例談幾何題的命制方法

江蘇省泰州市第二中學附屬初中

命制試題的方法之一就是命題者從原有試題得到啟發(fā),對原有試題進行深度的改造,再加工,使之形式上有所改變、在原有考查知識點上進行拓展變化而編制成的創(chuàng)新題.由于是對原有試題的深挖掘,所以命制的試題一般都帶有一定的新穎性和創(chuàng)造性.創(chuàng)新的方法很多,例如:改變設問角度、改變已知條件、改變考查目標、轉換題型、題目重組等,一道好的創(chuàng)新題應當是既考查知識和能力又滲透數(shù)學思想,其核心是能夠培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).源自經(jīng)典,傳承創(chuàng)新是試題命制的常用途徑.下面筆者從一道經(jīng)典的幾何問題出發(fā),通過對近年來中考中出現(xiàn)的有關試題的分析,來了解其命題思路,感悟幾何題的命制方法.

1 典型例題

如圖1,正方形ABCD中,以A為頂點作∠EAF=45°,其兩邊分別交BC,DC于點E,F.求證:EF=BE+DF.

圖1

分析:只要將ΔADF繞A點順時針旋轉90°,或用“補短”法在CB的延長線上取BG=DF即可.

1.1 引申結論

解題的過 程中,我 們 得 到 ΔABG∽= ΔADF,ΔAEG∽= ΔAEF.于是有

下面以此題為例,介紹幾種常用的命制方法.

2 互換因果

把原題中的∠EAF= 45°與結論“EF=BE+DF”或結論1○之一,或2○,或3○,或4○互換得到五個新的命題.可以證明它們都是成立的.即上述六個性質中,只要其中一個成立,其余五個都成立.

圖2

例1如圖2,正方形ABCD中,E為BC上一點,BE=為CD的中點.求證:∠EAF=45°.

思路(1)連結EF,設正方形邊長為1,由勾股定理算得EF=再運用原題的分析中的方法.

思路(2)再作EH⊥AF,H為垂足,先算出EF,AF和AE的長,分別為再算出AH的長度.由可得.AH的長可通過如下方法得到:

由方程組

解得.

思路(3)如圖3,由于F是CD的中點,則延長AF,BC得到交點M,易得CM=BC,再連接AC,得∠ACB= 45°.因此只要證ΔEAC∽= ΔEMA,通過計算可得

圖3

3 變化點線

例2(2016年揚州市統(tǒng)考試題節(jié)選).如圖4,已知正方形ABCD的邊長為4,一個以點A為頂點的45°角繞A旋轉,角的兩邊與邊BC、DC的延長線交與點E、F,設CE=a,CF=b.

(3)探索∠EAF繞點A旋轉的過程中a,b滿足的關系式(注:原題3問,只取第3問).

圖4

圖5

分析本題與原題相比,只多了三個字“延長線”,即∠EAF與BC,CD的交點置于其延長上,研究的對象也發(fā)生了變化(不再是EF).因此,我們的思路也應隨之改變,從例1的思路3 得到啟示:可探索三角形相似.連接AC,則∠ACE=∠ACF=135°.證ΔCAE∽ΔCFA還缺一個條件.由∠CAE+∠CEA=∠ACB=45°=∠CAE+∠CAF,得∠CEA= ∠CAF,從而獲證.于是有CE·CF=CA2=AB2+BC2=2×42=32.即ab=32.

如果把原題中的的兩點E1、F1標上,還有ΔE1AC∽ΔE1EA,倘若把此題中“BC的延長線”改為“CB的延長線”,又可以得到新又有新的結論:EF=DF -BE.讀者自證.

4 增改條件

例3 如圖6在邊長為3的正 方 形ABCD中,E是BC 邊長的一個動點,作EP⊥AE,且EP=AE,交邊CD于點F.

圖6

(1)若BE= 1,求的值.(2)求證:∠PCG= 45°.(3)求DP的最小值.

思路(1)易知∠CEF= ∠BAE,ΔCEF∽ΔBAE,

(2)要證∠PCG= 45°,即證∠ECP= 135°.則要構造全等三角形.如果由“小補大”,以P作PG的垂線段則不能奏效,只有將“大”改“小”,在AB上取AH=EC,得ΔECP∽= ΔAHE,有∠ECP= ∠AHE,又由AB - AH=BC - EC得BH=BE,于是得出∠PCG=∠BHE=45°.

(3)由(2)知,不論P點怎樣移動,它都在∠DCG的平分線上,因此DP的最小值應在DP⊥CP時取得(垂線段最短),此時ΔDCP為等腰直角三角形,DP=DC ·sin 45°=

5 寓形與數(shù)

例4如圖7直線y=-x+1 與x軸交于點B,與y軸交于點A.M(a,b)為雙曲線上的動點,MG⊥OA,G為垂足,交AB于F,MH⊥OA,H為垂足,交AB于E.

圖7

求證:(1)S矩形OGMH=SΔOAB;

(2)∠EOF=45°.

分析(1)易得A(0,1),B(0,即ab= 1,ΔAOB是等腰直角三角形,OA=OB= 1,MG · MH= 1,即

(2)證明思路是在直角平面坐標系中利用數(shù)形結合的解題方法,求出有關線段,再應用相似三角形求證;另一個思路是運用問題(1)尋求突破.

證法(1)注意到ΔAGF,ΔMEF,ΔBEH都是等腰直角三角形,則E(a,1-a),F(1-b,b),(因ab==a2+ (1- a)2=OE2.因為所以ΔEOF∽ΔEAO,∠EOF=∠EAO=45°.

證法(2)將ΔAOF順時針旋轉90°至ΔBOC,連結EC,則BC=AF,由(1)得SΔMEF=SΔAGF+SΔBEH,即就是EF2=AF2+BE2.而在RtΔEBC中,EC2=BC2+BE2,得EC=EF

在ΔEOF和ΔEOC中:EF=EC,OE=OE,OF=OC,則ΔEOF∽= ΔEOC,有∠EOF= ∠EOC=

6 類比聯(lián)想

例5 如圖8,菱形ABCD中,∠BAD= 120°,以A為頂點,作角分別交BC于點E,交CD于點F.

(1)求證:ΔAEF為等邊三角形.

圖8

(2)連BD,分別交AE于點G,交AF于點H,若∠BAG= 15°,試判別這三條線段所構成的三角形的形狀.

思路(1)只要證AE=AF,連接AC,得∠ABC=60°,ΔABC是等邊三角形,由此易證ΔABE∽= ΔACF. (2)將ΔADH 繞點A 順時針旋轉120°至ΔABM,則∠BAM = ∠DAH = 120°-60°-15°=45°,∠GAM = 45°+ 15°= 60°= ∠GAH,再由AH =AM,AG是公共邊又得ΔAGM ∽= ΔAGH,∠AGM =∠AGH = ∠BAG+∠ABG = 15°+ 30°= 45°.于是MG⊥GH,ΔBMG是直角三角形.

我們對照原題,本題于原題都有以下共同點:“以某角的頂點為頂點作一個角等于它的一半”其實如果把正方形改成菱形或改成頂角為120°的等腰三角形,也會得到和上面題型類似的結論,同樣可以命制出新的試題.

回歸經(jīng)典就是重要的命題方法,命制時厘清經(jīng)典試題的條件結論,對結論和條件進行深度的改編和重組,在注重試題梯度的情況下,注重拓展,以達到既考察學生基礎知識,又考察學生綜合運用數(shù)學知識的能力,就能命制一道新穎別致的創(chuàng)新題.