將數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)本體知識(shí)巧妙融合

劉燦文 楊懿荔

【摘要】現(xiàn)行教材對(duì)“對(duì)數(shù)的概念”的引入過于直接，一般教學(xué)方式對(duì)“對(duì)數(shù)的運(yùn)算”的處理也接近于強(qiáng)加式，它們均不利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)及學(xué)習(xí)興趣.為此，筆者將對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)的運(yùn)算整合在一節(jié)40分鐘的教學(xué)課中，在“數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)本體知識(shí)巧妙融合”的理念指導(dǎo)下生成教案，努力讓學(xué)生了解對(duì)數(shù)概念的起源與發(fā)展，并給予學(xué)生探索對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的機(jī)會(huì).

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)史;數(shù)學(xué)本體知識(shí);對(duì)數(shù)的概念;對(duì)數(shù)的運(yùn)算

一、教學(xué)背景

對(duì)數(shù)思想的產(chǎn)生大大簡(jiǎn)化了煩瑣的大數(shù)運(yùn)算，對(duì)天文學(xué)的發(fā)展提供了極大的幫助.而在現(xiàn)行的上教版高中數(shù)學(xué)教材[1]中，對(duì)數(shù)概念的引入是從一個(gè)指數(shù)方程入手，并沒有闡述其背后的人文因素與實(shí)際的迫切需求.這必然導(dǎo)致學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生困惑：為何要學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)？發(fā)明對(duì)數(shù)的意義何在？在數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教育的啟發(fā)下，越來越多的數(shù)學(xué)教師意識(shí)到上述問題，筆者也不例外.

為幫助學(xué)生解決上述困惑，筆者對(duì)“對(duì)數(shù)概念的引入”進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，將數(shù)學(xué)史融入教學(xué)，努力讓學(xué)生走進(jìn)歷史，身臨其境，體會(huì)發(fā)明對(duì)數(shù)的必要性.只有學(xué)生切實(shí)體會(huì)到對(duì)數(shù)為簡(jiǎn)化計(jì)算帶來的極大便利，學(xué)生才不會(huì)覺得對(duì)數(shù)只是為了和指數(shù)式進(jìn)行互化、只是一個(gè)枯燥無聊的計(jì)算工具，從而使學(xué)生感悟數(shù)學(xué)之美.

任何概念的完善都要經(jīng)歷產(chǎn)生與發(fā)展這樣兩個(gè)階段，對(duì)數(shù)亦是如此.因此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)除了學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)概念以外，學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)的運(yùn)算也是一個(gè)重頭戲，兩者不可分割.在現(xiàn)行教材中，對(duì)數(shù)的概念、對(duì)數(shù)的運(yùn)算這兩部分內(nèi)容的教學(xué)各需要一節(jié)40分鐘的課，現(xiàn)在，為了更好地向?qū)W生呈現(xiàn)對(duì)數(shù)的產(chǎn)生與發(fā)展過程，筆者需要將對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)的運(yùn)算整合在一節(jié)40分鐘的教學(xué)課中.在著手整合之前，筆者考慮到：首先，如果花費(fèi)太多時(shí)間在對(duì)數(shù)概念的引入上，雖然可以將對(duì)數(shù)的產(chǎn)生過程復(fù)原，學(xué)生也能很好地理解對(duì)數(shù)發(fā)明的必要性，但是對(duì)數(shù)的運(yùn)算部分的教學(xué)就會(huì)變得非常倉(cāng)促，也許只能引出對(duì)數(shù)的加法性質(zhì)（性質(zhì)1），而減法性質(zhì)（性質(zhì)2）與乘法性質(zhì)（性質(zhì)3）只能作為思考題讓學(xué)生課后完成，這樣一節(jié)課就不再完整了.其次，對(duì)數(shù)的三大運(yùn)算性質(zhì)在教材中憑空出現(xiàn)，缺少來龍去脈，這顯然不符合學(xué)生的邏輯認(rèn)知規(guī)律，這樣的教學(xué)過程是不自然的，教師應(yīng)當(dāng)對(duì)此加以適當(dāng)?shù)匿亯|.基于上述考慮，在“對(duì)數(shù)概念及其運(yùn)算”（1課時(shí)）教案的生成過程中，應(yīng)當(dāng)努力達(dá)成以下三個(gè)目標(biāo)：

目標(biāo)1 借助數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育（HPM），引入對(duì)數(shù)的發(fā)展過程，讓學(xué)生了解對(duì)數(shù)概念的誕生與起源;

目標(biāo)2 利用實(shí)例，讓學(xué)生自發(fā)地探索對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，使教學(xué)過程自然且有邏輯，避免蒼白的強(qiáng)加式教學(xué);

目標(biāo)3 合理分配時(shí)間，對(duì)于目標(biāo)1、目標(biāo)2做到細(xì)致且不拖沓，精確且高效.

二、教學(xué)過程與教案生成

（一）課前引入

在課前，要求學(xué)生在不借助計(jì)算器的前提下進(jìn)行一些大數(shù)的乘法、除法、乘方、開方運(yùn)算，讓學(xué)生體驗(yàn)到大數(shù)運(yùn)算的不易.

引例 在沒有計(jì)算器的幫助下，求下列各式的值：

（二）雙數(shù)列表的引入[2]

（三）實(shí)例引入

教師：上述雙數(shù)列表中的特例都是設(shè)計(jì)好的，這些大數(shù)均為2的整數(shù)次冪.而在天文學(xué)家的實(shí)際計(jì)算過程中，遇到的數(shù)字都是有實(shí)際意義的天文數(shù)字，不可能剛巧都是2的整數(shù)次冪.華東師范大學(xué)的汪曉勤教授在《數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育》中舉了一個(gè)實(shí)例——天文學(xué)家必會(huì)面臨計(jì)算299 792.458×31 536 000這一問題，因?yàn)樗枪馑倥c一年的秒數(shù)的乘積，也就是一個(gè)光年的大小[3].這樣的大數(shù)乘法運(yùn)算如何巧妙地轉(zhuǎn)化為小數(shù)的加法運(yùn)算呢？只要我們能夠找到a，b，使得2a=299 792.458，2b=31 536 000，就可以通過查找雙數(shù)列表的方法，簡(jiǎn)便地進(jìn)行計(jì)算.

（四）對(duì)數(shù)符號(hào)的誕生

面對(duì)上述光年計(jì)算的問題，教師提出疑問：若已知實(shí)數(shù)a>0，a≠1，且實(shí)數(shù)N>0，問使得ab=N成立的實(shí)數(shù)b是否存在？如果存在，是否唯一？

此處是本節(jié)課的重點(diǎn)之一.首先，面對(duì)計(jì)算光年這一實(shí)際問題，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識(shí)到尋找b值的必要性.其次，就是如何尋找b值，b值是否存在且唯一.對(duì)于指數(shù)函數(shù)f（x）=ax，其值域?yàn)橐磺姓龑?shí)數(shù)，因此，對(duì)任意的N>0，必定存在x0∈R，使得ax0=N，這便驗(yàn)證了方程ax=N至少有一個(gè)解，而后利用指數(shù)函數(shù)f（x）=ax的單調(diào)性可知方程ax=N至多一個(gè)解.綜上可得ax=N恰有一個(gè)解，這個(gè)解便是b，即證明了使得ab=N成立的b值存在且唯一.

然后，教師便由拉丁文logarithm引入對(duì)數(shù)符號(hào).

（五）對(duì)數(shù)的命名

教師向?qū)W生提出思考題：為何要將這樣的b稱為對(duì)數(shù)呢？對(duì)數(shù)難道表示“對(duì)的數(shù)”嗎？

沒有經(jīng)歷上述對(duì)數(shù)概念引入過程的學(xué)生估計(jì)很難回答這個(gè)問題.而通過上半節(jié)課的引入，經(jīng)歷過對(duì)數(shù)概念引入過程的學(xué)生能非常自然地回答出：對(duì)數(shù)即對(duì)應(yīng)的數(shù)，通過雙數(shù)列表，我們可以將大數(shù)轉(zhuǎn)化為與其對(duì)應(yīng)的小數(shù).

（六）對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化練習(xí)

（七）對(duì)數(shù)運(yùn)算的引入及性質(zhì)1的推導(dǎo)

教師幫助學(xué)生回顧前半節(jié)課的內(nèi)容：在引例中我們能夠通過指數(shù)（小數(shù)）找到對(duì)應(yīng)的冪（大數(shù)），現(xiàn)根據(jù)對(duì)數(shù)概念，我們也可以從真數(shù)（大數(shù)）出發(fā)，找到其對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)（小數(shù)）.

教師順勢(shì)改編雙數(shù)列表（表1），得到表2：

教師以指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)作為切入點(diǎn)，自然地引導(dǎo)學(xué)生過渡到對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).對(duì)數(shù)有三大運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，a≠1，M>0，N>0，n∈R，那么有

（八）對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)2、性質(zhì)3的引入

對(duì)于對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)2、性質(zhì)3的引入，筆者想出了兩種不同的設(shè)計(jì)方案，具體如下：

最終，筆者決定采用方案2.理由如下：

其一，方案1雖然很嚴(yán)謹(jǐn)，能夠培養(yǎng)學(xué)生由特殊到一般的思想方法，但是較為枯燥，對(duì)三大性質(zhì)的生成與證明是一種機(jī)械重復(fù)的過程，而且十分耽誤時(shí)間，會(huì)導(dǎo)致后面教學(xué)時(shí)間不足.方案1看似是根據(jù)實(shí)例，由特殊到一般去找尋對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，但實(shí)際上仍是教師強(qiáng)加思路給學(xué)生，學(xué)生完全是跟著教師在走，沒有發(fā)揮主觀能動(dòng)性，并不符合本節(jié)課的教學(xué)理念——自然發(fā)生法.

其二，方案2邏輯線清晰有條理，教學(xué)的發(fā)生十分自然.教師負(fù)責(zé)搭建框架，其余完全由學(xué)生主導(dǎo).方案2由例題引出對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)3，既彌補(bǔ)了因時(shí)間不夠而導(dǎo)致的例題缺失、無暇訓(xùn)練的不足，又在課堂中完美地展現(xiàn)了三大運(yùn)算性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)了教學(xué)的完整性.

因此，無論是教學(xué)的自然發(fā)生，還是時(shí)間的把控，方案2都更勝一籌.

三、反思與總結(jié)

為達(dá)成本文第一部分所提出的三個(gè)目標(biāo)，本節(jié)課的時(shí)間分配如下：

0～8分鐘：“課前引入”“雙數(shù)列表引入”“實(shí)例引入”.以HPM為主視角，采取數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)課堂的重構(gòu)式設(shè)計(jì)，讓學(xué)生經(jīng)歷煩瑣的大數(shù)運(yùn)算，認(rèn)識(shí)尋找對(duì)數(shù)的必要性.

8～15分鐘：“對(duì)數(shù)符號(hào)的誕生”“對(duì)數(shù)的命名”.回顧引例中大數(shù)與小數(shù)之間的關(guān)聯(lián)，根據(jù)已習(xí)得的指數(shù)函數(shù)值域與單調(diào)性的知識(shí)，引入對(duì)數(shù)概念，并簡(jiǎn)要介紹對(duì)數(shù)的命名.

15～20分鐘：“對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化練習(xí)”.通過簡(jiǎn)單的指對(duì)數(shù)互化練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)：① 真數(shù)必須大于0;② loga1=0;③ logaa=1.

20～28分鐘：“對(duì)數(shù)運(yùn)算的引入及性質(zhì)1的推導(dǎo)”.通過引例，改編雙數(shù)列表，再通過特殊到一般的思想方法由結(jié)論發(fā)現(xiàn)對(duì)數(shù)的加法運(yùn)算性質(zhì)（性質(zhì)1），前后呼應(yīng).

28～32分鐘：“對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)2的引入”.根據(jù)加減法互為逆運(yùn)算，由學(xué)生自主探究對(duì)數(shù)減法運(yùn)算性質(zhì)（性質(zhì)2）并證明.

32～40分鐘：“對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)3的引入”.給出例題，一來給學(xué)生時(shí)間鞏固知識(shí)，二來可以自然地引出運(yùn)算性質(zhì)3，一舉兩得.

將數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)能讓課堂變得生動(dòng)有趣、激情澎湃，數(shù)學(xué)本體知識(shí)的教學(xué)則讓課堂變得嚴(yán)謹(jǐn)縝密、厚重如山.本節(jié)課在給出對(duì)數(shù)的定義之前，先提了一個(gè)問題：“若已知實(shí)數(shù)a>0，a≠1，且實(shí)數(shù)N>0，問使得ab=N成立的實(shí)數(shù)b是否存在？如果存在，是否唯一？”這是一個(gè)非問不可的問題，也是一個(gè)必須解決的問題.如果教師無視這個(gè)問題就直接給出對(duì)數(shù)的定義，那么對(duì)學(xué)生而言，對(duì)數(shù)的定義就是教師強(qiáng)加的，就算記住了這個(gè)定義，那也不過是無根浮萍而已.如果在圓滿地解決這個(gè)問題之后，教師再給出對(duì)數(shù)的定義，那么課堂將充滿思辨的火花，自然而然，行云流水，這個(gè)定義將在學(xué)生心中生根發(fā)芽，穩(wěn)如磐石.

本節(jié)課結(jié)合對(duì)數(shù)的產(chǎn)生這一史實(shí)，設(shè)計(jì)了一次“穿越時(shí)空”的數(shù)學(xué)之旅，讓學(xué)生親身經(jīng)歷了對(duì)數(shù)概念的產(chǎn)生與發(fā)展過程，讓學(xué)生沐浴在先哲的思想光輝中;同時(shí)，本節(jié)課將數(shù)學(xué)史教學(xué)與數(shù)學(xué)本體知識(shí)教學(xué)巧妙融合起來，使學(xué)生在思維活躍、邏輯清晰的本體知識(shí)教學(xué)中收獲真知.

如何在一節(jié)數(shù)學(xué)教學(xué)課中，為數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)本體知識(shí)找到一個(gè)最佳的平衡點(diǎn)，并將兩者熔為一爐、水乳交融？這是值得一線教師全身心投入其中、不懈探索與實(shí)踐的新問題.

【參考文獻(xiàn)】

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[3]汪曉勤.HPM：數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)教育[M].上海：科學(xué)出版社，2017：451-546.