高中數(shù)學(xué)函數(shù)最值問題探析

◇ 山東 趙 南

函數(shù)最值問題是高考考查的重點內(nèi)容，通常函數(shù)最值問題不會單獨存在，而是與其他題型內(nèi)容相融合，因而使得解題方法呈現(xiàn)多樣性.學(xué)生在求解最值問題時也會遇到諸多問題，為此，教師應(yīng)幫助學(xué)生把握函數(shù)最值問題特點，使其學(xué)會選擇合適的求解思路來提升解題效率.

1 代數(shù)法

在高中函數(shù)最值問題求解過程中，代數(shù)法是常用的方法之一.代數(shù)法根據(jù)題意條件，可以有配方法、不等式解題法等.對于配方法，主要是根據(jù)y=ax2+bx+c 的二次函數(shù)結(jié)構(gòu)來靈活選擇.例如求函數(shù)y=x2-4x+1，在x∈［1，4］上的最大值.面對該題，首先要觀察原函數(shù)的結(jié)構(gòu)，可以將之進(jìn)行變換，得到y(tǒng)=（x-2）2-3；接著，結(jié)合題設(shè)條件，在x=2時，y 值為-3，當(dāng)x=4時，y 值為1.由此即可得到正確的答案.不等式法的運用，在一些題型上具有更為靈活的特點，也簡化了解題流程.

2 向量法

在高中數(shù)學(xué)中，向量法的運用是求解最值問題的有效方法，我們在觀察、分析題設(shè)時，要從函數(shù)結(jié)構(gòu)來剖析其特點，利用向量法來簡化計算，快速獲得求解結(jié)果.例如某題中m，n 為兩個向量，且滿足條件（m·，當(dāng)（y-1）2+（x+y-3）2+（2x+y-6）2取最小值時，求x，y 的值各是多少？對于該題，我們可以先觀察.本題題設(shè)條件很簡單，但在解題方法上卻顯得有些難度.如何運用向量法來求解，需要假設(shè)m=（y-1，x+y-3，2x+y-6），n=（1，-2，1），根據(jù)題設(shè)得到當(dāng)=2x+y-6 時，我們可以得到由此，得到所求式的最小值.從解題思路來分析，該題需要注意，用向量法解題時，需要根據(jù)所求式的結(jié)構(gòu)特征引入向量，再利用向量不等式求解.同時，由于向量與函數(shù)知識關(guān)聯(lián)性強，對學(xué)生而言，需要把握兩者的關(guān)系，為解題創(chuàng)造條件.

3 換元法

換元法也稱作輔助元法，該法比較適合有復(fù)雜因式分解的題型，通過換元將復(fù)雜的問題簡單化，也為解題降低了難度.例如在某題中：有方程（x2-2x）2-3（x2-2x）-4=0，求x 的最大值與最小值.該題從題型來看，屬于一元四次方程，如果我們采用常規(guī)解題思路，則運算量很大，也很費時，且易出現(xiàn)錯誤.由此，我們就可以考慮換元法，通過降次來起到簡化解法的目的.我們可以假設(shè)y=x2-2x，將原式轉(zhuǎn)換為y2-3y-4=0，計算后得到y(tǒng)=4或y=-1.然后，根據(jù)前面所設(shè)，將y 值代入x2-2x 中，當(dāng)x2-2x=4時，x 的值為；當(dāng)x2-2x=-1時，x 的值為1.由此，該方程的解有3個，即.相比較而言，最大值為，最小值為.可見，運用換元法，需要保證原題方程中的一端為可分解的因式，另一端為0，如果不能轉(zhuǎn)換成如上條件，則換元法在使用中可能會出現(xiàn)錯誤.另外，針對該類題型，在解題中出現(xiàn)多值問題，需要對相關(guān)的值進(jìn)行辨析.

4 判別式法

求解函數(shù)最值問題，有時候需要依賴我們的直覺判斷.不同題型，求解方法可能有多種，而在分析題意時，往往需要我們從感覺上來選擇解題思路.例如，y=求其最值.我們對該題進(jìn)行觀察，分子與分母具有較大相似性.根據(jù)分母x2+3x+4=（x+得到函數(shù)的定義域為全體實數(shù)；接著，我們再對（y-1）x2+（3y+3）x+4y-4=0進(jìn)行求解，得到y(tǒng)=1時，x=0，當(dāng)y≠1時，此關(guān)于x 的一元二次方程有解，Δ≥0，解得由此我們可以得到最大值為7，最小值為對該題進(jìn)行剖析，我們通過觀察題設(shè)條件，再結(jié)合求最值要求，通常需要對題目中的最大值、最小值進(jìn)行全部計算，不能僅看一個值.另外，根據(jù)分母的性質(zhì)，需要大于零，作為解題條件來確立解題思路.

總之，最值問題的求解方法很多，我們在平時的訓(xùn)練中，要注重觀察題設(shè)，拓展解題思維，結(jié)合題意來科學(xué)、靈活地選擇解法.同時，還要關(guān)注題設(shè)條件的變化，對定義域、值域、相關(guān)約束參數(shù)準(zhǔn)確把握，從而提高解題正確性.