橢圓曲線y2=x3-x±6的整數(shù)點

（隴南師范高等?？茖W校 數(shù)信學院，甘肅 隴南 742500）

1 引言及預備知識

從集合論的觀點看，橢圓曲線實際上就是由它上面的點的集合所構成的，并且可以由其點集唯一確定.橢圓曲線可看作點集構成一個可交換的加法群.一般地，將定義在某一數(shù)域上的橢圓曲線E：y2=x3+ax+b上點的集合記作E().設Q 為有理數(shù)的集合，一般來講，有3 個與E(Q)有關的基本問題，分別為確定集合E(Q)中是否有無窮多個有理點，求出集合E(Q)中所有的有理點，求出集合E(Q)中某一個特定的有理點.在一般情況下，這3 個問題都很困難.根據(jù)Mordell 有限基定理，橢圓曲線有理點集E(Q)可以有限生成，但生成過程未知[1-2]，而著名的21 世紀7 個“千禧難題”之一的BirchSwinnerton-Dyer 猜想（BSD 猜想）[3]就是與橢圓曲線有理點分布有關的一個極具挑戰(zhàn)性的難題.BSD 猜想是尋找有關E(Q)的大小信息，是要找到什么情況下橢圓曲線E(Q)有無窮多個有理解，而在具體情況下橢圓曲線E(Q)有有限個解.基于此，與BSD 猜想有關的問題——確定橢圓曲線的整點問題就顯得非常重要，也是數(shù)論和算術代數(shù)幾何中的重要問題[4-5].

目前，對于橢圓曲線y2=(x+a)(x2-ax+p)的整點問題，當a=-2時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值：p=7，1 5，1 8，2 3，3 1，4 3，139[6-12]；當m=4p-8=q+1或m=2p-8=q+1且p≡/1(mod8)時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線全部整數(shù)點[13].當a=2時，已經(jīng)找到對應橢圓曲線所有整點的p值：p=7，15，27，31，43[14-18]；當a=± 2時，已經(jīng)找到了當p=36s2-5，s為正奇數(shù)，且6s2-1，12s2+1均為素數(shù)時的全部整數(shù)點[19-20].

本文對a=±2，p=3的情況進行了討論，得到了橢圓曲線y2=x3-x± 6沒有正整數(shù)點的結論.文中N+為正整數(shù)集合.

2 主要結果及證明

定理橢圓曲線

僅有整數(shù)點為(x,y)=(-2,0)及(x,y)=(2,0).

證明設橢圓曲線y2=x3-x± 6的整數(shù)點為(x,y)，由式（1）可知

顯然，(x,y)=(-2,0)及(x,y)=(2,0)是式（2）的解.下面討論式（2）的非平凡解.

設d=gcd(x±2,x2?2x+3)，由于x2?2x+3=(x±2)2?6(x± 2)+11，則d11.因此d=1,11.

首先，討論

的整點問題.

當d=1時，可令x+2=a2,x2-2x+3=b2,y=±ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.因為a2≡0,1,4(mod8)，所以x≡a2-2≡-2,-1,2(mod8)，于是有x2-2x+3≡(-1)2-2×(-1)+3 ≡6(mod8)或x2-2x+3≡(±2)2-2× (±2 )+3 ≡3 (mod8)，即x2-2x+3 ≡6,3 (mod8)，而b2≡0,1,4 (mod8)，矛盾.因此，當d=1時，橢圓曲線y2=x3-x+6僅有整數(shù)點(-2,0).

當d=11時，可令x+2=11a2,x2-2x+3=11b2,y=±11ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.易得(11a2-3)2-11b2=-2 .

令u=11a2-3,v=b，則有u2-11v2=-2 .由引理3～4 可知，不定方程u2-11v2=-2 的全部解只有一個結合類，且由表出.于是可以得到遞歸序列

及序列性質(zhì)：un≡1 (mod2)，un≡0 (mod3)，u2n≡3 (mod11)，u2n+1≡-3 (mod11)，u4n≡u4n+1≡3 (mod20)，u4n+2≡u4n+3≡-3 (mod20).

由un=11a2-3 ≡0 (mod3)可知，2a2≡0 (mod3)，a≡0(mod3).又un為奇數(shù)，則a必為偶數(shù)，于是6|a.不妨設a=6k，那么，要使un=11a2-3=396k2-3≡±3 (mod20)成立，則一定有5k，n≡2,3 (mod 4).于是有30a.因此un=11a2-3 ≡-3 (mod9 900)，也即

因此，由式（4）及序列un模4，25，11 的余數(shù)規(guī)律有

然而，同余方程組（5）～（6）均無解.所以，不存在整數(shù)n，使得un=11a2-3成立.這也說明了，當d=11時，橢圓曲線y2=x3-x+6沒有整數(shù)點.

其次，討論

的整點問題.

當d=1時，可令x-2=a2,x2+2x+3=b2,y=±ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+.因為a2≡0,1,4(mod8)，所以x≡a2+2≡-2,3,2(mod8)，于是有x2+2x+3≡(±2)2+2× (±1)+3 ≡3 (mod8)或x2+2x+3≡ 32+2 × 3+3 ≡2 (mod8)，即x2+2x+3 ≡2,3 (mod8).而0,1,4≡b2≡x2+2x+3 ≡2,3 (mod8)不可能成立.因此，當d=1時，橢圓曲線y2=x3-x-6僅有整數(shù)點(2,0).

當d=11時，可令x-2=11a2,x2+2x+3=11b2,y=±11ab,gcd(a,b)=1,a,b∈N+，易知(11a2+3)2-11b2=-2 .

令u=11a2+3,v=b，則u2-11v2=-2 .由un=11a2+3 ≡0 (mod3)可知，2a2≡0 (mod3)，a≡0(mod3).由于un為奇數(shù)，則a必為偶數(shù)，于是6a.不妨設a=6k，那么，要使un=11a2+3=396k2+3≡±3 (mod 20)成立，則一定有5k，且n≡0,1(mod4).此時30k，因此un=11a2+3 ≡3 (mod9 900)，也即

綜上可知，橢圓曲線y2=x3-x+6僅有整數(shù)點(x,y)=(-2,0)，橢圓曲線y2=x3-x-6僅有整數(shù)點(x,y)=(2,0). 證畢.