試談數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用

張文濤

【摘要】“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)中最常見的兩種元素，也是數(shù)學(xué)學(xué)科最基礎(chǔ)的研究對(duì)象，因此，利用數(shù)形結(jié)合思想來解答數(shù)學(xué)問題是常用的方法，也是學(xué)生應(yīng)當(dāng)具備的解題能力之一.因此，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)當(dāng)結(jié)合數(shù)形結(jié)合思想，將抽象的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為直觀的圖像，使數(shù)學(xué)問題變得簡(jiǎn)單、易懂.本文就結(jié)合具體的例子探討數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用，以期幫助學(xué)生高效理解和掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)提高學(xué)生的解題能力.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);數(shù)形結(jié)合思想;運(yùn)用

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種常見和常用的數(shù)學(xué)思想.所謂數(shù)形結(jié)合，就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，把復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為可視的圖形，使數(shù)學(xué)問題直觀化、具體化.運(yùn)用這種數(shù)學(xué)思想，能使學(xué)生發(fā)散數(shù)學(xué)思維、理清解題思路、找準(zhǔn)解題方向、快速解答問題.在高中數(shù)學(xué)教材中，有很多知識(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想，因此，在教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，合理應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生理解和掌握所學(xué)知識(shí)，同時(shí)促進(jìn)他們數(shù)學(xué)解題能力的提高.筆者根據(jù)自己的教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)，對(duì)數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用進(jìn)行了探討，不足之處還望廣大同仁指正.

一、利用數(shù)形結(jié)合思想解決集合問題

集合是高中階段非常重要和基礎(chǔ)的內(nèi)容，安排在高一上冊(cè)第一章，也就是說，學(xué)生進(jìn)入高中階段后，首先學(xué)習(xí)的內(nèi)容就是集合.因此，集合是高中階段的數(shù)學(xué)課程的第一個(gè)概念，也是學(xué)生學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)定理的基礎(chǔ).但是，對(duì)高一新生來說，集合的知識(shí)是比較抽象的，他們理解起來有一定的難度，尤其是交集、并集、補(bǔ)集的關(guān)系和運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，也是主要的考查內(nèi)容.為了幫助學(xué)生真正理解和掌握集合的相關(guān)內(nèi)容，教師可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，把抽象的交集、并集、補(bǔ)集等數(shù)量關(guān)系，用直觀的圖形展示出來.集合的數(shù)形關(guān)系通常利用Venn圖（如圖，兩個(gè)圖形的所有部分就是集合A與集合B的并集）和數(shù)軸展示，具體來說，Venn圖常用來解決較為具體的集合問題，即集合中的各個(gè)元素已經(jīng)明確，通過作Venn圖，學(xué)生可以快速直觀地得出答案;數(shù)軸常用來解決和處理用不等式表示的集合問題，即根據(jù)題意作數(shù)軸，在數(shù)軸上標(biāo)出各個(gè)集合的關(guān)系，這樣就能將各個(gè)集合的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為相對(duì)應(yīng)的不等式之間的運(yùn)算.

二、利用數(shù)形結(jié)合思想解決函數(shù)問題

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要學(xué)習(xí)內(nèi)容，不管是在初中數(shù)學(xué)中，還是在高中數(shù)學(xué)中，都占有很大的比重，而且是教學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn).同樣的，這部分知識(shí)也是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，尤其是函數(shù)中各個(gè)變量之間的關(guān)系有較強(qiáng)的抽象性，學(xué)生理解起來有很大的難度.在高中階段，學(xué)生需要學(xué)習(xí)和掌握的函數(shù)包括指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、反函數(shù)等，不同的函數(shù)，其性質(zhì)也各不相同.如果僅憑教師的講解，學(xué)生很難掌握這些函數(shù)的數(shù)量變化關(guān)系，為了幫助學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識(shí)，教師可以將數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用到函數(shù)教學(xué)中，將抽象的函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為直觀形象的圖形，使學(xué)生借助圖形來理解函數(shù)中的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而處理和解決相關(guān)數(shù)學(xué)問題.例如，在讓學(xué)生解答“已知函數(shù)f（x）=sinx+2sinx，x∈[0，2π]的圖像與直線y=k有且僅有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，求k的取值范圍”這一函數(shù)類問題時(shí)，教師就可以引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)題目中的兩個(gè)函數(shù)解析式來作圖，先畫出坐標(biāo)系，然后根據(jù)題目中的已知條件畫出兩個(gè)解析式對(duì)應(yīng)的圖像，再依據(jù)圖像來分析題目中的數(shù)量關(guān)系，這樣，抽象的數(shù)量關(guān)系就變得具體、直觀，學(xué)生就能在作圖的過程中理解題目含義、掌握數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而快速準(zhǔn)確地解答問題.

三、利用數(shù)形結(jié)合思想解決平面解析幾何問題

平面解析幾何是高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，其本質(zhì)是利用代數(shù)的方法研究平面圖形的幾何性質(zhì).這部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)有較強(qiáng)的抽象性，如果只是讓學(xué)生從數(shù)的角度來思考、分析、解答問題，勢(shì)必會(huì)給學(xué)生造成較大的困擾，因此，教師在講授平面解析幾何內(nèi)容時(shí)，應(yīng)當(dāng)將數(shù)形結(jié)合的思想貫穿教學(xué)始終，通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)和理解難度，使他們既能夠?qū)W會(huì)用方程來表示直線、曲線以及二者的位置關(guān)系，還能夠結(jié)合直線、曲線的性質(zhì)來求出相應(yīng)的方程.概括來說，就是讓學(xué)生學(xué)會(huì)幾何問題和代數(shù)問題的相互轉(zhuǎn)化.例如，有這樣一道解析幾何題：假設(shè)曲線x2+y2=2（y≥0）與直線y=x+b有兩個(gè)交點(diǎn)、一個(gè)交點(diǎn)、無交點(diǎn)這三種情況，請(qǐng)分別求出每種情況下b的取值范圍.如果學(xué)生利用代數(shù)的方法來解答問題，就對(duì)學(xué)生的邏輯思維提出了很高的要求，而且解答問題的過程比較復(fù)雜，而利用數(shù)形結(jié)合方法，讓學(xué)生在坐標(biāo)系內(nèi)先畫出曲線，然后根據(jù)曲線和直線的交點(diǎn)數(shù)量的不同，在坐標(biāo)系內(nèi)移動(dòng)直線，就能把抽象、復(fù)雜的問題變得具體、簡(jiǎn)單，學(xué)生很快就能解答出來.

實(shí)際上，數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用不僅僅體現(xiàn)在以上幾方面，還在數(shù)列、立體幾何、線性規(guī)劃、方程與不等式等多個(gè)問題中也貫穿著這一數(shù)學(xué)思想.限于篇幅有限，筆者只從上述三方面探討了數(shù)學(xué)結(jié)合思想的運(yùn)用，希望學(xué)生能夠真正掌握這一思想，將抽象的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單易懂的問題，進(jìn)而理清解題思路、簡(jiǎn)化解題過程、提高解題能力.

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