù)率為1-ζ。在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下，令δ=hQζ表示為風(fēng)險(xiǎn)中性信用利差，并且hQ是在Q測度下的違約泊松過程的恒定強(qiáng)度，則在Q測度下可違約債券的價(jià)格過程：

dB(t,T1)=rB(t,T1)dt-ζe-(r+δ)(T1-t)dMQ(t),

式中，MQ(t)是補(bǔ)償跳躍過程和Q測度下的鞅過程。

引理1[25](Girsanov's Theorem)概率P等價(jià)于G上的概率Q，當(dāng)且僅當(dāng)存在循序可測的過程ψ和可預(yù)測過程Δ>0使得：

(1)EP[V(T)]=1。

V(t)=V1(t)V2(t),

dB(t,T1)=B(t-,T1)[rdt+(1-Z(t))(1-Δ)δdt-(1-Z(t-))ζdMP(t)]。

(1)

式中,可違約債券的預(yù)期收益包括兩個(gè)部分(見Yu[26])，第一部分是無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的回報(bào)，第二部分是在時(shí)間t尚未發(fā)生違約的情況下，風(fēng)險(xiǎn)中性信用利差與實(shí)際信用利差之間的差異。

用π1(t)和π2(t)分別表示養(yǎng)老金管理人在時(shí)刻t時(shí)在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和違約債券中分配的金額，其余部分分配在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)中，則養(yǎng)老金經(jīng)理在t時(shí)刻的投資策略為π:={(π1(t),π2(t))}t∈[0,T]。

(2)

為了簡化式(2)，我們定義：

成立。類似的，

那么式(2)則變成

(3)

當(dāng)n→∞時(shí)，財(cái)富過程Xπ(t)滿足：

(4)

對(duì)死亡率μ(t)函數(shù)和生存函數(shù)s(t)進(jìn)行如下定義：

其中w表示生存的最大年齡。于是式(4)退化為：

(5)

當(dāng)發(fā)生違約時(shí)，即π

在以下部分中，考慮MV準(zhǔn)則下的最優(yōu)投資問題,假設(shè)T

定義3(允許策略) 對(duì)于任何固定的t∈[0,T]，如果以下的情況成立，則π={(π1(v),π2(v))}v∈[t,T]被認(rèn)為是可以接受的策略：

(1)π是G可預(yù)測的；

(3)?(x,l,z)∈×××(0,1)，當(dāng)Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z時(shí)，式(5)有唯一解Xπ(v)v∈[t,T]；

(4)?v∈[t,T],?φ∈[1,+∞]。?(t,x,l,z)∈[t,T]×××{0,1},Et,x,l,z(sup|Xπ(v)|φ)<+∞，其中Et,x,l,z[g]是Xπ(t)=x，L(t)=l,Z(t)=z下的條件期望。

另外，令∏(t,x,l,z)表示所有允許策略的集合，而z表示初始默認(rèn)狀態(tài)。z=1和z=0分別對(duì)應(yīng)于違約后情況τ>t和違約前情況τ≤t。

(6)

式中，γ是風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避系數(shù)。式(6)是時(shí)間不一致的，因?yàn)榉讲铐?xiàng)中的終端財(cái)富期望值具有非線性函數(shù)，因此Bellman最優(yōu)性原則不適用。大多數(shù)文獻(xiàn)中，最優(yōu)策略在時(shí)間上不一致。但是，對(duì)于希望獲得一個(gè)均衡策略的理性決策者來說，時(shí)間一致性是不容忽視的，該均衡策略一次是最優(yōu)的，但隨著時(shí)間的推移，它仍是最優(yōu)的，即均衡策略是時(shí)間一致的。因此，我們旨在得出式(6)的均衡策略。

定義4 給定任何初始狀態(tài)(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，考慮可容許的策略π*(t)。定義以下策略

那么π*被稱為均衡策略，均值函數(shù)為：

(7)

根據(jù)定義4，均衡策略是時(shí)間一致的。為簡單起見，定義C1,2([0,T]×××{0,1}={φ(t,x,l,z)|φ(t,·,·,·)}是在[0,T]上一次可微分并且φ(·,x,l,·)在×上連續(xù)兩次可微分。為了提供驗(yàn)證定理，定義了一個(gè)變分算子：對(duì)于?φ(t,x,l,z)∈C1,2([0,T]×××{0,1})和?(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}，令w-w0-t=t，w-w0-T=T，φ(t,x,l,z)縮寫為是φ相對(duì)于相應(yīng)變量z的偏導(dǎo)數(shù)，且下文的V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)也使用這個(gè)記法，則

(8)

以下定理分別提供了在違約后情況(z=1)和違約前情況(z=0)下對(duì)擴(kuò)展HJB方程的驗(yàn)證。

定理1(驗(yàn)證定理) 對(duì)于違約后情況(z=1)和違約前情況(z=0)，如果?(t,x,l,z)∈[0,T]×××{0,1}存在兩個(gè)值函數(shù)V(t,x,l,z)，g(t,x,l,z)滿足以下擴(kuò)展HJB系統(tǒng)：

(9)

V(T,x,l,z)=x,

在原料（g）∶水（mL）∶氨水（mL）為1.00∶1.75∶0.55、反應(yīng)時(shí)間為10min、攪拌速度為100r/min、自然冷卻6h的條件下，改變反應(yīng)溫度，考察其對(duì)直收率的影響，結(jié)果如圖1所示，并利用X射線衍射儀（XRD）、掃描電子顯微鏡（SEM）分析其對(duì)產(chǎn)品物理性能（物相組成、表面形貌、粒度）的影響，結(jié)果如圖2、圖3所示。

(10)

Aπ*g(t,x,l,z)=0,g(T,x,l,z)=x,

(11)

(12)

那么W(t,x,l,z;π*)=V(t,x,l,z),Et,x,l,z[Xπ(T)]=g(t,x,l,z);π*就是均衡投資策略。

2 模型的求解

我們分別得出違約后情況(Z=1)和違約前情況(z=0)下DC型養(yǎng)老金計(jì)劃的均衡投資策略。在違約后情況下，則B(t,T1)=0,τ≤t≤T,因此π2(t)=0,τ≤t≤T。假設(shè)存在兩個(gè)函數(shù)V(t,x,l,1)和g(t,x,l,1)滿足定理1中給出的條件，根據(jù)式(8)中Aπ的表達(dá)式，式(9)可改寫為

(13)

在違約后情況下，假設(shè)存在兩個(gè)函數(shù)V(t,x,l,0)和(t,x,l,0)滿足定理2.7中給出的條件，根據(jù)式(8)中Aπ的表達(dá)式，將式(9)重寫為

(14)

對(duì)于違約后的情況，由于式(11)和式(13)的線性結(jié)構(gòu)以及根據(jù)邊界條件，我們嘗試以下形式猜測解：

(15)

那么就有

(16)

對(duì)式(13)中的π進(jìn)行求導(dǎo)，得到一階條件：

(17)

將式(16)和式(17)代入式(11)和式(13)，令

則有

lφ1+ψ1=0,lφ2+ψ2=0。

(18)

通過分離變量，得到以下微分方程：

φ1=0,ψ1=0,φ2=0,ψ2=0。

(19)

(20)

相似的，對(duì)于違約前的情況，由于式(11)和式(13)的線性結(jié)構(gòu)以及邊界條件，我們嘗試以以下形式猜測解：

(21)

那么就有

(22)

對(duì)式(14)中的π進(jìn)行求導(dǎo)，得到一階條件

(23)

(24)

將式(22)、式(23)和式(24)代入式(11)和式(14)，令

則有

lφ3+ψ3=0,lφ4+ψ4=0。

(25)

通過分離變量，得到以下微分方程：

φ3=0,ψ3=0,φ4=0,ψ4=0。

(26)

(27)

(28)

定理2 對(duì)于均值方差問題(6)，給出如下均衡投資策略：

(29)

(30)

均衡價(jià)值函數(shù)為

(31)

此外，與均衡投資策略相關(guān)的最終價(jià)值的期望和方差是

(32)

根據(jù)式(7)，有

(33)

(34)

由式(34)得到

(35)

在現(xiàn)代投資組合理論中，式(35)被稱為初始狀態(tài)(t,x,l,z)的投資問題的有效前沿。無論處于哪種狀態(tài)，有效邊界都是在平均標(biāo)準(zhǔn)偏差平面上的一條直線。與現(xiàn)有文獻(xiàn)相比，研究一方面考慮了具有違約風(fēng)險(xiǎn)的DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問題。我們發(fā)現(xiàn)，違約前情況下的均衡價(jià)值函數(shù)高于違約后情況下的均衡價(jià)值函數(shù)。另一方面考慮了Heston模型下帶保費(fèi)返還條款的DC計(jì)劃的最優(yōu)投資問題。

注2 當(dāng)ρ>0時(shí)，修正因子N(t)是關(guān)于t的增函數(shù)。當(dāng)ρ<0時(shí)，N(t)關(guān)于t遞減。此外，N(t)具有以下性質(zhì)：

證明Nt(t)=λρσe(λρσ+k)(t-T)，且N(T)=1，結(jié)論顯然成立。

注3 結(jié)論2說明修正系數(shù)主要依賴于時(shí)間t以及Heston模型中W1和W2的相關(guān)系數(shù)ρ。而且當(dāng)ρ>0時(shí)，投保人投資與風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例隨著時(shí)間的推移而增加，并且最優(yōu)投資比例較GBM模型更少；而ρ<0時(shí)，結(jié)論恰恰相反，最優(yōu)投資比例較GBM模型更多，初期投資較大的資金于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，隨著退休時(shí)間的逐漸臨近，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例逐漸降低。

注4 在有效前沿直線中，對(duì)于相同的風(fēng)險(xiǎn)(終端財(cái)富方差)，收益(終端財(cái)富期望)關(guān)于x,l遞增。這個(gè)結(jié)果具有一定的經(jīng)濟(jì)意義。一方面，當(dāng)初始投入財(cái)富增加時(shí)，在相同的風(fēng)險(xiǎn)條件γ下當(dāng)然能獲得更多的收益；另一方面，Heston模型中的l表示承擔(dān)一定程度風(fēng)險(xiǎn)的風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的溢價(jià)，因此l越大，在相同的風(fēng)險(xiǎn)條件下當(dāng)然能夠獲得更多的收益。

3 數(shù)值分析

利用Matlab進(jìn)行數(shù)值模擬，假設(shè)基本參數(shù)設(shè)置如下：r=0.05，γ=0.5,σ=0.08,β=1,a=1,ζ=0.5,hP=0.005,c=1,w=100,w0=20,T=10,S(0)=5。

風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)γ對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響如圖1所示。由圖1可知，隨著風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)γ的增加，投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的比例下降，這是具有相應(yīng)的經(jīng)濟(jì)意義的。一方面，具有較高風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)的投資人通常會(huì)將較少的財(cái)富投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)，從而規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

圖1 風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)γ對(duì)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響 圖2 ω和ω0對(duì)時(shí)間為0時(shí)向風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)投資的均衡投資策略的影響

4 結(jié)論

將資產(chǎn)投資于無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)、風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)和違約債券，在MV標(biāo)準(zhǔn)下得出DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。其風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)價(jià)格服從Heston模型，根據(jù)動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理建立相應(yīng)的HJB方程，并求解HJB方程，獲得了DC型養(yǎng)老金的均衡投資策略。最后，通過數(shù)值模擬給出各參數(shù)對(duì)DC型養(yǎng)老金的均衡投資的影響。所得結(jié)果和相應(yīng)分析給基金管理者在金融市場中對(duì)于財(cái)富的投資提供一定的理論指導(dǎo)。