數(shù)學(xué)物理方法中熱傳導(dǎo)方程的COMSOL 教學(xué)應(yīng)用

王鵬，王清亮，左旭東，張冬梅

（1.忻州師范學(xué)院 物理系，山西 忻州 034000；2.江蘇理工學(xué)院 數(shù)理學(xué)院，江蘇 常州 213001；3.大連理工大學(xué) 物理學(xué)院，遼寧 大連 116024）

數(shù)學(xué)物理方法是物理學(xué)以及部分工科專業(yè)本科生必修的一門重要科目，旨在豐富學(xué)生的知識(shí)技能儲(chǔ)備以及培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)技能解決物理問題的能力.因此，這門課程不僅物理內(nèi)容較多，而且涉及大量的高等數(shù)學(xué)知識(shí)，如復(fù)變函數(shù)、微積分和級(jí)數(shù)等，學(xué)生普遍反映學(xué)習(xí)難度較大，學(xué)習(xí)積極性不高.繁瑣的數(shù)學(xué)推導(dǎo)也使得學(xué)生更關(guān)注“數(shù)學(xué)”技能的提高而忽略了“物理”內(nèi)涵的理解；另外，數(shù)學(xué)物理方法課程還存在考核方式單一、教學(xué)時(shí)效性不強(qiáng)等不足[1].

目前，數(shù)學(xué)物理方法課程的教學(xué)方式仍以課堂講授為主.無論是以往的板書教學(xué)還是如今的多媒體教學(xué)，都能夠較好地做到數(shù)學(xué)公式的推導(dǎo)和數(shù)學(xué)思想的傳達(dá)；但是如何讓學(xué)生更直觀地獲得物理圖像仍力有未逮，尤其在傳統(tǒng)的板書教學(xué)過程中較難實(shí)現(xiàn).即使是采用多媒體教學(xué)方式，也很難找到或者繪制貼合教材的相關(guān)素材用于直觀展示物理圖像，如果采用板書教學(xué)的方法繪圖則更加不易，要想進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)學(xué)生自主深入學(xué)習(xí)、拓展思路、發(fā)散思維的目標(biāo)就更難了.因此，如何在教學(xué)過程中實(shí)現(xiàn)“數(shù)學(xué)方法”與“物理圖像”的有機(jī)結(jié)合成為提高教學(xué)效果必須要解決的問題.

計(jì)算機(jī)仿真是一種能夠?qū)崿F(xiàn)物理圖像展示的有效手段，已經(jīng)被廣泛使用于大學(xué)教學(xué)中.宋彥琦[2]等人利用Matlab 軟件編程實(shí)現(xiàn)了復(fù)變函數(shù)方程以及波動(dòng)方程定解問題的求解.但是編程方法不易掌握，對(duì)學(xué)生直觀理解物理問題也并無明顯益處.相比之下，COMSOL Multiphysics 軟件是一款大型多物理場(chǎng)數(shù)值仿真軟件，具有上手較快、操作便捷和可視性強(qiáng)的特點(diǎn)，能夠根據(jù)實(shí)際需求建立物理模型，并將數(shù)學(xué)方程的數(shù)值求解結(jié)果以曲線圖、分布圖等圖像的形式直觀展示出來，體現(xiàn)了“數(shù)形結(jié)合”的思想.另外，COMSOL 軟件涵蓋了物理、化學(xué)、工程等多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域的計(jì)算模塊，能夠滿足教學(xué)和科研的需要.目前，已有不少學(xué)科的本科專業(yè)課使用這一軟件輔助教學(xué)，如物理專業(yè)的電磁學(xué)[3-6]、模擬電子技術(shù)[7]等課程，甚至部分研究生的課程教學(xué)也采用這一軟件[8-16]，取得了較好的成果.

本文針對(duì)數(shù)學(xué)物理方法課程在教學(xué)過程中存在的重“數(shù)學(xué)”而輕“物理”的問題，利用COMSOL 軟件求解一個(gè)空心圓柱體熱傳導(dǎo)模型，明確熱傳導(dǎo)方程的物理含義和3 類邊界條件的物理概念，展示數(shù)學(xué)方程中隱藏的物理圖像.結(jié)合COMSOL 軟件開展教學(xué)可以激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)動(dòng)力并提高學(xué)生的思維發(fā)散能力和探索能力，實(shí)現(xiàn)探究性學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式，提高學(xué)習(xí)效果.

1 空心圓柱體的熱傳導(dǎo)方程及邊界條件

本文以一個(gè)空心圓柱的熱傳導(dǎo)模型（見圖1）為例來展開說明.空心圓柱體的內(nèi)、外半徑（R內(nèi)，R外）以及高度（h）分別為0.05，0.15，0.2 m.

圖1 空心圓柱體

熱傳導(dǎo)方程一般可寫為

其中：T是待求溫度，與時(shí)間和空間均有關(guān)；t為時(shí)間；F為熱源強(qiáng)度；k，ρ，c分別為熱導(dǎo)率、密度和比熱容.等號(hào)左邊第1項(xiàng)就是初中時(shí)就學(xué)習(xí)過的單位體積內(nèi)物體溫度變化與外界所交換的熱量（，q0和V分別是物體吸收/釋放的熱量和物體體積），第2項(xiàng)則表示單位時(shí)間內(nèi)以熱傳導(dǎo)形式流入該單位體積的熱量.因此，方程（1）的物理本質(zhì)就是能量或者說熱能守恒.在本例中，認(rèn)為空心圓柱體中無熱源，則F(r，t)=0，該方程變?yōu)辇R次方程.如果只想知道圓柱體達(dá)到熱平衡狀態(tài)時(shí)的溫度分布而不研究溫度隨時(shí)間的變化，則方程（1）將化為拉普拉斯方程

要求解熱傳導(dǎo)方程，必須要給定初始條件和邊界條件，圓柱體的初始溫度被設(shè)定為20 ℃（293.15 K）.

數(shù)學(xué)物理方法課程中常見的邊界條件可以分為3 類：

第1 類邊界條件是直接規(guī)定待求物理量的取值.在本例中，空心圓柱的內(nèi)表面被視為與一個(gè)恒溫?zé)嵩唇佑|，溫度被固定為室溫60 ℃（333.15 K），即

第2 類邊界條件是規(guī)定待求物理量在邊界外法線方向上的方向?qū)?shù).對(duì)一個(gè)給定的邊界截面，傅里葉熱傳導(dǎo)定律可以寫為

其中：r是單位面積內(nèi)的熱流量，即熱流密度；負(fù)號(hào)表示熱量是逆溫度梯度方向傳導(dǎo)的.因此，對(duì)于給定熱導(dǎo)率的空心圓柱體來說，規(guī)定外法線方向?qū)?shù)等價(jià)于直接定義熱流密度.顯然，熱流密度是一個(gè)更具有直觀物理意義的量，可以將邊界處的熱流密度直接視為第2 類邊界條件.本例中，將空心圓柱體的外表面設(shè)置為絕熱條件，即圓柱體與外界不能通過外側(cè)表面與外界環(huán)境進(jìn)行熱交換

第3 類邊界條件規(guī)定了邊界處待求物理量與待求物理量外法線方向上方向?qū)?shù)之間的線性關(guān)系，有時(shí)也稱作混合邊界條件.本例設(shè)定圓柱體的上下2 個(gè)表面與外界存在熱交換，根據(jù)牛頓冷卻定律，在該表面設(shè)置第3 類邊界條件

其中：hf為空心圓柱上下表面的對(duì)流換熱系數(shù)；Text表示外界環(huán)境溫度.等號(hào)左邊表示圓柱表面因存在溫度梯度而流通的熱量，右邊表示由于環(huán)境中熱對(duì)流的存在而交換的熱量.這樣看就會(huì)發(fā)現(xiàn)，公式（6）的物理意義就是在圓柱體的上下2 個(gè)表面不會(huì)有熱量的持續(xù)累積和損耗，熱量的流動(dòng)是連續(xù)的，這也符合直觀認(rèn)知.通過給定hf的值和環(huán)境溫度Text，就可以得到確定的第3 類邊界條件.

2 利用COMSOL Multiphysics 軟件求解空心圓柱體熱傳導(dǎo)模型

2.1 物理模型的構(gòu)建

由于空心圓柱具有中心對(duì)稱結(jié)構(gòu)，因此在用COMSOL Multiphysics 仿真軟件構(gòu)建模型時(shí)無需構(gòu)建三維模型，選擇“二維軸對(duì)稱”模型，可以減少計(jì)算量和計(jì)算時(shí)間.利用COMSOL 軟件繪制的矩形（見圖2），其位置和大小均可在軟件中任意更改.本例中矩形的寬度和高度分別為0.1，0.2 m，左下角頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（0.1，0 m）.r=0 處的紅線表示旋轉(zhuǎn)軸，矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一圈即可得到與圖1 所示同尺寸的空心圓柱體.COMSOL 軟件內(nèi)置了多種材料的基本物理特性參數(shù)，在仿真過程中可以直接對(duì)仿真模型添加材料并調(diào)用相關(guān)參數(shù).空心圓柱體的材料被設(shè)置為鐵，其密度、比熱容和熱導(dǎo)率分別為7 870 kg/m3，440 J/（kg·K），76.2 W/(m·K).

圖2 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱模型下，利用COMSOL 軟件繪制的矩形

由于本文研究的是空心圓柱體的熱傳導(dǎo)問題，因此選擇軟件中自帶的“固體傳熱”模塊進(jìn)行仿真計(jì)算.該模塊已經(jīng)內(nèi)置了熱傳導(dǎo)方程，無需修改，只需進(jìn)行邊界條件和初始條件的設(shè)置即可.利用COMSOL 軟件設(shè)置初始溫度條件的界面見圖3a.可以看到，COMSOL 軟件的界面對(duì)用戶非常友好，直接在輸入框內(nèi)輸入數(shù)值即可.根據(jù)對(duì)空心圓柱體初始溫度的設(shè)定，此處輸入“293.15 K”.

利用COMSOL 軟件設(shè)置第1 類邊界條件的界面見圖3b.設(shè)置一欄中，在“邊界選擇”中選擇矩形的左邊（這一條邊經(jīng)繞軸旋轉(zhuǎn)后即形成空心圓柱體的內(nèi)表面），表示要對(duì)這一條邊進(jìn)行物理?xiàng)l件的設(shè)置.其下方“方程”中展示了一個(gè)關(guān)于溫度的公式，表示此處設(shè)置的物理含義是溫度邊界條件.在溫度輸入框中輸入“333.15 K”，即可完成了第1 個(gè)邊界條件的設(shè)置.設(shè)置圓柱外表面絕熱和上下表面熱對(duì)流邊界條件時(shí)的軟件界面分別見圖3c～d，與對(duì)空心圓柱體的邊界條件設(shè)定的操作基本一致.

通過以上操作，可以使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)方程、初始條件和邊界條件有更直觀的認(rèn)識(shí)，有利于深入理解數(shù)學(xué)公式背后的物理內(nèi)涵.

2.2 仿真結(jié)果與討論

點(diǎn)擊COMSOL 軟件中的“物理場(chǎng)控制網(wǎng)格”實(shí)現(xiàn)空心圓柱體的網(wǎng)格自動(dòng)剖分，本案例中將網(wǎng)格數(shù)設(shè)置為360.由于本案例求解的是空心圓柱體熱穩(wěn)定狀態(tài)溫度分布，因此研究模式選擇“穩(wěn)態(tài)”（此時(shí)軟件自動(dòng)將要求解的方程設(shè)定為拉普拉斯方程）；點(diǎn)擊“計(jì)算”按鈕，軟件開始自動(dòng)求解數(shù)學(xué)方程并輸出物理圖像，使用普通筆記本電腦的計(jì)算時(shí)間僅需約2 s.

hf=100 W/（m2·K）時(shí)，空心鐵圓柱體的溫度分布情況見圖4a～b.可以看到圓柱體的溫度從內(nèi)表面（333.15 K）向外表面（約328 K）逐漸降低，同時(shí)上下表面的溫度比圓柱體的中央?yún)^(qū)域要低，這是上下表面與溫度較低的外界環(huán)境（293.15 K）存在熱交換的邊界條件導(dǎo)致的必然結(jié)果；等溫線自左向右（對(duì)應(yīng)空心圓柱體由內(nèi)而外）逐漸稀疏，表示溫度梯度的絕對(duì)值逐漸減??；由于圓柱體上下表面與外界存在熱交換，因此，上下表面的溫度沿徑向方向降低得比其內(nèi)部要快，導(dǎo)致上下表面附近的等溫線分布比中央更密集.結(jié)果表明，COMSOL 軟件能夠展示熱傳導(dǎo)方程中的待求溫度函數(shù)在給定的初始條件和邊界條件下是如何分布的，使學(xué)生不僅能夠很好地理解邊界條件的概念，還能夠直觀地把數(shù)學(xué)方程與物理圖像聯(lián)系起來.

在滿足教學(xué)需求的基礎(chǔ)上，COMSOL 軟件還自帶有“參數(shù)化掃描”功能，可以賦予某個(gè)條件任意多的數(shù)值，用于研究該條件對(duì)仿真結(jié)果的影響.在本例中，通過賦予空心圓柱體表面對(duì)流換熱系數(shù)(hf)3 個(gè)不同的數(shù)值，研究了表面對(duì)流換熱情況對(duì)其空心圓柱體熱傳導(dǎo)過程的影響.圓柱上下表面在具有不同換熱系數(shù)的條件下，其溫度沿徑向方向的變化曲線見圖4c.可以看到，空心圓柱體的溫度沿著徑向向外逐漸降低，且斜率逐漸趨于0，與圖4a 和圖4b 的結(jié)果一致.另外，隨著hf取值的增加，空心圓柱體外側(cè)的溫度逐漸降低，這是由于hf的增大使圓柱體通過上下表面向低溫外界環(huán)境釋放出了更多的熱量，導(dǎo)致處于熱絕緣狀態(tài)的外表面從圓柱內(nèi)側(cè)吸收到的熱量較少，因此溫度較低.

圖4 空心圓柱體的熱傳導(dǎo)仿真結(jié)果

在仿真過程中，計(jì)算熱傳導(dǎo)方程中溫度函數(shù)的空間分布僅是COMSOL 軟件的結(jié)果之一，軟件已經(jīng)把所有熱物理參數(shù)的分布進(jìn)行了計(jì)算并保存在模型中.因此，對(duì)學(xué)有余力的學(xué)生，教師可以引導(dǎo)其進(jìn)一步深入思考和探索，利用COMSOL 軟件展示更多的結(jié)果.例如：圓柱體上下表面的換熱邊界條件既然能夠影響圓柱體的溫度分布，那熱流量究竟是多大，與空間位置以及表面換熱系數(shù)的大小是否有關(guān).要得到以上結(jié)論只需要在軟件中將之前展示的縱坐標(biāo)“溫度”替換為“熱流密度”.空心圓柱體上表面的熱流密度沿徑向方向的變化曲線見圖4d.可以看到，上表面的熱流量密度沿著徑向向外逐漸降低，這是由于空心圓柱體的內(nèi)側(cè)溫度較高，與外界環(huán)境溫差較大，因此熱流量密度較大.由此可見，hf與圓柱體表面的熱流密度成明顯的正相關(guān)關(guān)系，提高h(yuǎn)f有助于圓柱體的散熱，而降低hf則有助于圓柱體的保溫.

hf取值的數(shù)量和大小均可在COMSOL 軟件中根據(jù)教學(xué)和研究需求進(jìn)行自定義設(shè)置.通過COMSOL 軟件還可以對(duì)空心圓柱體的初始溫度、內(nèi)表面溫度等初始條件和邊界條件進(jìn)行修改或賦予不同的取值，從而進(jìn)一步研究不同條件對(duì)熱傳導(dǎo)過程的影響，這樣不僅能夠使學(xué)生對(duì)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象的理解更加深入，更能調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的主觀能動(dòng)性.在實(shí)際的教學(xué)過程中，還可以將學(xué)生們提前分組，分別研究不同物理?xiàng)l件對(duì)空心圓柱體熱傳導(dǎo)過程的影響，在課堂上互相交流學(xué)習(xí)，從而實(shí)現(xiàn)翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式和探究性學(xué)習(xí)模式，鍛煉學(xué)生的探究能力，提高科學(xué)素養(yǎng).最終完成的計(jì)算結(jié)果可以保存為一個(gè)單獨(dú)的工程文件（.mph 格式），便于學(xué)生上交和教師檢查，也有利于保存記錄和用于交流學(xué)習(xí).這些操作不僅可以使用在熱傳導(dǎo)方程的學(xué)習(xí)上，對(duì)數(shù)學(xué)物理方法課程中的其它內(nèi)容同樣有效.在學(xué)習(xí)結(jié)束后，教師可以結(jié)合實(shí)際應(yīng)用與課程內(nèi)容出題，讓學(xué)生開展調(diào)研后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為仿真模型，制作并上交仿真案例.這個(gè)過程既可以作為課后作業(yè)發(fā)布，也可以作為期末考試的一種新載體，未來甚至可以在數(shù)學(xué)物理方法課程中設(shè)置計(jì)算機(jī)實(shí)踐課時(shí)，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)教學(xué)模式和考核模式的改革.

利用COMSOL 軟件輔助教學(xué)可以實(shí)現(xiàn)物理概念的理解、模型的建立和仿真結(jié)果的可視化展示等目的，是一種能夠讓學(xué)生更好地預(yù)習(xí)、學(xué)習(xí)和復(fù)習(xí)的有效手段.不僅能夠使學(xué)生直觀建立物理圖像，理解數(shù)學(xué)方程背后的物理內(nèi)涵，還可以讓學(xué)生將理論知識(shí)與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系起來，提高認(rèn)識(shí)問題和解決問題的能力.

3 結(jié)論

本文以空心圓柱體為例，利用COMSOL Multiphysics 軟件實(shí)現(xiàn)了熱傳導(dǎo)過程的物理圖像的可視化教學(xué)，幫助學(xué)生進(jìn)一步理解3 類邊界條件和熱傳導(dǎo)方程的物理內(nèi)涵.COMSOL 軟件具有操作簡(jiǎn)單、可視性強(qiáng)的特點(diǎn)，集教、學(xué)、研多種功能于一體，加強(qiáng)了數(shù)學(xué)公式與物理圖像和實(shí)際應(yīng)用之間的關(guān)聯(lián)性，同時(shí)減少學(xué)生的畏難心理和教師的授課壓力.該軟件的使用有助于激發(fā)學(xué)生的主觀能動(dòng)性，利于探究性學(xué)習(xí)和翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式的開展；能夠讓教師和學(xué)生在教與學(xué)的過程中更加關(guān)注數(shù)學(xué)方程背后的物理概念與物理思想，讓學(xué)生在掌握數(shù)學(xué)技能的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)領(lǐng)悟物理思想、使用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際物理問題的教學(xué)目標(biāo).COMSOL軟件的應(yīng)用為課后作業(yè)和能力考核提供了一種全新的方式，是實(shí)現(xiàn)新時(shí)代教學(xué)改革的有效手段.