一道數(shù)學(xué)創(chuàng)新壓軸題的思路探析

◇ 北京 龔浩生(特級(jí)教師)

北京高考?jí)狠S大題一直以創(chuàng)新的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)、沒(méi)有常規(guī)解題套路、需要靈活的研究探索能力、需要較強(qiáng)的閱讀理解和符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)要求等為鮮明特色,能起到考查學(xué)生創(chuàng)新思維能力、區(qū)分拔尖學(xué)生的作用.2020年朝陽(yáng)區(qū)二模數(shù)學(xué)試題第21題就是這樣一種題型,很多學(xué)生對(duì)第(3)問(wèn)無(wú)從下手,不知怎樣思考.下面我們對(duì)該題的解題思路進(jìn)行探析,期望對(duì)同學(xué)們有些啟發(fā).

題目設(shè)集合A＝{a1,a2,a3,a4},其中a1,a2,a3,a4是正整數(shù),記SA＝a1＋a2＋a3＋a4.對(duì)于ai,aj∈A(1≤i＜j≤4),若存在整數(shù)k,滿足k(ai＋aj)＝SA,則稱ai＋aj整除SA,設(shè)nA是滿足ai＋aj整除SA的數(shù)對(duì)(i,j)(i＜j)的個(gè)數(shù).

(1)若A＝{1,2,4,8},B＝{1,5,7,11},寫(xiě)出nA,nB的值;

(2)求nA的最大值;

(3)設(shè)A中最小的元素為a,求使得nA取到最大值時(shí)的所有集合A.

【思路探析】首先理解問(wèn)題:一個(gè)集合A中含有四個(gè)正整數(shù),要研究其中的兩個(gè)數(shù)之和整除四個(gè)數(shù)之和SA的個(gè)數(shù)nA.(1)易得nA＝2,nB＝4.

對(duì)于(2),要求nA的最大值,即確定所有ai＋aj的值最多有幾個(gè)能整除SA,也可以求所有ai＋aj的值最少有幾個(gè)不能整除SA.根據(jù)整除的概念,若存在整數(shù)k,滿足k(ai＋aj)＝SA,則ai＋aj整除SA,那么,若不存在整數(shù)k,使k(ai＋aj)＝SA,則ai＋aj不整除SA.這就應(yīng)該研究所有ai＋aj的大小,不妨設(shè)0＜a1＜a2＜a3＜a4.則a1＋a2＜a3＋a4,a1＋a3＜a2＋a4,從而a4＜a3＋a4＜SA,所以a2＋a4,a3＋a4不能整除SA.可見(jiàn)不能整除的最少有兩個(gè),從而nA≤4,再聯(lián)系第(1)問(wèn)說(shuō)明能取到4,所以nA的最大值為4.

對(duì)于(3),給出了集合A的一個(gè)最小元素為a,要在nA取到最大值時(shí),求出所有集合A.這要以(2)的結(jié)論為基礎(chǔ),同樣設(shè)定0＜a＝a1＜a2＜a3＜a4,則在nA＝4時(shí),有a1＋a2,a1＋a3,a1＋a4,a2＋a3均能整除SA.這時(shí),應(yīng)注意到a1＋a4＋a2＋a3＝SA,故(a1＋a4)|SA,則(a1＋a4)|(a2＋a3),同樣(a2＋a3)|(a1＋a4),所以a1＋a4＝a2＋a3.

另外,再由a1＋a2,a1＋a3整除SA,得(a1＋a2)|(a3＋a4),(a1＋a3)|(a2＋a4),故存在整數(shù)k1,k2,使得a3＋a4＝k1(a1＋a2),a2＋a4＝k2(a1＋a3),由a1＋a2＜a1＋a3＜a2＋a4＜a3＋a4,知k1＞k2≥2.至此,要求得a2,a3,a4,就還要進(jìn)一步確定k1,k2的值,于是再分別考慮k1,k2的上界.

結(jié)合a1＋a4＝a2＋a3,可得k2(a1＋a3)＝a2＋a4＝2a2＋a3－a1＜3a3－a1＜3(a3＋a1),故k2＜3,從而得k2＝2,即a2＋a4＝2(a1＋a3).

由a1＋a4＝a2＋a3與a2＋a4＝2(a1＋a3),可得a3＝2a2－3a1,a4＝3a2－4a1,于是,k1(a1＋a2)＝a4＋a3＝5a2－7a1＜5(a1＋a2),所以3≤k1＜5,即k1＝3或4.當(dāng)k1＝3時(shí),由解得集合A為{a,5a,7a,11a}.當(dāng)k1＝4時(shí),由集合A為{a,11a,19a,29a}.

綜上,使得nA取到最大值時(shí)的所有集合A為{a,5a,7a,11a}和{a,11a,19a,29a}.

【反思領(lǐng)悟】解決這個(gè)問(wèn)題,首先是要對(duì)“整除”的定義理解到位;其次要設(shè)定四個(gè)數(shù)的大小,從而便于對(duì)四個(gè)數(shù)中每?jī)蓚€(gè)數(shù)構(gòu)成的和的大小進(jìn)行分析,從而判斷整除性.第(3)問(wèn)要求出集合A,就是要求得其中的三個(gè)數(shù)用一個(gè)已知的最小數(shù)表達(dá),所以就要充分利用整除關(guān)系導(dǎo)出四個(gè)數(shù)之間的關(guān)系式,其中對(duì)后兩個(gè)關(guān)系式中k1,k2的確定是本題最大的難點(diǎn),這就要有范圍估算的意識(shí),要能靈活運(yùn)用大小關(guān)系放縮,體現(xiàn)出較強(qiáng)的分析思維能力.

【解法再探】(3)給出了集合中的一個(gè)最小元素,可以想到另外三個(gè)元素應(yīng)該用最小元素來(lái)表達(dá),以最小元素為參照.設(shè)a2＝a＋x,a3＝a＋y,a4＝a＋z,且x,y,z∈N?,x＜y＜z,則SA＝4a＋x＋y＋z.

由(2)可知,當(dāng)nA取到最大值4時(shí),a1＋a2＝2a＋x,a1＋a3＝2a＋y,a1＋a4＝2a＋z,a2＋a3＝2a＋x＋y均能整除SA.

由(a1＋a4)|SA,可得(a1＋a4)|(a2＋a3),同理(a2＋a3)|(a1＋a4),故a1＋a4＝a2＋a3,即z＝x＋y,所以SA＝4a＋2x＋2y,

又由a1＋a2＝2a＋x整除SA＝4a＋2x＋2y,得(2a＋x)|2y,同理(2a＋y)|2x,故2a＋y≤2x＜2y＜2(2a＋y),從而2a＋y＝2x,y必為偶數(shù),令y＝2t,t∈N?,則x＝a＋t,2a＋x＝3a＋t整除2y＝4t,令4t＝k(3a＋t),易知1＜k＜4,所以k＝2或3,所以t＝3a,或t＝9a.當(dāng)t＝3a時(shí),x＝4a,y＝6a,A＝{a,5a,7a,11a};當(dāng)t＝9a時(shí),x＝10a,y＝18a,A＝{a,11a,19a,29a}.

綜上,當(dāng)nA取到最大值4時(shí),A＝{a,5a,7a,11a}或{a,11a,19a,29a}.

【領(lǐng)悟】把握整除的概念,抓住四個(gè)整除關(guān)系,用好符號(hào)語(yǔ)言表達(dá),充分運(yùn)用整除的基本性質(zhì)靈活化解整除關(guān)系,這是突破本題難點(diǎn)、解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

【自主訓(xùn)練】以下再給出幾道考題給同學(xué)們自主思考練習(xí).

練習(xí)1已知數(shù)列{an}滿足:a1∈N?,a1≤36,且.記集合M＝{an|n∈N?}.

(1)若a1＝6,寫(xiě)出集合M的所有元素;

(2)若集合M存在一個(gè)元素是3的倍數(shù),證明:M的所有元素都是3的倍數(shù);

(3)求集合M的元素個(gè)數(shù)的最大值.

練習(xí)2已知a1,a2,…,an,…是由正整數(shù)組成的無(wú)窮數(shù)列,對(duì)任意n∈N?,an滿足如下兩個(gè)條件:①an是n的倍數(shù);②|an－an＋1|≤5.

(1)若a1＝30,a2＝32,寫(xiě)出滿足條件的所有a3的值;

(2)求證:當(dāng)n≥11時(shí),an≤5n;

(3)求a1所有可能取值中的最大值.

練習(xí)3設(shè)正整數(shù)數(shù)列A:a1,a2,…,aN(N＞3)滿足ai＜aj,其中1≤i＜j≤N.如果存在k∈{2,3,…,N},使得數(shù)列A中任意k項(xiàng)的算術(shù)平均值均為整數(shù),則稱A為“k階平衡數(shù)列”.

(1)判斷數(shù)列2,4,6,8,10和數(shù)列1,5,9,13,17是否為“4階平衡數(shù)列”;

(2)若N為偶數(shù),證明:數(shù)列A:1,2,3,…,N不是“k階平衡數(shù)列”,其中k∈{2,3,…,N};

(3)如果aN≤2019,且對(duì)于任意k∈{2,3,…,N},數(shù)列A均為“k階平衡數(shù)列”,求數(shù)列A中所有元素之和的最大值.