基于模型思想高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)課例與分析*—-記“圓錐曲線的綜合問(wèn)題”課例的設(shè)計(jì)、實(shí)施與思考

廣東省廣州市玉巖中學(xué)

提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課的實(shí)效性,關(guān)鍵在于提高中偏下水平學(xué)生的學(xué)習(xí)實(shí)效,讓他們?cè)趯W(xué)習(xí)過(guò)程中主動(dòng)構(gòu)建知識(shí)、發(fā)展能力、獲取直接經(jīng)驗(yàn)和間接經(jīng)驗(yàn)是必經(jīng)之路,尤其是解決綜合性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)問(wèn)題.教學(xué)中,筆者采取“復(fù)雜問(wèn)題步驟化;困難問(wèn)題模型化”的教學(xué)策略,讓學(xué)生感悟模型思想,積累解決實(shí)際問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn),取得了一定的效果.現(xiàn)筆者以高三第一輪復(fù)習(xí)“圓錐曲線的綜合問(wèn)題”課例的設(shè)計(jì)與實(shí)施為例,談?wù)勛约旱囊恍┧伎?

1 教學(xué)實(shí)錄

1.1 考情分析,全局把握

教師:高考對(duì)圓錐曲線知識(shí)的考查,主要集中在中高檔綜合性問(wèn)題,有一定難度.本節(jié)課,我們以一道高考真題為例,結(jié)合本知識(shí)點(diǎn)的高考命題規(guī)律,來(lái)探究一下它的基本解答策略.(屏幕投影“表1:命題規(guī)律表”、學(xué)習(xí)目標(biāo))

?

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題的解題思維模式;2.了解常見(jiàn)條件轉(zhuǎn)化模型的處理策略,提高處理解析幾何綜合問(wèn)題的能力.

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖預(yù)留1分鐘時(shí)間,讓學(xué)生了解、梳理本專題內(nèi)容,讓學(xué)生在系統(tǒng)性、高視角的維度總覽全局,熟綱務(wù)本,點(diǎn)對(duì)點(diǎn),明確本節(jié)課復(fù)習(xí)知識(shí)要點(diǎn)以及學(xué)習(xí)任務(wù).

1.2 真題探究 規(guī)律初探(2014年高考全國(guó)Ⅰ卷第20題滿分12分)

投影題目已知點(diǎn)A(0,2),橢圓b ＞0)的離心率為F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求E的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)ΔOPQ的面積最大時(shí),求l的方程.

圖1 解答過(guò)程示意圖

教師:請(qǐng)同學(xué)們2分鐘之內(nèi)自己獨(dú)立完成第一問(wèn).

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖學(xué)生力所能及的,交給學(xué)生獨(dú)立解答,教師巡視,2分鐘后,教師將巡視過(guò)程中用手機(jī)拍攝的學(xué)生解答過(guò)程,直接傳屏電教平臺(tái),投影答案:落實(shí)課堂教學(xué)“講在關(guān)鍵處,練在講之前”.

1.2.1 解題模型的回顧與構(gòu)建過(guò)程

教師:第1問(wèn)一般是容易題,我們高考答題時(shí)務(wù)必拿下,剛才大多數(shù)同學(xué)都完成的很好.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們思考第2問(wèn):回答我接下來(lái)的幾個(gè)問(wèn)題.(學(xué)生2分鐘的讀題、審題、思考時(shí)間)

教師:問(wèn)題1:我們結(jié)合題意作出圖形(如“圖1解答程示意圖”),不難發(fā)現(xiàn)這是“直線+圓錐曲線型”(即:直線與圓錐曲線相交類的問(wèn)題),還記得這種問(wèn)題的常規(guī)處理“套路”嗎?

學(xué)生1:解題思維過(guò)程分三大環(huán)節(jié)

環(huán)節(jié)一:準(zhǔn)備工作(設(shè)—-聯(lián)—-消—-韋達(dá)定理);

環(huán)節(jié)二:翻譯轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化問(wèn)題,轉(zhuǎn)化條件,把題目翻譯成我們熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí));

環(huán)節(jié)三:數(shù)學(xué)運(yùn)算(算出結(jié)果).

教師:很好,同學(xué)們都已經(jīng)熟悉基本的思維流程!復(fù)雜問(wèn)題步驟化、困難問(wèn)題套路化,解題經(jīng)驗(yàn)的積累會(huì)幫助我們順利切入每一個(gè)數(shù)學(xué)難題.大家能否就每個(gè)環(huán)節(jié)的具體步驟及注意事項(xiàng)做一個(gè)分享?

學(xué)生:(故有的解題經(jīng)驗(yàn),同學(xué)們基本能順利分享)

教師:(投影“圖2‘直線+圓錐曲線型’思維導(dǎo)圖”,配合學(xué)生的分享,逐步展示各個(gè)環(huán)節(jié)步驟和注意事項(xiàng))

本節(jié)課我們將重點(diǎn)在“環(huán)節(jié)2”——“轉(zhuǎn)譯”的策略方面去總結(jié)常規(guī)轉(zhuǎn)化模型,積累轉(zhuǎn)化技巧和經(jīng)驗(yàn);在“環(huán)節(jié)3”—-“計(jì)算”方面積累計(jì)算技巧和經(jīng)驗(yàn).

問(wèn)題2:現(xiàn)在,同學(xué)們能自己獨(dú)立完成“環(huán)節(jié)1”中的常規(guī)“動(dòng)作”(設(shè),聯(lián),消)嗎?

(3分鐘時(shí)間.學(xué)生獨(dú)立完成,教師巡視,提醒注意事項(xiàng),如:直線的設(shè)法—-正設(shè)與反設(shè),斜率不存在的情況,消元、計(jì)算的基本策略等)

圖2 “直線+圓錐曲線型”思維導(dǎo)圖

教師:同學(xué)們“環(huán)節(jié)1”完成得不錯(cuò),我們來(lái)分享一下這個(gè)過(guò)程.(投影學(xué)生過(guò)程,如下)

解 (2)當(dāng)l⊥x軸時(shí),不合題意.故設(shè)l:y = kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).聯(lián)立方程消去y 得:(1+4k2)x2-16kx+12=0 由韋達(dá)定理

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖綜合問(wèn)題、復(fù)雜問(wèn)題的處理,需要建立在豐富的解題經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上.本活動(dòng),旨在引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉“直線+圓錐曲線型”數(shù)學(xué)模型,為后續(xù)解題提供思維與行動(dòng)的方向,按圖索驥.另外,有意識(shí)地采用“復(fù)雜問(wèn)題步驟化、困難問(wèn)題套路化”的解題策略,讓學(xué)生獨(dú)立完成“環(huán)節(jié)1”中的常規(guī)“動(dòng)作”(設(shè),聯(lián),消),為后續(xù)師生共同重點(diǎn)探究“環(huán)節(jié)2”中“轉(zhuǎn)譯”的策略和“環(huán)節(jié)3”中“計(jì)算”技巧,作鋪墊.同時(shí)分解難點(diǎn),突出重點(diǎn),小步子前進(jìn),讓學(xué)生最大限度深入解題過(guò)程.

1.2.2 模型思想指導(dǎo)下的思維活動(dòng)的深入與發(fā)散過(guò)程

教師:我們來(lái)看“環(huán)節(jié)2”——“轉(zhuǎn)譯”.我們知道,在此環(huán)節(jié),我們應(yīng)該從題目條件和問(wèn)題兩個(gè)方面去轉(zhuǎn)化翻譯.問(wèn)題3:本題中,你能夠轉(zhuǎn)化翻譯那些條件或者問(wèn)題? 請(qǐng)大家先獨(dú)立思考、探究,然后小組分享3分鐘.(學(xué)生思考、探究5分鐘,個(gè)體分享,小組合作分享)

學(xué)生2:ΔOPQ的面積,這句話,應(yīng)該表示出面積的解析式.

教師:怎樣表示ΔOPQ面積呢?

學(xué)生4:我覺(jué)得用可以用分割法.可以將直線PQ 與x軸的交點(diǎn)M的坐標(biāo)表示出來(lái),然后

學(xué)生5:根據(jù)“學(xué)生4”的想法,我覺(jué)得還可以采用先補(bǔ)成一個(gè)直角梯形—-分別過(guò)P,Q作y軸垂線形成一個(gè)直角梯形,然后再減去兩個(gè)直角三角形面積即可.

教師:非常好!大家肯動(dòng)腦筋.面積的表示確實(shí)方法很多,剛才大家的思路我覺(jué)得都很棒!我們的視野更開(kāi)闊了!但是哪一種更好呢? 我們不妨逐個(gè)試試.我們不妨按照“學(xué)生6”的方法.

問(wèn)題4:有哪些需要進(jìn)一步轉(zhuǎn)化? 如何轉(zhuǎn)化?

學(xué)生7:用弦長(zhǎng)公式可求

用點(diǎn)到直線的距離公式即可求點(diǎn)O到直線PQ的距離所以,

教師:很好!至于上述其他方法,暫時(shí)留給同學(xué)們課后研究.我非常期待大家的研究成果!本環(huán)節(jié)已經(jīng)全部翻譯完畢,現(xiàn)在進(jìn)入“環(huán)節(jié)3”.

問(wèn)題5:根據(jù)題目問(wèn)題目標(biāo),接下來(lái)應(yīng)該干什么?

學(xué)生8:我們應(yīng)該求此式的最大值.

學(xué)生10:此式有根號(hào),求導(dǎo)會(huì)很復(fù)雜,我根據(jù)此式特點(diǎn),覺(jué)得換元再來(lái)算可能會(huì)簡(jiǎn)單一點(diǎn).

教師:大家同意嗎? (全體同學(xué)一致認(rèn)為很有道理)剛才兩位同學(xué)說(shuō)的都非常到位.從題目的問(wèn)題來(lái)看,我們不難發(fā)現(xiàn),這是高考命題熱點(diǎn)之一的“圓錐曲線求最值問(wèn)題”,對(duì)于這類問(wèn)題,我們處理的基本策略是目標(biāo)函數(shù)法,即:首先,建立目標(biāo)函數(shù)(求誰(shuí)的最值,就建立誰(shuí)的目標(biāo)函數(shù)),如然后,求函數(shù)最值.

圖3 解答過(guò)程得分點(diǎn)

但是,這里面需要積累一個(gè)很重要的解題經(jīng)驗(yàn)和技巧:對(duì)于含有根號(hào)的,一般是采用換元法,換根號(hào),在運(yùn)用函數(shù)的方法,如求導(dǎo)等求最值.大家可動(dòng)手試試.

教師:在換元后,大多數(shù)同學(xué),還是考慮利用導(dǎo)數(shù)求最值.有沒(méi)有不求導(dǎo)就可求最值的呢?

學(xué)生11:因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)t= 2,即時(shí),等號(hào)成立,且滿足Δ＞0.綜上:所求直線方程為或

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖通過(guò)思維導(dǎo)圖模型的引領(lǐng),將思維程序化,解題目標(biāo)清晰,思維不斷縱深推進(jìn).探究難點(diǎn)處,教師點(diǎn)撥釋疑.探究每一個(gè)分解的難點(diǎn),引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步熟悉直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題(一般步驟)——“三個(gè)環(huán)節(jié),步步為贏”的解題策略,并從中積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn)和技巧.掌握直線與圓錐曲線綜合問(wèn)題的解題思維模式.

教師:如何求其最大值?

1.3 真題剖析 規(guī)律提煉

教師:通過(guò)此題,我們看看高考的重點(diǎn)和方向.本題考查了哪些知識(shí)點(diǎn),我們又有哪些解題的收獲呢? (教師引導(dǎo),學(xué)生回答,教師補(bǔ)充,歸納)

考點(diǎn)1 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)(數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析);

考點(diǎn)2 圓錐曲線(橢圓)的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法;

考點(diǎn)3 圓錐曲線(橢圓)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(離心率、弦長(zhǎng)公式等);

考點(diǎn)4 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系(一般步驟)——“三個(gè)環(huán)節(jié),步步為贏”的解題策略.

通過(guò)本題的探究,我們發(fā)現(xiàn):面對(duì)綜合復(fù)雜問(wèn)題,只要我們步步為營(yíng)、每分必爭(zhēng),其實(shí)我們也是可以大比例得分的.那么此題,按照高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn),我們會(huì)“踩點(diǎn)得分”多少呢? (投影“圖3解答過(guò)程得分點(diǎn)”).

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖高三第一輪復(fù)習(xí),有意識(shí)強(qiáng)化學(xué)生的答題規(guī)范性,讓學(xué)生明白得分點(diǎn),掌握踩點(diǎn)得分的技巧.同時(shí),進(jìn)一步梳理學(xué)生在探究活動(dòng)中積累的解題經(jīng)驗(yàn)和技巧.

1.4 變式遷移 體驗(yàn)感悟

教師:現(xiàn)在,請(qǐng)大家嘗試處理下列問(wèn)題.(投影展示變式1、2、3、4)

變式1如圖4,原例中,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),當(dāng)以PQ為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí),求l的方程.若原點(diǎn)O位于以PQ為直徑的圓外時(shí)呢? (2018年沈陽(yáng)市高三質(zhì)檢第20題改編題)

圖4 變式1

圖5 變式2

變式2如圖5,原例中設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),記C(0,1),當(dāng)||CP|=|CQ|時(shí),求l的方程.

圖6 變式3

圖7 變式4

變式3如圖6,原例題中,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),記M(4,0),當(dāng)∠OMP= ∠OMQ時(shí),求直線l的方程.(2018年高考全國(guó)Ⅰ卷第19題改編)

變式4如圖7(拓展延伸)原例題中,設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l與E相交于P,Q兩點(diǎn),是否存在直線l滿足若存在,求出直線求l的方程;若不存在,說(shuō)明理由.

教師:這些問(wèn)題與原例題解答過(guò)程有什么異同嗎?

學(xué)生:解題環(huán)節(jié)1 相同,可以直接借用原例題相關(guān)步驟(設(shè),聯(lián),消,韋達(dá)定理);不同的是,環(huán)節(jié)2 與環(huán)節(jié)3.

教師:那好,下面請(qǐng)大家直接分享每一個(gè)變式解題過(guò)程中的“環(huán)節(jié)2”?

學(xué)生:(思考,小組分享)

學(xué)生12:變式1中,得到“以弦PQ為直徑的圓過(guò)點(diǎn)O”?OP⊥OQ ?kOP · kOQ=-1 (需討論k是否存 在)再 用 韋 達(dá)

學(xué)生13:變式2中,取弦PQ的中點(diǎn)M,則由題意可得然后坐標(biāo)化,再用韋達(dá)定理.

學(xué)生14:變式3中,由題意可得kMP+kMQ=0,然后坐標(biāo)化,再用韋達(dá)定理.

······

教師:分享都很精彩!上面轉(zhuǎn)化的角度都是常規(guī)視角,有很好的積累價(jià)值.其實(shí),大多數(shù)問(wèn)題只要忠實(shí)、準(zhǔn)確地將題目每個(gè)條件和要求表達(dá)出來(lái),即可自然而然產(chǎn)生思路.當(dāng)然,上述問(wèn)題的轉(zhuǎn)化翻譯有不同角度,請(qǐng)大家課外思考:是否還有其它轉(zhuǎn)化角度,并嘗試分別完成每題解答過(guò)程中“環(huán)節(jié)3”.

活動(dòng)設(shè)計(jì)及意圖重點(diǎn)訓(xùn)練學(xué)生的化歸思想,將“條件轉(zhuǎn)化”常見(jiàn)模型及其處理策略加以探究,為學(xué)生積累解題經(jīng)驗(yàn).

1.5 課堂總結(jié) 提煉內(nèi)化 (略)

2 教學(xué)說(shuō)明及反思

2.1 基于數(shù)學(xué)模型思想高三復(fù)習(xí)課的教學(xué)活動(dòng)設(shè)計(jì)思路

遵循數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課重復(fù)性、概括性、系統(tǒng)性、綜合性與反思性的顯著特點(diǎn),理解學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的認(rèn)知心理,把握數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在結(jié)構(gòu),是設(shè)計(jì)并構(gòu)建高效數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課堂的必經(jīng)之路.

本節(jié)課面對(duì)的學(xué)生群體,屬于中偏下水平,對(duì)于圓錐曲線綜合性問(wèn)題:知識(shí)上,基本掌握了單一知識(shí)點(diǎn),缺乏綜合靈活運(yùn)用能力;計(jì)算能力上,基本功不扎實(shí),技巧不熟,對(duì)算理難度較大的缺乏運(yùn)算經(jīng)驗(yàn);思維上,不會(huì)尋找切入點(diǎn),不熟練轉(zhuǎn)化化歸,思維缺乏條理性;心理上,對(duì)綜合問(wèn)題回避、放棄、有畏難情緒,缺乏挑戰(zhàn)精神.但學(xué)生樂(lè)學(xué),對(duì)圓錐曲線綜合問(wèn)題有一定的認(rèn)知基礎(chǔ),尤其基本解題步驟有一定的了解.

鑒于此,本節(jié)課的處理策略為“復(fù)雜問(wèn)題步驟化;困難問(wèn)題模型化”,將知識(shí)難點(diǎn)和思維難點(diǎn)分解,利用模型思想,小步快走.在“真題探究,規(guī)律初探”環(huán)節(jié),展示思維導(dǎo)圖,引導(dǎo)學(xué)生回顧模型,幫助中偏下學(xué)生構(gòu)建處理綜合問(wèn)題的思維程序;利用5個(gè)問(wèn)題系列,師生互動(dòng),引導(dǎo)學(xué)生尋求切入點(diǎn),探求解決問(wèn)題的方案,完成“解題模型的回顧與構(gòu)建過(guò)程”和“模型思想指導(dǎo)下的思維活動(dòng)的深入與發(fā)散過(guò)程”.在“真題剖析,規(guī)律提煉”環(huán)節(jié),強(qiáng)化數(shù)學(xué)模型思想的提煉.在“變式探究體驗(yàn)感悟”中,強(qiáng)化模型的應(yīng)用,側(cè)重思維的訓(xùn)練和提升.整個(gè)過(guò)程,不斷強(qiáng)化“回顧模型,建立模型,應(yīng)用模型”;以模型為指南引領(lǐng)思維方向;以問(wèn)題為動(dòng)力,推動(dòng)思維向深度和廣度發(fā)展.

綜合上述要求,本節(jié)課的設(shè)計(jì)思路為(圖8):

圖8 設(shè)計(jì)思路

2.2 基于數(shù)學(xué)模型思想高三復(fù)習(xí)課的幾點(diǎn)思考

模型的建立是基于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),所以要對(duì)經(jīng)常對(duì)活動(dòng)反思和提煉,但模型解題是一把雙刃劍,要辯證施教,防止題型化固化學(xué)生思維.

首先,要重視讓學(xué)生經(jīng)歷教學(xué)活動(dòng)的反思過(guò)程,特別是對(duì)活動(dòng)過(guò)程中條件、步驟、方法等的反思,然后在此基礎(chǔ)上提煉數(shù)學(xué)模型,并積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).因?yàn)?數(shù)學(xué)的“基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”包括直接經(jīng)驗(yàn)(自我摸索)和間接經(jīng)驗(yàn)(依據(jù)或模仿),單純的講授與模仿不能幫助學(xué)生形成真正有效的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),有效經(jīng)驗(yàn)一定是在自主活動(dòng)過(guò)程中(包括總結(jié)反思)才能夠獲得的.所以,一次數(shù)學(xué)活動(dòng)結(jié)束之后的總結(jié)提升環(huán)節(jié)對(duì)于基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的形成非常必要.

其次,數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型思想下的高三復(fù)習(xí)課要重視建模過(guò)程的思維訓(xùn)練.數(shù)學(xué)建模的教學(xué)本質(zhì)也是思維教學(xué),模型思想教學(xué)滲透著讓學(xué)生學(xué)會(huì)聯(lián)系、類比、歸納和概括等邏輯思考的基本方法.讓近階段學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn)激活學(xué)生的最近發(fā)展區(qū),建立新的相關(guān)數(shù)學(xué)模型.新模型的建立在關(guān)聯(lián)的舊模型的幫襯下,再加上教師適當(dāng)引導(dǎo),學(xué)生參與新模型的揭示與形成,學(xué)生選擇模型的能力才會(huì)得到得到充分磨練.“型”成于思,經(jīng)受住波折或挑戰(zhàn)的建模過(guò)程更能讓模型思想深入骨髓.

最后,辯證施教是預(yù)防模型思想滲透走偏的保障.防僵化的題型套用,在數(shù)學(xué)知識(shí)的生成和運(yùn)用過(guò)程中,有必要進(jìn)行適當(dāng)?shù)臍w納和概括,這有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)基本規(guī)律,獲取本質(zhì)特征,但又不能過(guò)分追求模型的精細(xì)化,這會(huì)讓學(xué)生迷失在形式化的結(jié)構(gòu)中.解決問(wèn)題教學(xué),應(yīng)該強(qiáng)調(diào)對(duì)實(shí)際問(wèn)題數(shù)量關(guān)系的分析,突出解決問(wèn)題的策略,而不宜過(guò)度以題型精細(xì)化分類,去讓學(xué)生識(shí)記數(shù)學(xué)題型的各自特征,否則一旦學(xué)生遇到無(wú)題型可套的問(wèn)題時(shí)便會(huì)束手無(wú)策,陣腳大亂.

總之,利用模型思想設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)課,可以幫助學(xué)生深入積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),提高復(fù)習(xí)實(shí)效.但模型的教學(xué)滲透不能被過(guò)度程式化、技術(shù)化和功利化,應(yīng)該根據(jù)學(xué)生的年齡特征與知識(shí)積累逐級(jí)遞進(jìn),教師充分分析、辯證施教,模型思想才可以真正提高教學(xué)實(shí)效,解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)才可以在學(xué)生的大腦中慢慢積淀和浸潤(rùn)！