關(guān)于旋渦定義的思考

吳介之, 楊 越

(北京大學(xué) 工學(xué)院 湍流與復(fù)雜系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 北京 100871)

0 引 言

根據(jù)動(dòng)量方程的Helmholtz分解可以發(fā)現(xiàn)，單一性質(zhì)的流體運(yùn)動(dòng)有兩個(gè)基本動(dòng)力學(xué)過(guò)程：以渦量為特征變量的橫過(guò)程即剪切過(guò)程，和以脹量或熱力學(xué)變量(壓力、密度、焓、熵)為特征變量的縱過(guò)程即脹壓過(guò)程(Wu et al. 2015)[1]。縱過(guò)程的特征結(jié)構(gòu)很清晰：聲波、激波以及勢(shì)流，它們有明確的數(shù)學(xué)定義?？v場(chǎng)理論的難點(diǎn)在于其特征量不唯一，對(duì)這些結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)描述與源的辨識(shí)也不唯一。橫過(guò)程則與此恰恰相反。其特征量和數(shù)學(xué)描述唯一，但偏偏其最重要的基本結(jié)構(gòu)——旋渦或渦，沒(méi)有公認(rèn)的定義。這已成為流體力學(xué)的一個(gè)老大難問(wèn)題。本文在回顧經(jīng)典定義演化過(guò)程的基礎(chǔ)上，對(duì)“什么是渦”這個(gè)問(wèn)題提出自己的初步看法，拋轉(zhuǎn)引玉，以期促成更廣泛的討論。

1 渦的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義及其動(dòng)力學(xué)功能

橫場(chǎng)有一個(gè)獨(dú)特的純運(yùn)動(dòng)學(xué)性質(zhì)，即渦量場(chǎng)的無(wú)散性。它的直接結(jié)果是三維無(wú)界流場(chǎng)的總渦量守恒和二維流場(chǎng)的總環(huán)量的時(shí)間不變性。特別對(duì)于渦量管，它導(dǎo)致Helmholtz第一渦量管定理(簡(jiǎn)稱H1)：渦量管的強(qiáng)度或其環(huán)量與管面上計(jì)算它的位置無(wú)關(guān) (不同著作對(duì)Helmholtz三個(gè)渦量管定理的編號(hào)與說(shuō)法不同，這里據(jù)Truesdell (1954)[2])。無(wú)散性決定了“渦”(vortex)最根本的普適形態(tài)特性，是自Helmholtz以來(lái)人們把細(xì)渦量管稱為渦絲并簡(jiǎn)稱為渦的原初依據(jù)，業(yè)已指引人們理解了若干重要的物理現(xiàn)象。最著名的經(jīng)典事例來(lái)自空氣動(dòng)力學(xué)。對(duì)于二維流，Prandtl從翼型突然起動(dòng)形成的起動(dòng)渦，根據(jù)總環(huán)量守恒推斷出產(chǎn)生升力的等值反號(hào)的翼型環(huán)量(圖1)[3]，而這個(gè)環(huán)量只能是翼型上下表面邊界層內(nèi)渦量的代數(shù)和。對(duì)于三維流，Lanchester最先根據(jù)H1從翼尖渦推斷出它們必然來(lái)自機(jī)翼表面邊界層里的渦量在翼尖附近的匯聚和折轉(zhuǎn)(圖2a)[4]，這啟發(fā)Prandtl在1918年基于H1提出了升力線理論的渦系模型(圖2b)。沒(méi)有渦量的無(wú)散性，這些認(rèn)識(shí)是不可能的。

圖1 從左向右突然起動(dòng)的翼型的起動(dòng)渦和升力渦[3]Fig.1 The starting vortex and lifting vortex formed during the suddenly started motion of an airfoil from left to right. From Tietjens & Prandtl (1934)[3]

更一般地說(shuō)，如果某一時(shí)刻在流場(chǎng)某處產(chǎn)生了新的渦量場(chǎng)，則必在同一時(shí)刻會(huì)在流場(chǎng)別的地方產(chǎn)生新的總量相同、方向相反的渦量場(chǎng)，無(wú)論這兩處渦量場(chǎng)中的一個(gè)或兩個(gè)是否發(fā)展成集中的旋渦。

(a) 尾渦形成 (Lanchester, 1907)[4]

(b) Prandtl升力線理論的渦模型

從渦量場(chǎng)的無(wú)散性到渦定義，卻是一段坎坷的歷程?；仡欉^(guò)去，可看到四種不同的思路。

1.1 基于渦量管的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義(Helmholtz-Lamb)

從Helmholtz(1858)把細(xì)渦量管稱為渦絲(vortex filament), 而后Lamb (1932) 把渦絲簡(jiǎn)稱渦 (vortex) 開(kāi)始，人們就用細(xì)渦量管即渦絲(vortex filament)定義旋渦(參見(jiàn)Wu, 2018[5])。這是渦定義的一個(gè)主流方向，因?yàn)樗プ×薍1所體現(xiàn)的渦量場(chǎng)作為無(wú)散管式場(chǎng) (solenoidal field) 的特性。但這個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)定義并不完備。首先，Helmholtz和Lamb并未規(guī)定該細(xì)渦量管之外有沒(méi)有渦量。設(shè)有一族連續(xù)分布于空間的渦量線，從空間中任何不是渦量線的閉曲線出發(fā)均可生成一個(gè)渦量管。由于在這條閉曲線的鄰域還可引入無(wú)限多與之不相交或相交的閉曲線(如奧運(yùn)會(huì)的五環(huán)會(huì)標(biāo))，從這些環(huán)又可生成一系列渦量管，或者互不相交如一套渦量管，或者相互嵌套的渦量管。但這樣生成的結(jié)構(gòu)顯然不唯一，不能把一組渦量管中的任何一個(gè)識(shí)別為通常意義下的旋渦。

其次，人們通常認(rèn)為，根據(jù)H1，在無(wú)界流體中渦量管和渦線一定閉合成環(huán)，并據(jù)此討論過(guò)大量物理問(wèn)題。但Fuente (2007)[6]舉例證明，渦量線和渦量管并非如人們常說(shuō)的那樣要么自行封閉要么延伸到流體邊界。渦量線可能無(wú)窮長(zhǎng)但局限于有限空間，或者在流體內(nèi)部終止于零渦量點(diǎn)；而依其生成閉曲線的不同，渦量管可以自行封閉，也可以是無(wú)窮長(zhǎng)而且自相交無(wú)數(shù)次，但不封閉?？梢?jiàn)，任意選定的渦量線和渦量管的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)并不簡(jiǎn)單。

事實(shí)上，基于渦量管的純運(yùn)動(dòng)學(xué)定義的確是不充分的，因?yàn)閲?yán)格的不可壓流模型也有無(wú)散性，其流管也滿足H1；而且若流動(dòng)無(wú)黏，Helmholtz第二、三渦量管定理(H2, H3)對(duì)流管也成立。但除了計(jì)算流量之外這些流管并無(wú)其他重要特性。

1.2 基于流動(dòng)有旋性的定義 (Kelvin-Saffman)

和上述基于渦量管的主流定義不同，Kelvin(1869, p.225)[7]在關(guān)于渦運(yùn)動(dòng)的經(jīng)典論文中提出，“I now define a vortex as a portion of fluid having any motion that it could not acquire by fluid pressure transmitted through itself from its boundary?！币馑际牵郎u是一團(tuán)任意運(yùn)動(dòng)的流體，該運(yùn)動(dòng)并不來(lái)自從其邊界傳輸過(guò)來(lái)的流體壓力。顯然，這部分流體只能理解為整個(gè)渦量場(chǎng)。這個(gè)定義排除了不可壓流的流管。Saffman & Baker(1979)[8]給出的渦定義實(shí)際上是Kelvin定義的某種直白說(shuō)法：旋渦是被無(wú)旋流包圍的一個(gè)有旋流體。由于渦量場(chǎng)的管式特性, Kelvin-Saffman定義實(shí)際上指的是最大可能的渦量管，其側(cè)面就是一個(gè)有界渦量場(chǎng)的外邊界。此定義的好處是，前述渦量管定義的不唯一性問(wèn)題，以及任選的渦量線與渦量管的復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)問(wèn)題，就都不存在了。

然而，如果任何一個(gè)有界的渦量場(chǎng)都能被整個(gè)定義為一個(gè)旋渦，這和人們的直觀理解相去甚遠(yuǎn)。于是，為避免過(guò)于寬泛，Saffman (1992)[9]又補(bǔ)充說(shuō)，渦主要指無(wú)旋流包圍的細(xì)渦絲。值得注意的是，當(dāng)Kelvin提出他的渦定義時(shí)，隱含地用到無(wú)旋流中聯(lián)系壓力和動(dòng)能的Bernoulli定理。而這個(gè)定理已經(jīng)屬于動(dòng)力學(xué)，但卻在Saffman的定義中被忽略了。

1.3 渦的功能性刻畫(huà)

由上可見(jiàn)，單靠渦量場(chǎng)的無(wú)散性或者流體的有旋性來(lái)定義渦，都是不充分的。它們無(wú)法解釋，為什么并不是所有細(xì)渦量管或有旋流都具有必須給以特殊關(guān)注的特性。例如，在小雷諾數(shù)下忽略慣性力的定常Stokes流中，壓力的梯度(除以黏性系數(shù))和渦量的旋度互相平衡，在二維流中它們無(wú)非是一個(gè)復(fù)解析函數(shù)的實(shí)虛部(Wu et al. 2006, p.151)[9]，雖然人們總可以畫(huà)出許多渦量管，卻沒(méi)有一個(gè)能被稱為渦；而作為有旋流的整個(gè)流場(chǎng)也不具有任何旋渦的意義。為了定義渦，必須進(jìn)入動(dòng)力學(xué)，而且不能像Kelvin那樣簡(jiǎn)單地用是否滿足Bernoulli定理作為判據(jù)。

在這方面，Küchemann(1965)[10]沿著人們對(duì)渦的物理直覺(jué)邁出了重要的一步。他全然不顧渦的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義，提出了渦是“流體運(yùn)動(dòng)的肌腱”這個(gè)著名命題。隨后Moffatt, Kida & Ohkitani(1984)[11]又把這句話延伸到湍流，認(rèn)為被拉伸的渦是湍流的“筋”(sinews)。這就在實(shí)際上給出了一個(gè)闡明渦的功能的形象化判據(jù)，它強(qiáng)調(diào)了只有強(qiáng)到足以成為肌腱的細(xì)管狀結(jié)構(gòu)才夠格被稱為渦。這個(gè)命題符合人們的物理直覺(jué)，因而得到廣泛的認(rèn)可。但渦在什么意義下能成為流體運(yùn)動(dòng)的肌腱？這個(gè)問(wèn)題也只能到動(dòng)力學(xué)中去尋找答案。

1.4 基于旋轉(zhuǎn)度量的渦判據(jù)

在經(jīng)典渦動(dòng)力學(xué)中，旋渦的理論模型總以孤立的形態(tài)出現(xiàn)，或者是無(wú)窮長(zhǎng)的單個(gè)或一對(duì)直渦，或者是渦環(huán)。這種理論模型在湍流研究中不夠用了，而代之以復(fù)雜的、相互糾纏和相互作用的各種“相干結(jié)構(gòu)”或“渦狀結(jié)構(gòu)”(vortical structures)。雖然人們確信這些結(jié)構(gòu)都來(lái)自渦量場(chǎng)，但長(zhǎng)期無(wú)法給出它們的明確定義，而只能用不同實(shí)驗(yàn)手段、在不同階段和條件下觀察到的現(xiàn)象，對(duì)這些結(jié)構(gòu)給出瞎子摸象式的形象化名稱。這種狀況導(dǎo)致了各種“渦判據(jù)”的誕生。

早先，Truesdell (1954, Secs. 51-62)[2]基于渦量是有量綱的量這個(gè)事實(shí)，提出了需要一個(gè)無(wú)量綱的數(shù)來(lái)度量流體運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)程度的問(wèn)題(“to find a quantitative measure of the amount of rotation in a motion”)。他基于Helmholtz分解(他根據(jù)歷史的考察稱之為Cauchy-Stokes分解)，用渦量與應(yīng)變率張量的兩次縮并之比定義了運(yùn)動(dòng)學(xué)的渦量數(shù)(vorticity number)，并用Lamb矢量的絕對(duì)值和物質(zhì)加速度扣除Lamb矢量后的絕對(duì)值之比定義了一個(gè)動(dòng)力學(xué)的渦量數(shù)。前者已成了研究湍流相干結(jié)構(gòu)時(shí)引入的各種“渦判據(jù)”(如見(jiàn)Epps, 2017)[13]的濫觴。這些運(yùn)動(dòng)學(xué)判據(jù)實(shí)質(zhì)上都對(duì)渦的強(qiáng)度給出了規(guī)范。雖因相互有別而導(dǎo)致對(duì)同一結(jié)構(gòu)有不同理解，但它們對(duì)于可視化湍流中復(fù)雜的渦狀結(jié)構(gòu)畢竟起了重大作用，做出了不可替代的貢獻(xiàn)。在公認(rèn)的更好且易用的高效渦識(shí)別方法出現(xiàn)之前，這些判據(jù)還將較長(zhǎng)時(shí)間發(fā)揮作用。但它們和渦定義不屬于同一個(gè)概念(Wu 2018)[5]。從運(yùn)動(dòng)學(xué)上看，現(xiàn)有的判據(jù)都和渦量場(chǎng)的管式特性無(wú)關(guān)，識(shí)別出來(lái)的結(jié)構(gòu)都不滿足H1。滿足H1的一個(gè)必要但遠(yuǎn)非充分的條件是(Wu et al. 2005)[14]，渦不能因軸向拉伸(導(dǎo)致渦量管變細(xì)、渦量強(qiáng)度與卷吸的動(dòng)能增加，但保持環(huán)量沿管子不變)而被不合適的判據(jù)拉斷。根據(jù)Koláǐ &ístek (2019)[15]最近的檢驗(yàn)，在幾個(gè)常用的判據(jù)中只有稱為Rortex的判據(jù)(如Gao & Liu 2018)[16]能滿足這個(gè)必要條件。然而，即使拉不斷，Rortex的外邊界仍未必能近似保持渦量場(chǎng)無(wú)散性導(dǎo)致的管狀性質(zhì)。

從動(dòng)力學(xué)上看，這些判據(jù)最根本的缺陷，是它們不能統(tǒng)一地揭示渦狀結(jié)構(gòu)演化中不同時(shí)刻可識(shí)別結(jié)構(gòu)之間的因果關(guān)聯(lián)。它們是時(shí)空中孤立的存在，不是渦量場(chǎng)本身演化的運(yùn)動(dòng)學(xué)-動(dòng)力學(xué)規(guī)律的自然結(jié)果，也就無(wú)法由之導(dǎo)出各種極有價(jià)值的經(jīng)典渦結(jié)構(gòu)模型及其動(dòng)力學(xué)理論，例如邊界層、面渦、渦絲、點(diǎn)渦、渦斑 (vortex patch) 等等。比如Prandtl升力線理論的機(jī)翼束縛渦和線化自由尾流面渦這樣簡(jiǎn)單的理論模型(圖2b)，乃至渦動(dòng)力學(xué)中所有業(yè)已證明有效的簡(jiǎn)化模型，都是用這些判據(jù)難以得到的。

可以看到，上述前三個(gè)思路雖然都不完備、不充分，卻各自抓住了渦的某個(gè)方面的特征。一個(gè)好的渦定義應(yīng)當(dāng)把這些特征有機(jī)地整合起來(lái)。關(guān)鍵詞是管狀、強(qiáng)旋轉(zhuǎn)。需要把“肌腱”這種形象化的描述改造成精煉而完整的物理理論概念，即進(jìn)一步闡明什么樣的細(xì)渦量管能“升級(jí)”成流體運(yùn)動(dòng)的肌腱。而為此就得解釋它們從何而來(lái)、到何處去的動(dòng)力學(xué)來(lái)源與演化。同時(shí)，作為管和“肌腱”，就只能包括“軸狀渦”。有了好的定義之后，發(fā)展量化的識(shí)別判據(jù)就有了明確的目標(biāo)和方向。

總之，渦量場(chǎng)的無(wú)散性和H1是任何旋渦必備的獨(dú)特運(yùn)動(dòng)學(xué)形態(tài)，但基于渦量管的純運(yùn)動(dòng)學(xué)渦定義并不充分，還必須體現(xiàn)旋渦作為流體運(yùn)動(dòng)肌腱的獨(dú)特動(dòng)力學(xué)功能，而只顧及動(dòng)力學(xué)功能而不顧H1的定義也是不充分的。因此，定義旋渦的總體目標(biāo)應(yīng)當(dāng)是：(1) 能將體現(xiàn)其管狀的運(yùn)動(dòng)學(xué)形態(tài)與肌腱的動(dòng)力學(xué)功能有機(jī)統(tǒng)一；(2) 能以統(tǒng)一的方式覆蓋經(jīng)典渦動(dòng)力學(xué)業(yè)已成熟的結(jié)果，并且指引對(duì)湍流中復(fù)雜渦狀結(jié)構(gòu)及其相互作用的識(shí)別。

下面是我們沿著這個(gè)總體思路的一個(gè)初步探索。本文所用的論證材料大多可在Wu et al.[1，9]中找到。

2 有效無(wú)黏流：從面渦到旋渦

先從雷諾數(shù)趨于無(wú)窮的有效無(wú)黏流說(shuō)起。這時(shí)，渦量場(chǎng)的基本形態(tài)是無(wú)限薄面渦(vortex sheet, 或稱渦片)，即切向間斷面?？赡苁荘randtl最早提出了面渦會(huì)卷繞成軸狀旋渦的思想。Kaden (1931)[17]首先用二維流證明，一個(gè)有邊界的面渦，如果它在邊界上的渦量是非零有限值，就會(huì)“誘導(dǎo)”面渦迅速卷繞成很緊并不斷伸長(zhǎng)的旋進(jìn)(spiral in)單螺旋結(jié)構(gòu)。隨卷繞層數(shù)增加、層間距離和每層面渦的強(qiáng)度趨于零，這個(gè)結(jié)構(gòu)的橫截面形成卷緊的閉圈(圖3)。

這種機(jī)制已由大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)。據(jù)此，Betz[18]令人信服地論證：在外無(wú)界的小黏性不可壓流體中，旋渦只能來(lái)自面渦卷繞。 他先假定，如果在靜止流體中搓一根細(xì)圓柱令其旋轉(zhuǎn)，最后把圓柱取出，那么在無(wú)限大雷諾數(shù)下旋轉(zhuǎn)圓柱得用無(wú)限大的時(shí)間才能完全帶動(dòng)流體轉(zhuǎn)動(dòng)，而且其動(dòng)能需要無(wú)窮大的功率輸入。而事實(shí)是一塊平板一動(dòng)，邊緣就搓出面渦，快速卷繞而成旋渦。Betz的這個(gè)論證解釋了從飛機(jī)到昆蟲(chóng)的定常與非定?？諝鈩?dòng)力學(xué)中遇到的各種旋渦的形成。從Krasny(1987)[19]發(fā)明消除奇異性的數(shù)值研究開(kāi)始，這些螺旋狀結(jié)構(gòu)已經(jīng)被陸續(xù)用不同的方法證實(shí)，數(shù)值方法先是針對(duì)二維流，后來(lái)拓展到軸對(duì)稱流和一般三維流。

圖3 一端有界的面渦卷繞，(Betz, 1950[18])Fig.3 The rolling-up of a semi-infinitely extended vortex sheet (Betz, 1950[18])

此外，人們還從實(shí)驗(yàn)、理論和計(jì)算中發(fā)現(xiàn)，一個(gè)兩端無(wú)限長(zhǎng)的平直面渦，也會(huì)因Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性而非線性地形成旋進(jìn)-旋出(spiral in and out)的雙螺旋結(jié)構(gòu)，而形成一個(gè)渦列(圖4)。在一般的情況下，二維面渦的這種自誘導(dǎo)性質(zhì)服從高度非線性的Birkhoff-Rott奇異積分-微分方程。值得強(qiáng)調(diào)的是，面渦卷繞成集中渦這個(gè)機(jī)制，是在Helmholtz的工作70多年之后發(fā)現(xiàn)的，代表了人們對(duì)渦結(jié)構(gòu)認(rèn)識(shí)的重要進(jìn)展。

圖4 受擾無(wú)限長(zhǎng)面渦因Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定性和自誘導(dǎo)而發(fā)展成卷繞渦列(Krasny, 1988[19])Fig.4 The evolution of disturbed infinitely extended vortex sheet into rolled-up vortex array due to Kelvin-Helmholtz instability and self-induction (Krasny, 1988[19])

對(duì)三維流，一個(gè)軸狀渦一旦形成，背景流場(chǎng)沿軸向的加速度就會(huì)導(dǎo)致渦的拉伸而使其所含的擬渦能指數(shù)加強(qiáng)。這是獨(dú)立于卷繞的另一個(gè)強(qiáng)化旋渦的運(yùn)動(dòng)學(xué)機(jī)制。浴盆中攜帶渦量的流體在出口處由于重力加速度的拉伸作用而形成的浴盆渦就是這種機(jī)制的一個(gè)簡(jiǎn)單而常見(jiàn)的例子。更重要的典型例子，是積雨云中由斜壓效應(yīng)產(chǎn)生的強(qiáng)烈翻滾的有旋流體由于上冷下熱的強(qiáng)對(duì)流而拉出的龍卷風(fēng)(圖5)。在地面上的飛機(jī)發(fā)動(dòng)機(jī)形成的小型龍卷風(fēng)狀旋渦也源于類似的機(jī)制。這種熱對(duì)流和地球旋轉(zhuǎn)的科氏力與風(fēng)切變的相互作用，還能形成更大尺度的臺(tái)風(fēng)甚至颶風(fēng)。

圖5 積雨云和龍卷風(fēng)[20]Fig.5 Cumulonimbus and tornado[20]

連續(xù)性方程的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)和動(dòng)量方程不同分量間耦合的動(dòng)力學(xué)效應(yīng)顯示，渦的軸向拉伸往往伴隨著向心的徑向速度，導(dǎo)致周圍流體被卷并到旋渦中而形成動(dòng)能的集聚，使旋渦成為流動(dòng)的組織者。這正是渦之所以成為流體運(yùn)動(dòng)的肌腱的重要原因。當(dāng)然，渦的軸狀運(yùn)動(dòng)學(xué)形態(tài)也正是筋與肌肉的形態(tài)。

在湍流中,渦因拉伸而加強(qiáng)只是個(gè)大概率事件，有時(shí)也會(huì)因相反的軸向加速度導(dǎo)致軸向收縮、旋渦變粗和渦量密度減弱。但沿軸向擠壓一根細(xì)橡皮棍最容易導(dǎo)致的結(jié)果是，一個(gè)微小的非軸對(duì)稱擾動(dòng)就把皮棍擠彎；同樣，在有軸向擠壓的背景場(chǎng)中，旋渦發(fā)生彎折也是比它單純變粗的概率大得多的事件。只要把一條直渦絲彎成U狀，其兩條平行反號(hào)的腿所誘導(dǎo)的動(dòng)能必定大為減小。因此，Chorin (1994)[21]指出：由于能量守恒，渦的拉伸必然伴隨著它的彎折。在渦絲動(dòng)力學(xué)中，彎折的渦絲要沿副法線方向運(yùn)動(dòng)，主控方程是局部誘導(dǎo)近似的非線性薛定諤方程。而渦絲的拉伸和彎折本身則涉及非局部自誘導(dǎo)和背景流效應(yīng)，主控方程是更復(fù)雜的積分-微分方程 (Wu et al. 2006, 401-407；413-418)[9]。

現(xiàn)在，如果我們把圖4那個(gè)最初平直的無(wú)限長(zhǎng)面渦換成復(fù)雜的曲面，并把流動(dòng)換成三維的，則可以想象這樣的不穩(wěn)定曲面也大量存在于圖5的積雨云內(nèi)部的湍流中。這里既有面渦的卷繞效應(yīng)，又有軸狀渦的拉伸效應(yīng)和折轉(zhuǎn)效應(yīng)，其復(fù)雜程度可想而知，而在低空顯得極為強(qiáng)烈的龍卷風(fēng)，也只是這龐大的積雨云的一個(gè)小尾巴，是個(gè)有一定概率的事件。

值得注意的是，在有效無(wú)黏流中，面渦卷繞的最終結(jié)果不會(huì)是閉合渦量管，而是無(wú)限多層緊密卷繞的螺旋結(jié)構(gòu)，它和渦量管的拓?fù)湫再|(zhì)還是不同的，所以H1用不上。另一方面，這個(gè)螺旋結(jié)構(gòu)的軸心是條直徑無(wú)限小的奇異線，那里的周向速度和動(dòng)能趨向無(wú)窮大。如果奇異線是彎曲的(通常必然如此)，它還會(huì)有無(wú)窮大的自誘導(dǎo)速度。這兩個(gè)問(wèn)題只能靠引入黏性才能解決，討論如下。

3 黏性的作用和Moore-Saffman尾渦模型

真實(shí)的流體都有黏性，引入黏性表明問(wèn)題進(jìn)入了動(dòng)力學(xué)。黏性有幾個(gè)方面的作用。首先，面渦變成有限厚度的剪切層，但這個(gè)厚度必須足夠薄才能使剪切層發(fā)生卷繞。剪切層這樣的結(jié)構(gòu)只在小黏性流體或大雷諾數(shù)流動(dòng)中才出現(xiàn)。這是旋渦出現(xiàn)的一個(gè)必要的動(dòng)力學(xué)條件。其實(shí)縱場(chǎng)的結(jié)構(gòu)也是如此。很黏的流體既沒(méi)有旋渦，也沒(méi)有長(zhǎng)程聲波和激波。換言之，縱橫場(chǎng)的結(jié)構(gòu)都是由大雷諾數(shù)動(dòng)力學(xué)過(guò)程決定的。

黏性的第三個(gè)作用，是不僅使Helmholtz第2、第3渦量管定理失效，而且在抹光卷繞面渦軸心的奇異性的同時(shí)，也使管狀渦核失去了清晰的外邊界面。所以，這樣得到的旋渦，乃至于渦量場(chǎng)本身，本性上就是沒(méi)有清晰外邊界的黏性結(jié)構(gòu)，正如邊界層和自由剪切層沒(méi)有清晰的外邊界一樣，有的只是指數(shù)衰減的“尾巴”(所以邊界層厚度的定義不唯一)。順便提一句，黏性激波層也是這種物理上緊致的結(jié)構(gòu)，但激波層沒(méi)有自誘導(dǎo)，不會(huì)卷成螺旋而已。這樣一來(lái)，我們不得不承認(rèn)，渦核的外邊界是個(gè)有限厚度的“外殼”，大體上對(duì)應(yīng)于從核內(nèi)切向速度單調(diào)增長(zhǎng)轉(zhuǎn)變成在核外勢(shì)流中代數(shù)衰減的過(guò)渡層(參見(jiàn)圖7a)。Saffman在和本文第一作者的一次交談中(約為1994年)也承認(rèn)，他把渦定義為無(wú)旋流包圍的有旋流體，只適用于無(wú)黏流，在黏流中渦量場(chǎng)沒(méi)有清晰的外邊界。下面，我們姑且把作為渦核外邊界的有限厚度的“外殼”稱為準(zhǔn)渦量管。這里重要的是，在準(zhǔn)渦量管內(nèi)必存在滿足H1的嚴(yán)格渦量管，在每個(gè)瞬間其環(huán)量沿管不變。

為了具體理解在黏性流體中渦層卷繞成軸狀渦并形成光滑渦核的過(guò)程，不妨回顧Moore和Saffman (1973)[22]根據(jù)Kaden相似律，針對(duì)飛機(jī)尾渦結(jié)構(gòu)提出的飛機(jī)尾渦模型(簡(jiǎn)譯MS模型)。尾流面渦從后緣起的三維定常卷繞過(guò)程可按x?Ut化簡(jiǎn)為一個(gè)橫流截面上的二維非定常問(wèn)題。首先考慮初始時(shí)刻在(x,y)平面上的一個(gè)位于從機(jī)翼左端起y>0的半無(wú)窮大平直面渦，強(qiáng)度分布為γ0(x)～y-n,n∈[0,1] (n=0.5代表環(huán)量有橢圓分布)。則這個(gè)面渦會(huì)因自誘導(dǎo)而迅速卷起， 在極坐標(biāo)(r,θ)下可用量綱分析證明卷緊的結(jié)構(gòu)服從Kaden相似律 (β是個(gè)常數(shù)):

Moore和Saffman用漸近匹配展開(kāi)證明，尾渦有個(gè)三層狀的核結(jié)構(gòu)：最外層是松散的無(wú)黏卷繞面渦，可用Kaden相似律定義一個(gè)核半徑a0;內(nèi)層是黏性子核以消除切向速度的奇異性，半徑為avis；中間是從卷繞面渦過(guò)渡到黏性子核的光滑無(wú)黏區(qū)，其外邊界為asm。見(jiàn)圖6。

圖6 Moore-Saffman尾渦模型的核結(jié)構(gòu)Fig.6 Core structure of Moore-Saffman trailing vortex model

MS模型包含了軸向壓力梯度引起的拉伸-收縮作用。據(jù)其算得的尾渦周向速度V與軸向速度W的剖面取決于機(jī)翼載荷參數(shù)n(見(jiàn)圖7)，該參數(shù)決定著軸向流的分布和正負(fù)號(hào)(射流型還是尾流型)。這個(gè)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果已被一些實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。

當(dāng)然，MS模型不能直接搬用到其他旋渦上。但是其定性的物理特征具有普遍意義。首先，它體現(xiàn)了Betz的論斷，即只有小黏性流體中的渦層卷繞才能形成旋渦；其次，它證實(shí)構(gòu)成旋渦的閉合渦量管不是任何運(yùn)動(dòng)學(xué)意義下的渦量管，而是渦層卷繞與黏性擴(kuò)散相抗衡的產(chǎn)物，由于卷繞過(guò)程把大片面渦攜帶的渦量集聚到狹小的管狀區(qū)域內(nèi)，這種渦量管的渦量的確有流體運(yùn)動(dòng)肌腱的強(qiáng)度。在t=O(1)時(shí)，黏性子核半徑avis=O(Re-1/2) 處的切向速度達(dá)v=O(Re1/2)。由于周向速度和軸向速度的動(dòng)力學(xué)耦合 (參見(jiàn)Wu et al. 2015, Eq. (6.4.8))[1]和質(zhì)量守恒, 這種強(qiáng)渦量管能把周圍流體卷吸過(guò)來(lái)而成為動(dòng)能高度集聚的結(jié)構(gòu)。第三，H1對(duì)光滑核內(nèi)的流體成立，這對(duì)于旋渦定義是十分必要的。對(duì)于橢圓載荷分布，在t=O(1)時(shí)光滑核半徑為asm=O(Re-1/5), 其內(nèi)有閉合渦量管。第四，它揭示了卷繞之前的剪切層強(qiáng)度分布對(duì)整個(gè)旋渦性態(tài)的影響。這些特性是旋渦的大多數(shù)理論模型所沒(méi)能做到的。值得一提的是，在湍流級(jí)串過(guò)程中，這種卷繞結(jié)構(gòu)也是小尺度間歇性的來(lái)源。Lundgren (1982)[23]首次證明，帶旋臂的拉伸渦模型的系綜平均具有-5/3的能譜。與此相反，由于湍流研究中構(gòu)造的各種渦判據(jù)只能辨識(shí)軸狀結(jié)構(gòu)，都不可能揭示剪切層卷繞成渦的過(guò)程，必然對(duì)MS模型和Lundgren模型掐頭去尾。

(a) 周向

(b) 軸向

4 旋渦的一個(gè)動(dòng)力學(xué)定義

作為對(duì)以上三節(jié)討論結(jié)果的概括，如果要寫(xiě)一個(gè)“旋渦”的詞條，我們可以試著給旋渦下一個(gè)新的動(dòng)力學(xué)定義：

旋渦，或簡(jiǎn)稱渦，是有旋流體在各種運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)和大雷諾數(shù)動(dòng)力學(xué)效應(yīng)下，通過(guò)剪切層卷繞和渦量拉伸自組織成的管狀結(jié)構(gòu)。它們?cè)诹黧w運(yùn)動(dòng)中導(dǎo)致動(dòng)能向其周圍的高度集聚，起著肌腱的作用。

如果再多說(shuō)一點(diǎn)，可以加上：其光滑渦核中的渦量管滿足Helmholtz第一定理，在其自身演化和與其他流動(dòng)結(jié)構(gòu)相互作用的過(guò)程中，每個(gè)旋渦都經(jīng)歷從生成到消亡的過(guò)程。

這個(gè)定義排除了Helmholtz-Lamb基于渦量管的運(yùn)動(dòng)學(xué)定義所過(guò)多包含的東西，而添加了作為流體運(yùn)動(dòng)肌腱的動(dòng)力學(xué)機(jī)制，包括黏性的必要性。定義本身無(wú)需列入各種運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)理學(xué)的具體效應(yīng)以及它們發(fā)生的具體條件和流動(dòng)參數(shù)范圍。這些具體化的分析是需要在詞條的定義之后闡明的。我們期望，基于這些分析，能夠證明這個(gè)定義涵蓋了過(guò)去150年來(lái)所有人們稱之為旋渦的橫場(chǎng)結(jié)構(gòu)的共同特征，包括航空航天、流體機(jī)械、風(fēng)工程、大氣、海洋等自然界和工程技術(shù)領(lǐng)域遇到的旋渦和湍流中的渦。否則，定義還需修改。

在本文第一作者過(guò)去的論著中，曾或隱或顯地把旋渦分類成層狀渦，即剪切層和軸狀渦?，F(xiàn)在看來(lái)這個(gè)分類不妥，因?yàn)闆](méi)有卷繞的層狀渦不具有管狀結(jié)構(gòu)。除非硬把剪切層中的任何運(yùn)動(dòng)學(xué)意義下的渦量管都算進(jìn)去，否則它與Helmholtz三定理無(wú)關(guān)。上述定義廓清了剪切層和旋渦之間的因果關(guān)系，把前者視為旋渦形成前的結(jié)構(gòu)形態(tài)看來(lái)更為貼切。換言之，上述旋渦的動(dòng)力學(xué)定義只適用于軸狀渦。

值得強(qiáng)調(diào)的是，這個(gè)動(dòng)力學(xué)定義并不要求旋渦必須閉合成環(huán)。一個(gè)非環(huán)狀旋渦可以只有有限長(zhǎng)度，在其一端或兩端打開(kāi)成非卷繞或弱卷繞的剪切層。一個(gè)重要的典型例子是圖4的龍卷風(fēng)，其底部和頂部散開(kāi)，渦量線在底部折向，平行于地面進(jìn)入邊界層，渦量管呈喇叭狀擴(kuò)大；在頂部拐進(jìn)猛烈翻滾的復(fù)雜云層。正是這個(gè)底部和頂部的邊界條件決定了大氣剪切層為何能卷繞成龍卷風(fēng)，而這個(gè)過(guò)程迄今也沒(méi)徹底澄清，使得龍卷風(fēng)的預(yù)報(bào)仍是個(gè)難題。另一個(gè)例子是機(jī)翼前緣渦，它由前緣分離的剪切層卷繞而成, 有上游端；在下游遇到后緣附近的逆壓梯度會(huì)經(jīng)歷高度非線性的失穩(wěn)過(guò)程突然破裂、散開(kāi)，并轉(zhuǎn)捩成湍流，故也有下游端。這也是一個(gè)有限長(zhǎng)的旋渦。這種有限長(zhǎng)旋渦的兩端演化在傳統(tǒng)模型中是無(wú)法描繪的，上述定義應(yīng)當(dāng)有助于推動(dòng)人們更多地關(guān)注旋渦形成或終結(jié)的過(guò)程。軸狀渦的這種有限長(zhǎng)度，也使只能識(shí)別軸狀渦的所有判據(jù)不可能分辨渦的來(lái)龍去脈。

有件事需要解釋：因?yàn)樵试S渦量管打開(kāi)成非管狀的渦量面，在大多數(shù)實(shí)際情況下幾乎無(wú)法實(shí)際檢驗(yàn)構(gòu)成有限長(zhǎng)旋渦的所有運(yùn)動(dòng)學(xué)渦量管，包括它們?cè)谛郎u端部的延伸，是否滿足H1。對(duì)這個(gè)困惑有個(gè)簡(jiǎn)單的回答——不必檢驗(yàn)，只要真正抓住了渦量線、渦量面和渦量管，知道H1在理論上必然滿足就夠了。再去檢驗(yàn)H1就有可能不必要地陷入復(fù)雜的幾何拓?fù)鋯?wèn)題，而這些純幾何的復(fù)雜性并不影響本文關(guān)于渦定義的討論。

作為一個(gè)一般的概念定義，上述渦的動(dòng)力學(xué)定義應(yīng)能涵蓋所有的旋渦，既包括湍流中復(fù)雜的旋渦，又包括空氣動(dòng)力學(xué)、地球流體力學(xué)等領(lǐng)域觀察到的孤立旋渦，所以也需要受到這兩類領(lǐng)域典型事例的檢驗(yàn)。其實(shí)，這個(gè)動(dòng)力學(xué)定義本來(lái)就是對(duì)經(jīng)典旋渦理論與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的概括，可以認(rèn)為它已經(jīng)得到了這類事例的檢驗(yàn)(若有差誤，定義還應(yīng)修改)。目前需要進(jìn)一步做的，是用湍流中的復(fù)雜渦狀結(jié)構(gòu)來(lái)檢驗(yàn)它。在這種檢驗(yàn)過(guò)程中，人們已經(jīng)遇到經(jīng)典孤立旋渦案例所觀察不到的若干新現(xiàn)象需要解釋，例如渦對(duì)的重聯(lián)；也還將會(huì)繼續(xù)發(fā)現(xiàn)新的現(xiàn)象，如渦相互作用引起的級(jí)串(Yao & Hussain, 2020[24])。這些發(fā)現(xiàn)都將導(dǎo)致渦動(dòng)力學(xué)的豐富和繼續(xù)發(fā)展。

5 渦量面理論的意義

為檢驗(yàn)第4節(jié)的動(dòng)力學(xué)定義，對(duì)計(jì)算/實(shí)驗(yàn)流體力學(xué)(CFD/EFD)方法有個(gè)基本需求——能跟蹤大雷諾數(shù)下薄剪切層的拉格朗日演化與擴(kuò)散，及渦量管的拉伸、折轉(zhuǎn)與相互作用。更一般地說(shuō)，至少對(duì)低馬赫數(shù)流，需要CFD/EFD具有模擬復(fù)雜流場(chǎng)中渦量的產(chǎn)生及其運(yùn)動(dòng)學(xué)-動(dòng)力學(xué)演化和相互作用的能力。對(duì)經(jīng)典旋渦案例來(lái)說(shuō)，這個(gè)需求已可滿足，但尚無(wú)系統(tǒng)的驗(yàn)證。而對(duì)湍流中的復(fù)雜結(jié)構(gòu)，還需要CFD/EFD有進(jìn)一步的重大發(fā)展。

前面提到的面渦即切向間斷面這個(gè)簡(jiǎn)化概念，在有限的大雷諾數(shù)下變成剪切層或渦層，而一個(gè)渦層無(wú)非是一族無(wú)限多個(gè)渦量面，它們的動(dòng)力學(xué)(運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)理學(xué))演化完整地刻畫(huà)著渦層的演化，包括其可能的卷繞成旋渦的過(guò)程。在CFD中，一個(gè)渦量連續(xù)分布的剪切層總要離散化為一族強(qiáng)度足夠小的面渦，每個(gè)這樣的面渦就是一個(gè)渦量面，其中最需要關(guān)注的是代表穩(wěn)定性理論判定的最早失穩(wěn)的臨界層的那個(gè)渦量面。因此，對(duì)典型渦量面演化過(guò)程的DNS研究，開(kāi)辟了對(duì)各種相干結(jié)構(gòu)給出統(tǒng)一物理解釋的重要方向。這個(gè)研究方向始于Yang & Pullin (2010)[25]。

這個(gè)方向近10年來(lái)取得了可觀的進(jìn)展。Zhao等(2016, 2018)[26-27]初步算出了邊界層中精心選定的初始平直渦量面如何在適當(dāng)擾動(dòng)下失穩(wěn)而拱起來(lái)并逐步卷成準(zhǔn)周期發(fā)卡渦列的過(guò)程；槽道流中上下壁面形成的發(fā)卡渦如何相互作用而重聯(lián)；發(fā)卡渦的尾部如何形成“條帶”結(jié)構(gòu)；多個(gè)發(fā)卡渦的后期演化如何導(dǎo)致“猝發(fā)”和“湍斑”，等等。這就初步實(shí)現(xiàn)了原來(lái)的各種碎片化認(rèn)識(shí)在理性基礎(chǔ)上的統(tǒng)一。的確，由于對(duì)剪切層和旋渦相互關(guān)系有清晰的表述，上述旋渦的動(dòng)力學(xué)定義在追蹤渦量面演化的過(guò)程中得到了很好的印證。發(fā)卡渦就是開(kāi)放渦量面卷成的有限長(zhǎng)旋渦。它的頭和腿是卷緊的旋渦，腳是開(kāi)放渦量面。

我們說(shuō)“初步”，因?yàn)橹桓櫫藰O少數(shù)渦量面，其行為未必能代表該渦量面所屬的整個(gè)剪切層(剪切層的邊緣也是模糊的)；而且黏性擴(kuò)散使渦量面不能保持為同一物質(zhì)面，數(shù)值上準(zhǔn)確追蹤這樣的渦量面非常困難。盡管現(xiàn)在誤差可控制在5%以下，但它在復(fù)雜湍流中或許有時(shí)足以使追蹤偏離到另一個(gè)渦量面上去了。由于這些局限，目前渦量面理論的計(jì)算結(jié)果尚未非常清晰地解讀湍流中復(fù)雜渦結(jié)構(gòu)的相互作用圖景。但無(wú)論如何，渦量面理論開(kāi)辟了一個(gè)回歸到渦量動(dòng)力學(xué)的正確方向，其今后發(fā)展應(yīng)注重描述代表剪切層的一族渦量面。事實(shí)上，Zhao等(2018)[28]已作出一定嘗試，即利用體渲染的方法繪制一族渦量面來(lái)顯示轉(zhuǎn)捩中復(fù)雜的湍斑結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖8 用一族渦量面算出的發(fā)卡渦列的形成與演化[28]Fig.8 The formation and evolution of a series of hairpin vortices, computed by a set of vorticity surfaces[28]

6 結(jié) 語(yǔ)

旋渦是流體運(yùn)動(dòng)橫過(guò)程的典型結(jié)構(gòu)，其發(fā)生和演化過(guò)程及其對(duì)整個(gè)流動(dòng)的影響，應(yīng)當(dāng)根據(jù)而且只能根據(jù)渦動(dòng)力學(xué)(關(guān)于橫過(guò)程及其與縱過(guò)程相互作用的理論)來(lái)解釋。其定義也必能在渦動(dòng)力學(xué)框架內(nèi)改進(jìn)和完善。本文提出的動(dòng)力學(xué)渦定義方案是這個(gè)信念下的一個(gè)嘗試，和CFD中渦量面理論的概念與方向相契合，也應(yīng)對(duì)渦量面理論的未來(lái)發(fā)展有所啟示。

致謝:感謝高安康博士對(duì)本文初稿的有益討論。