基于SAOR的Massive MIMO系統(tǒng)信號(hào)檢測(cè)算法

許耀華，尤揚(yáng)揚(yáng)，胡夢(mèng)鈺，王 劍

（1.安徽大學(xué)電子信息工程學(xué)院，合肥，230601；2.上海航天電子技術(shù)研究所，上海，201802）

引 言

大規(guī)模多輸入多輸出（Massive multiple input multiple output,Massive MIMO）技術(shù)作為一種新型MIMO技術(shù)，隨著不斷增加的天線規(guī)模，信號(hào)處理算法實(shí)現(xiàn)的復(fù)雜度也在不斷增高，如何降低信號(hào)處理算法的復(fù)雜度成為Massive MIMO無(wú)線通信技術(shù)的一大研究課題[1-2]。在信號(hào)檢測(cè)算法中，最小均方誤差(Minimum mean square error,MMSE)算法能夠取得近似最優(yōu)的檢測(cè)性能。然而MMSE算法需要處理復(fù)雜的矩陣求逆(W-1)運(yùn)算，復(fù)雜度高達(dá)O(K3)，K表示系統(tǒng)用戶個(gè)數(shù)。近年來(lái)，大量文獻(xiàn)[3-10]提出了基于MMSE算法的優(yōu)化算法，可大致分為近似法和迭代法兩類。

近似法是一種先得到W-1的近似值，再判決出發(fā)送矢量的信號(hào)檢測(cè)方法。文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[4]提出了將W-1通過(guò)諾伊曼級(jí)數(shù)(Neumann series,NS)展開成多項(xiàng)式的近似方法。對(duì)于這種算法，當(dāng)選取較少的展開項(xiàng)數(shù)時(shí)，雖然復(fù)雜度有所降低，但是檢測(cè)性能會(huì)有所損失。當(dāng)展開項(xiàng)數(shù)大于2時(shí)，計(jì)算復(fù)雜度依然很高，甚至超過(guò)了計(jì)算W-1的復(fù)雜度。文獻(xiàn)[5]和文獻(xiàn)[6]提出了利用Newton迭代算法近似計(jì)算W-1，再恢復(fù)原始信號(hào)。當(dāng)?shù)螖?shù)大于2時(shí)，這種算法計(jì)算復(fù)雜度仍然很高。

文獻(xiàn)[7-10]提出了幾種基于求解線性方程組的迭代算法，其中，對(duì)稱逐次超松弛(Symmetric successive over-relaxation,SSOR)迭代算法[10]性能較優(yōu)。相比于近似法，SSOR迭代算法雖然復(fù)雜度始終保持在較低的數(shù)量級(jí)O(K2)上，但收斂速度較慢，在信道不理想的情況下難以實(shí)現(xiàn)理想的檢測(cè)性能。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文將收斂速度較快的SAOR迭代算法[11]應(yīng)用到Massive MIMO信號(hào)檢測(cè)中，提出了基于SAOR迭代的系統(tǒng)信號(hào)檢測(cè)算法。該算法不直接計(jì)算用戶發(fā)送的信號(hào)矢量，而是通過(guò)SAOR迭代算法求解線性方程組，逐步得到逼近發(fā)送矢量的近似序列，從而避免計(jì)算復(fù)雜的W-1，大大降低了算法復(fù)雜度。本文還給出了SAOR迭代算法的收斂條件、局部最優(yōu)解、初始值的選取以及復(fù)雜度分析。仿真結(jié)果表明，通過(guò)選取合適的參數(shù)和初值，本文提出的檢測(cè)算法實(shí)現(xiàn)了更好的誤碼率性能，并保證了算法逼近MMSE檢測(cè)性能的收斂速度。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮Massive MIMO系統(tǒng)上行鏈路。假設(shè)xi∈Q是第i個(gè)用戶發(fā)送的符號(hào)向量，故K個(gè)用戶發(fā)送的K×1維符號(hào)向量可表示為x=[x1,x2,…,xK]T，其中1≤i≤K，Q表示調(diào)制字母表?；径私邮盏降男盘?hào)矢量可表示為[3]

式中，n是N×1維加性高斯白噪聲向量，且服從CN(0，σ2)分布。H ∈CN×K是信道矩陣，N是基站天線數(shù)。

MMSE檢測(cè)算法[3]就是從基站端天線接收到的信號(hào)向量y估計(jì)出用戶端發(fā)送的信號(hào)矢量x，得到估計(jì)值 x?為

式中，I是單位矩陣，HH是H的對(duì)稱轉(zhuǎn)置矩陣，y?=HHy是y的匹配濾波輸出。由式（2）可知

式中，G=HHH是格拉姆矩陣。由文獻(xiàn)[3]可知，直接計(jì)算W-1的復(fù)雜度高達(dá)O(K3)。

2 基于SAOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法

2.1 SAOR迭代算法流程

本節(jié)將SAOR迭代算法應(yīng)用到信號(hào)檢測(cè)算法中，通過(guò)詳盡的算法推導(dǎo)，最終得到了收斂速度較快的基于SAOR檢測(cè)算法的表達(dá)式。

將線性迭代法應(yīng)用到信號(hào)檢測(cè)中，不需要直接計(jì)算出發(fā)送信號(hào)的精確解，而是通過(guò)求解線性方程組得到一個(gè)個(gè)近似序列來(lái)逐步逼近用戶發(fā)送的信號(hào)矢量，避免了計(jì)算復(fù)雜的W-1，從而達(dá)到降低復(fù)雜度的目的。首先，將式（2）中的 Wx?=y?轉(zhuǎn)換為一個(gè)關(guān)于 x?線性方程 x?= φ(x?)。其中，φ(x?)是 x?的線性函數(shù)，形如：φ(x?)=Bx?+f，B和f分別表示的是迭代矩陣和常向量[12]。因此，算法的迭代格式可以表示為

式中 t=0,1,2,… 為迭代次數(shù)?？紤]線性方程組 Wx?=y?，其中 W=(wij)wijK×K，y?=(y?1,y?2,…,y?K)，wij是W的第j列第i行元素，K則是用戶個(gè)數(shù)，i,j=1,2,…,K，對(duì)照式（4）得到迭代格式為

式中xi和y?i分別表示x和y?的第i個(gè)元素。觀察式（5）可將矩陣W分裂為

（4）改寫為

式中迭代矩陣-D-1(U+L)即為Jacobi矩陣[9]。觀察式（5），將已計(jì)算出的xit+1立即替換掉后續(xù)方程中的xit，保證后續(xù)方程中執(zhí)行每次計(jì)算時(shí)使用的都是最新的數(shù)據(jù)，從而加快算法的收斂速度。因此可將式（5）改寫為

由式（8）可得到矩陣表達(dá)式為

為了進(jìn)一步改善迭代的收斂性和收斂速度，在已求出xt的基礎(chǔ)上，仍用式（9）求出xt+1，然后通過(guò)加速參數(shù)β和松弛參數(shù)α將xt和xt+1線性結(jié)合，能夠得到更好的近似解，從而可以得到

最后，基于切比雪夫加速法[13]，將迭代方程式（10）改寫為兩個(gè)半迭代方程，即可得到收斂速度較快的基于SAOR迭代的檢測(cè)算法表達(dá)式：

（1）計(jì)算第一個(gè)半迭代，就是式（10）本身

（2）計(jì)算第二個(gè)半迭代，就是將式（10）中的L和U互換

基于SAOR迭代的檢測(cè)算法每迭代一次，就會(huì)進(jìn)行兩次半迭代計(jì)算，再次加快了算法收斂速度。此外，在加速參數(shù)和松弛參數(shù)兩個(gè)參數(shù)的聯(lián)合加速下，SAOR迭代算法具有更好的精確解和收斂速度。因此，通過(guò)選取合適的參數(shù)和初值，基于SAOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法在較低的迭代次數(shù)時(shí)能得到較好的收斂速度和誤碼率性能。此外，由文獻(xiàn)[10]可知，基于SSOR的檢測(cè)算法是基于SAOR迭代的檢測(cè)算法在α=β時(shí)的特殊情況?；赟AOR迭代的檢測(cè)算法具體描述如表1所示。

表1 基于SAOR迭代的信號(hào)檢測(cè)算法Table 1 SAOR-based signal detection algorithm

2.2 收斂性分析

對(duì)于基站天線數(shù)遠(yuǎn)大于用戶數(shù)的Massive MIMO系統(tǒng)，實(shí)值信道矩陣H具有全列秩的特性[14]。所以對(duì)任意K×1維的非零向量q，都有

所以格拉姆矩陣G=HHH是正定矩陣。此外，容易得出

綜上，G是對(duì)稱正定的。由于σ2＞0，可得到W=G+σ2I是正定矩陣。由此，文獻(xiàn)[15]給出了SAOR迭代算法收斂的條件是

式中，α和β不同時(shí)為2。由文獻(xiàn)[16]可知，SAOR迭代算法最優(yōu)的加速參數(shù)和松弛參數(shù)

式中ρmin(J)和ρmax(J)分別為Jacobi矩陣的最小和最大特征值。

因此，當(dāng)加速參數(shù)和松弛參數(shù)滿足式(15)時(shí)，本文提出的SAOR檢測(cè)算法收斂。并且，當(dāng)參數(shù)滿足式(16)和(17)給出的條件時(shí)，所提算法能夠得到全局最優(yōu)解。

2.3 初始值的選取

傳統(tǒng)的迭代算法一般選取零向量作為初始解，初始解會(huì)影響迭代的收斂速度，盡管對(duì)其收斂性沒(méi)有影響。所以選取一個(gè)合適的初始解會(huì)讓基于SAOR的檢測(cè)算法收斂得更快，并且獲得更好的檢測(cè)性能。

基于系統(tǒng)基站天數(shù)目遠(yuǎn)大于用戶個(gè)數(shù)，由文獻(xiàn)[14]可以得到

基于Massive MIMO系統(tǒng)信道硬化現(xiàn)象[14]，當(dāng)系統(tǒng)用戶數(shù)K和基站天線數(shù)N足夠大，并且當(dāng)K/N為固定值時(shí)，基于SAOR的檢測(cè)算法初始解向量可選為

2.4 復(fù)雜度分析

由于計(jì)算復(fù)雜度是由乘法器的個(gè)數(shù)決定的，所以式（11）和式（12）兩部分決定了SAOR迭代算法的計(jì)算復(fù)雜度。

(1)將式（11）改寫為

式中

(2)將式（12）改寫為

對(duì)于所有元素，都有

同理可得，式（12）也需要(3K2+7K)/2個(gè)乘法器。

綜上，基于SAOR迭代的檢測(cè)算法總的計(jì)算復(fù)雜度是t(3K2+7K)?？梢?，該算法無(wú)論進(jìn)行多少次的迭代運(yùn)算，復(fù)雜度都保持在較低的數(shù)量級(jí)，為O(K2)。

表1對(duì)比了較優(yōu)的基于SSOR的檢測(cè)算法、基于NS的檢測(cè)算法和本文提出的基于SAOR的檢測(cè)算法三者的復(fù)雜度。由表2可看出，當(dāng)展開項(xiàng)數(shù)t≥3時(shí)，NS近似算法的計(jì)算復(fù)雜度依然高達(dá)O(K3)，甚至超過(guò)了MMSE檢測(cè)算法的復(fù)雜度。而相同迭代次數(shù)的SSOR檢測(cè)算法和SAOR檢測(cè)算法的復(fù)雜度相似，始終保持在較低的數(shù)量級(jí)。但是，SAOR檢測(cè)算法的檢測(cè)性能和收斂速度明顯優(yōu)于SSOR檢測(cè)算法，較快的收斂速度也就意味著較低的復(fù)雜度。

表2 計(jì)算復(fù)雜度比較Table 2 Computational complexity comparison

3 仿真結(jié)果

本節(jié)給出了Matlab蒙特卡洛仿真結(jié)果。仿真參數(shù)為：基帶信號(hào)調(diào)制方式是16QAM，天線規(guī)模是N×K=128×16。傳輸信道是瑞利衰落信道，信道特性時(shí)變，信道維數(shù)128×16。t表示的是各檢測(cè)算法的迭代次數(shù)或展開項(xiàng)數(shù)。

基于第2節(jié)的算法分析可知，松弛參數(shù)α和加速參數(shù)β對(duì)基于SAOR檢測(cè)算法的收斂性和收斂速度都起著至關(guān)重要的作用。為了得到基于SAOR檢測(cè)算法誤碼率(BER)性能的全局最優(yōu)解，以MMSE檢測(cè)算法誤碼率性能為基準(zhǔn)，在參數(shù)收斂區(qū)間(0,2)內(nèi)對(duì)算法的收斂情況進(jìn)行多次實(shí)驗(yàn)。選取的信噪比為8 dB，迭代次數(shù)為3。經(jīng)多次實(shí)驗(yàn)得到本次仿真的最優(yōu)參數(shù)為α=1.21，β=1.28。圖1給出了當(dāng)加速參數(shù)β分別為0.9，1.28，1.4時(shí)，基于SAOR的檢測(cè)算法誤碼率隨松弛參數(shù)α的變化情況。由圖1可以看出，隨著α的增大，基于SAOR的檢測(cè)算法的誤碼率均先減小到一個(gè)最小值然后增大，其中β為1.28，α為1.21時(shí)，基于SAOR的檢測(cè)算法得到了全局最優(yōu)解，其誤碼率近乎實(shí)現(xiàn)了MMSE的檢測(cè)性能。同樣地，由圖2可以看出，當(dāng)α分別為0.9，1.21，1.5時(shí)，隨著β的增大，SAOR迭代算法的誤碼率均先減小到一個(gè)最小值然后增大。綜上，在后續(xù)實(shí)驗(yàn)中選取α=1.21，β=1.28作為SAOR迭代取得全局最優(yōu)解時(shí)的最優(yōu)參數(shù)。

圖1 不同松弛參數(shù)時(shí)誤碼率對(duì)比Fig.1 Comparison of BERs with different relaxation parameters

圖2 不同加速參數(shù)時(shí)誤碼率對(duì)比Fig.2 Comparison of BERs with different acceleration parameters

圖3 對(duì)比了各檢測(cè)算法在不同信噪比時(shí)的誤碼率性能。由圖3可以看出，在相同條件下，基于SAOR的檢測(cè)算法的誤碼率性能要優(yōu)于基于SSOR的迭代算法和基于NS的檢測(cè)算法。例如，當(dāng)t為3，信噪比為8 dB時(shí)，基于SSOR的檢測(cè)算法的誤碼率和基于NS的檢測(cè)算法的誤碼率分別約為4.6×10-5和1×10-3，而基于SAOR的檢測(cè)算法的誤碼率僅為1.8×10-5。此外，要實(shí)現(xiàn)10-5的誤碼率，SAOR迭代算法所需信噪比要比SSOR迭代算法少約0.9 dB。因此，基于SAOR的檢測(cè)算法能夠以較低的迭代次數(shù)獲得較優(yōu)的誤碼率性能，實(shí)現(xiàn)了較快的收斂速度。

圖4給出了在信噪比為8 dB的條件下，各檢測(cè)算法的誤碼率性能隨展開項(xiàng)數(shù)或迭代次數(shù)t的變化情況，也就是對(duì)比了各檢測(cè)算法逼近MMSE檢測(cè)性能的收斂速度。由圖4可以看出，當(dāng)基于SAOR的檢測(cè)算法迭代次數(shù)為2時(shí)，就已經(jīng)展現(xiàn)了較好的誤碼率性能。基于SSOR的檢測(cè)算法迭代次數(shù)為5時(shí)和基于NS的檢測(cè)算法展開項(xiàng)數(shù)為7時(shí)，能夠近似收斂到MMSE算法的檢測(cè)性能，而基于SAOR的檢測(cè)算法僅需3次迭代。并且，基于SAOR的檢測(cè)算法能夠?qū)崿F(xiàn)更接近MMSE的誤碼率性能。

圖3 各檢測(cè)算法誤碼率對(duì)比Fig.3 BER comparison between detection algorithms

圖4 各檢測(cè)算法收斂速度對(duì)比Fig.4 Convergence rate comparison between detection algorithms

因此，通過(guò)選取合適的參數(shù)和初值，基于SAOR的檢測(cè)算法的收斂速度和誤碼率性能都體現(xiàn)出了明顯優(yōu)勢(shì)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)Massive MIMO系統(tǒng)中接近最優(yōu)的MMSE檢測(cè)算法復(fù)雜度高的問(wèn)題，本文在信號(hào)檢測(cè)中應(yīng)用了具有更快收斂速度的SAOR迭代算法。該方法將MMSE檢測(cè)算法轉(zhuǎn)化為線性方程組并進(jìn)行迭代計(jì)算，求解得到的近似序列能夠逐步逼近用戶發(fā)送的信號(hào)矢量，從而避免了復(fù)雜的矩陣求逆運(yùn)算，大大降低了算法復(fù)雜度，并且通過(guò)選取合適的參數(shù)和初值，保證了較快的收斂速度和較好的誤碼率性能。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的算法實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜度從O（K3）降到O（K2），并且僅通過(guò)3次迭代就能幾乎達(dá)到MMSE的檢測(cè)性能，實(shí)現(xiàn)了更好的檢測(cè)性能和更快的收斂速度。下一步考慮將SAOR迭代算法展開到神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中，嘗試通過(guò)訓(xùn)練學(xué)習(xí)得到更好的信號(hào)檢測(cè)算法。