淺談反比例函數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

王興濤

【摘要】高中數(shù)學(xué)具有很強(qiáng)的抽象性和復(fù)雜性，學(xué)生不容易學(xué)懂，教師應(yīng)該結(jié)合數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的靈活運(yùn)用，通過(guò)數(shù)學(xué)思想來(lái)進(jìn)行數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決，往往可以起到事半功倍的效果.筆者將利用反比例函數(shù)的一些性質(zhì)，與高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容有機(jī)地結(jié)合，將復(fù)雜的、未知的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為學(xué)生已知的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而幫助學(xué)生解決問(wèn)題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)效率.

【關(guān)鍵詞】反比例函數(shù);高中數(shù)學(xué);教學(xué)應(yīng)用

新課改的背景下，高中教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，要結(jié)合學(xué)生已知的知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的遷移，在學(xué)生原有的知識(shí)基礎(chǔ)上進(jìn)行新知識(shí)的引入，增加教學(xué)的趣味性、互動(dòng)性，以便達(dá)到拋磚引玉、層層深入的教學(xué)效果.下面將以反比例函數(shù)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用為例進(jìn)行探討，以幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的問(wèn)題分析和解決能力，促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升.

一、反比例函數(shù)對(duì)稱性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

反比例函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)，其表達(dá)式為y=kx（k為常數(shù)，k≠0），通過(guò)反比例函數(shù)的圖像性質(zhì)可知，反比例函數(shù)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)中心對(duì)稱.因此，在一些數(shù)學(xué)問(wèn)題的分析和解決中，應(yīng)用反比例函數(shù)的對(duì)稱性，既可以簡(jiǎn)化解題步驟，也能夠有效地提高解題效率.

例1?已知函數(shù)y=ax（a≠0）與反比例函數(shù)y=kx（k為常數(shù)，k≠0）交于兩點(diǎn)P，Q，并且ak>0，已知其中一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（5，-1），那么點(diǎn)Q的坐標(biāo)是多少？

通常的思路是將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入到函數(shù)的解析中，構(gòu)建方程組，通過(guò)解方程的方法對(duì)點(diǎn)Q的坐標(biāo)進(jìn)行求解.這種方法比較常規(guī)，由于涉及反比例函數(shù)，運(yùn)算會(huì)比較復(fù)雜，學(xué)生不容易求出正確的結(jié)果，費(fèi)時(shí)費(fèi)力.這時(shí)，通過(guò)反比例函數(shù)圖像的對(duì)稱性進(jìn)行分析問(wèn)題，就能很容易得出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

由于題目中的函數(shù)都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，二者的交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么很容易就得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（-5，1）.

例2?如圖所示，半徑為2的圓O1與圓O2相切于坐標(biāo)原點(diǎn)，反比例函數(shù)y=kx（k>0）與O1和O2分別交于A，B，C，D四點(diǎn)，現(xiàn)在從圓O1和圓O2內(nèi)任意取一個(gè)點(diǎn)，求這個(gè)點(diǎn)取自陰影部分內(nèi)的概率？

本題是一個(gè)幾何概型問(wèn)題，圖中的陰影面積并不能夠直接求出，這就需要運(yùn)用到反比例函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)，由于圓O1與圓O2也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，可以將陰影部分面積進(jìn)行對(duì)稱，得到一個(gè)半圓，這樣問(wèn)題就迎刃而解了.即所求的概率為12÷2=14.

反比例函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)解決高中數(shù)學(xué)問(wèn)題往往具有重要的作用，是數(shù)學(xué)思想的具體應(yīng)用，可以有效地提高學(xué)生的問(wèn)題分析能力，促進(jìn)學(xué)生思維能力和數(shù)學(xué)抽象能力的發(fā)展.

二、反比例函數(shù)單調(diào)性在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

單調(diào)性是函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，在解決問(wèn)題時(shí)巧妙應(yīng)用反比例函數(shù)的單調(diào)性，往往可以化繁為簡(jiǎn)、化難為易，讓學(xué)生輕松發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，有效地解決問(wèn)題，提高學(xué)生的自主學(xué)習(xí)效率，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.

例3?已知x>0，y>0，滿足條件x+y=k（k為常數(shù)，k>0），那么x2x+1+y2y+1的取值范圍是多少？

本題的常規(guī)解法是將含有兩個(gè)未知數(shù)的式子x2x+1+y2y+1通過(guò)已知條件轉(zhuǎn)化為含有一個(gè)未知數(shù)的式子，從而運(yùn)用有關(guān)函數(shù)或不等式的性質(zhì)進(jìn)行分析和判斷，進(jìn)行解決.然而，由于在上式中應(yīng)用消元法會(huì)破壞式子原有的結(jié)構(gòu)，引入k，將問(wèn)題復(fù)雜化.因此，可以先將式子進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后通過(guò)換元法構(gòu)造反比例函數(shù)，運(yùn)用反比例函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題.

x2x+1+y2y+1=x2+y2+xy（x+y）x+y+xy+1=（x+y）2-2xy+xy（x+y）x+y+xy+1，將已知條件代入得（k-2）xy+k2k+xy+1，令t=k+xy+1，則xy=t-（k+1），可得k+1

則（k-2）xy+k2k+xy+1=（k-2）[t-（k+1）]+k2t=k+2t+k-2，

此時(shí)可以構(gòu)造反比例函數(shù)f（t）=k+2t，則根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，可以得到f（t）在k+1，（k+2）24上遞減，因此，得到f（k+2）24≤f（t）

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用反比例函數(shù)，可以增強(qiáng)學(xué)生的解題效率，提高學(xué)生的思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想.高中數(shù)學(xué)教師要善于從試題中發(fā)現(xiàn)資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，讓學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)中感受到數(shù)學(xué)思想，體會(huì)反比例函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，從而促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)效率的提升，提高教學(xué)質(zhì)量.

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