帶攻角約束的高超聲速飛行器自適應(yīng)反步控制器設(shè)計(jì)

董朝陽(yáng)，劉 揚(yáng)，王 青

(1. 北京航空航天大學(xué)航空科學(xué)與工程學(xué)院，北京 100191；2. 北京航空航天大學(xué)自動(dòng)化科學(xué)與電氣工程學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

高超聲速飛行器因其巨大的軍事和民用應(yīng)用價(jià)值，受到廣泛關(guān)注[1]。而控制技術(shù)作為高超聲速飛行器的關(guān)鍵技術(shù)之一[2]，給研究人員帶來(lái)了許多挑戰(zhàn)。

當(dāng)前，高超聲速飛行器的控制設(shè)計(jì)已經(jīng)取得了一定的研究成果。通過(guò)使用反步法[3]，滑模控制[4-5]，反饋線性化[6]等先進(jìn)控制方法，高超聲速飛行器的非最小相位特性[3-4]，強(qiáng)非線性[6]，大不確定性[3-6]等問(wèn)題得到了有效的處理。需要指出的是，上述控制器設(shè)計(jì)都旨在保證飛行器的高度以及速度的指令跟蹤性能，而忽視了對(duì)攻角的限制。然而，配備超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)的高超聲速飛行器對(duì)攻角非常敏感[7]，只有攻角位于適合的區(qū)間內(nèi)時(shí)，超燃沖壓發(fā)動(dòng)機(jī)才能正常工作，否則會(huì)帶來(lái)進(jìn)氣道不啟動(dòng)以及熱力壅塞等問(wèn)題，嚴(yán)重降低飛行性能[8]。

針對(duì)攻角約束這一問(wèn)題，傳統(tǒng)的方法是事先設(shè)計(jì)好一條標(biāo)稱彈道，讓飛行器沿著彈道飛行。然后設(shè)計(jì)合適的控制器參數(shù)，使得整個(gè)飛行過(guò)程中滿足攻角約束要求。然而這樣的方法依賴離線設(shè)計(jì)，運(yùn)算量大。文獻(xiàn)[9]提出的障礙函數(shù)近來(lái)被用于解決狀態(tài)約束問(wèn)題。需要指出的是，障礙函數(shù)僅能保證虛擬指令的跟蹤誤差在預(yù)設(shè)范圍之內(nèi)，比如文獻(xiàn)[10]中使用障礙函數(shù)對(duì)高度和速度跟蹤誤差進(jìn)行限制。因此，為了限制系統(tǒng)狀態(tài)，還需保證虛擬指令的有界。文獻(xiàn)[11]使用基于障礙函數(shù)的方法解決了狀態(tài)約束問(wèn)題，但是依賴于虛擬指令有界的假設(shè)。文獻(xiàn)[12]使用數(shù)值方法對(duì)虛擬指令上界進(jìn)行估計(jì)解算，但是同時(shí)增大了計(jì)算負(fù)擔(dān)。文獻(xiàn)[13]通過(guò)在反步法構(gòu)造障礙Lyapunov函數(shù)，并使用指令濾波器對(duì)虛擬指令限幅，解決了攻角約束問(wèn)題。但是攻角約束是通過(guò)分別約束航跡傾角以及俯仰角實(shí)現(xiàn)的，設(shè)計(jì)流程較為復(fù)雜。此外，針對(duì)攻角約束的研究大多是考慮固定、對(duì)稱的攻角約束。但在實(shí)際情形中，發(fā)動(dòng)機(jī)的理想工作條件往往是非對(duì)稱的，且是根據(jù)不同飛行狀態(tài)、任務(wù)而變化的。

本文提出了一種基于非對(duì)稱時(shí)變障礙Lyapunov函數(shù)[14]的自適應(yīng)反步控制方法。不同于文獻(xiàn)[13]中的思路，本文直接對(duì)攻角進(jìn)行約束，設(shè)計(jì)流程得到簡(jiǎn)化。不同于文獻(xiàn)[12,15]對(duì)虛擬指令進(jìn)行假設(shè)或估計(jì)的方法，本文使用光滑的類飽和函數(shù)對(duì)名義攻角指令進(jìn)行限幅，避免了估計(jì)帶來(lái)的保守性與復(fù)雜性，并設(shè)計(jì)了輔助系統(tǒng)補(bǔ)償攻角指令限幅帶來(lái)的影響。此外，本文研究的攻角非對(duì)稱時(shí)變約束也更加符合實(shí)際情形。針對(duì)反步法中虛擬指令信號(hào)反復(fù)求導(dǎo)引起的“微分爆炸”問(wèn)題，本文使用了滑模微分器進(jìn)行估計(jì)。估計(jì)誤差與高超聲速飛行器模型中的不確定性與外擾一并視作集中干擾，通過(guò)自適應(yīng)律進(jìn)行估計(jì)與補(bǔ)償。

1 高超聲速飛行器模型

選取典型高超聲速飛行器縱向模型[6]

(1)

式中：V，h，γ，α，q分別表示速度、高度、航跡傾角、攻角、俯仰角速率；g為重力加速，Iyy為俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，m為飛行器質(zhì)量；T，L，M，D分別為推力、升力、俯仰力矩、阻力，其具體表達(dá)式為：

(2)

為了便于后續(xù)的控制器的設(shè)計(jì)與分析，引入下述引理。

引理1[9]. 對(duì)于任意正數(shù)kb，如果有e∈R且|e|

(3)

引理2[13]. 對(duì)于任意δ>0以及ε∈R，下列不等式成立：

(4)

2 控制器設(shè)計(jì)

2.1 控制目標(biāo)

本文研究帶攻角約束的高超聲速飛行器控制問(wèn)題?？刂颇繕?biāo)為：1)控制器能夠保證飛行器穩(wěn)定，且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)指令信號(hào)的良好跟蹤;2)在飛行過(guò)程中，攻角滿足預(yù)設(shè)的時(shí)變非對(duì)稱攻角約束條件。

通過(guò)系統(tǒng)分解思想[16]，高超聲速飛行器縱向模型可以分解為速度子系統(tǒng)與高度系統(tǒng)分別進(jìn)行設(shè)計(jì)。本文研究重點(diǎn)是攻角狀態(tài)限制問(wèn)題，而攻角狀態(tài)屬于高度子系統(tǒng)。另一方面，速度子系統(tǒng)階數(shù)較低，設(shè)計(jì)過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)單。因此對(duì)速度子系統(tǒng)采用動(dòng)態(tài)逆控制器以使得其保持穩(wěn)定，設(shè)計(jì)與仿真省略，而將研究重心放在高階、需要考慮攻角約束的高度子系統(tǒng)中。

2.2 模型簡(jiǎn)化

定義x1=γ,x2=α,x3=q，依據(jù)參考文獻(xiàn)[17]，首先將航跡傾角跟蹤指令取為：

(5)

式中：kh，khi為待設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)；eh=h-hc為飛行器對(duì)高度指令信號(hào)hc的跟蹤誤差。

為了應(yīng)用反步法，需要將原模型化為嚴(yán)反饋形式。為此，引入以下假設(shè)：

假設(shè)1[16]. 通常情況下Tsinα遠(yuǎn)小于L，因此Tsinα項(xiàng)可以忽略。

注1.對(duì)于本文采用的模型數(shù)據(jù)[6]，以及其適用的狀態(tài)量范圍(見(jiàn)文獻(xiàn)[6]中的表1)，可以計(jì)算驗(yàn)證該假設(shè)是成立的。

當(dāng)滿足假設(shè)1時(shí)，高度子系統(tǒng)內(nèi)環(huán)模型可以表示為：

(6)

假設(shè)2.式(6)中的干擾di，i=1,2,3有界，且|di|

2.3 高度控制器設(shè)計(jì)

采用反步法對(duì)高度子系統(tǒng)每一通道進(jìn)行設(shè)計(jì)。具體過(guò)程為：

1) 定義航跡傾角跟蹤誤差，則其導(dǎo)數(shù)為：

(7)

為了實(shí)現(xiàn)攻角約束，采用光滑的類飽和函數(shù)對(duì)名義攻角指令x2r進(jìn)行限幅，函數(shù)表達(dá)式為：

x2f=

(8)

式中：x2f是限幅后的輸出，滿足-Al

注2.相對(duì)于傳統(tǒng)飽和函數(shù)sat(·)，式(8)可以保證x2f是光滑的，從而避免了求導(dǎo)運(yùn)算中奇異現(xiàn)象的產(chǎn)生。

定義限幅攻角跟蹤誤差e2=x2-x2f和限幅造成的攻角指令誤差為：Δx2r=x2f-x2r。那么式(7)可以表示為：

(9)

為了補(bǔ)償虛擬指令飽和對(duì)系統(tǒng)的影響，設(shè)計(jì)如下的輔助補(bǔ)償系統(tǒng)：

(10)

進(jìn)一步定義補(bǔ)償誤差信號(hào)z1=e1-ξ1，則其導(dǎo)數(shù)為：

(11)

設(shè)計(jì)虛擬攻角指令x2r為：

(12)

(13)

式中：l1>0和b1>0為待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律增益。

定義如下Lyapunov函數(shù)：

(14)

對(duì)W1求導(dǎo)，并利用引理2化簡(jiǎn)可得：

(15)

2) 對(duì)限幅攻角的跟蹤誤差e2=x2-x2f求導(dǎo)：

(16)

(17)

(18)

定義角速率指令跟蹤誤差e3=x3-x3r,設(shè)計(jì)虛擬俯仰角速率指令x3r為：

(19)

(20)

式中：β2>0為待設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)，ka>0與kb>0為預(yù)先設(shè)定的e2的時(shí)變邊界：

-ka(t)

(21)

ka與kb可以根據(jù)任務(wù)需求設(shè)定。

(22)

式中：l2>0和b2>0為待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律增益。

將式(19)代入式(16)，化簡(jiǎn)可得：

(23)

定義如下的時(shí)變非對(duì)稱對(duì)數(shù)障礙函數(shù)：

(24)

(25)

由ω(e2)的定義可知：

(26)

(27)

結(jié)合式(22)、(23)、(26)、(27)以及引理1和引理2，式(25)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

(28)

3) 對(duì)角速率指令跟蹤誤差e3=x3-x3r求導(dǎo)可得：

(29)

(30)

式中：ζ31∈R與ζ32∈R為微分器的狀態(tài)量；r31>0與r32>0為待設(shè)計(jì)的參數(shù)；類似地，有

(31)

設(shè)計(jì)控制律u為：

(32)

(33)

式中：l3>0和b3>0為待設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律增益。

將式(32)、(33)代入式(29)，化簡(jiǎn)可得：

(34)

進(jìn)而定義Lyapunov函數(shù)：

(35)

(1-ω)τa]+g2e3[ωτb+(1-ω)τa]+

(36)

2.4 穩(wěn)定性分析

假設(shè)3.e2初值滿足初始時(shí)變約束，即-ka(0)<α(0)

定理1.對(duì)于高度子系統(tǒng)(6)，在滿足假設(shè)1～3的前提下，采用式(12)、(19)、(32)所示的控制律以及式(13)、(22)、(33)所示的自適應(yīng)律，則閉環(huán)系統(tǒng)滿足下述性質(zhì)：

1)式(37)包含的所有誤差信號(hào)一致最終有界。

2)攻角x2始終位于指定的非對(duì)稱時(shí)變邊界內(nèi)，即：-Al-ka(t)

證. 選取整個(gè)閉環(huán)子系統(tǒng)的Lyapunov函數(shù)為：

WH=W1+W2+W3

(37)

對(duì)式(37)求導(dǎo)，代入式(15)、(28)、(36)，化簡(jiǎn)復(fù)雜的可消除項(xiàng)，可得：

(38)

由于

(39)

式(38)可進(jìn)一步化簡(jiǎn)為：

(40)

式中：

κH=min{2k1,l1,2k2,l2,2k3,l3}

對(duì)式(40)兩邊同時(shí)積分，可得：

(41)

由于-ka(0)<α(0)

(42)

-ka(t)

(43)

又由于已知e2=x2-xf，且-Al

-Al-ka(t)

(44)

證畢。

3 仿真校驗(yàn)

本節(jié)通過(guò)對(duì)比仿真校驗(yàn)所提出的控制器的有效性與優(yōu)越性。所采用的模型幾何與氣動(dòng)參數(shù)具體參見(jiàn)文獻(xiàn)[6]。飛行器的初始高度為22860 m；初始速度為1828.8 m/s；仿真中的高度指令信號(hào)的產(chǎn)生方式為將階躍指令

(45)

通過(guò)下述濾波器G(s)

(46)

狀態(tài)反饋參數(shù)選取為：kh=1，khi=0.01，k1=1，k2=1，k3=20；自適應(yīng)參數(shù)選取為：b1=20，σ1=0.01π/180，l1=1，b2=0.01，σ2=0.1π/180，l2=5，b3=100，σ3=π/180，l3=1；攻角邊界相關(guān)參數(shù)為：Au=3π/180，Al=2π/180，kb=e-0.07t，ka=0.5e-0.07t，p=0.95，β2=0.01；微分器參數(shù)選取為：r21=3，r22=3，r21=2，r21=10。

針對(duì)本文所提出的控制方案(以下記為T(mén)ABLF)，本文還采用了自適應(yīng)反步法(以下記為ABS)，以及文獻(xiàn)[13]中使用的非對(duì)稱非時(shí)變的障礙函數(shù)方法(以下記為SBLF)進(jìn)行對(duì)比，用以說(shuō)明本文方法的優(yōu)勢(shì)。具體仿真結(jié)果見(jiàn)圖1～圖7。

圖1～圖2展示了指令跟蹤性能。由圖1可知，各控制器都能夠較好地跟蹤高度指令。從圖2可以看出，針對(duì)仿真中復(fù)雜、快時(shí)變的外部擾動(dòng)，本文控制律的高度精度更高。這說(shuō)明本文的自適應(yīng)律對(duì)大幅值、快時(shí)變的干擾具有良好的估計(jì)與補(bǔ)償作用。

圖1 高度跟蹤曲線

圖2 高度跟蹤誤差曲線

圖3 攻角響應(yīng)曲線

圖4 輔助狀態(tài)響應(yīng)曲線

圖5 升降舵偏角

圖6 干擾上界的估計(jì)值

由圖3可知，本文提出的控制器可以保證攻角始終嚴(yán)格處于預(yù)設(shè)的時(shí)變非對(duì)稱區(qū)間之內(nèi)。這得益于對(duì)時(shí)變非對(duì)稱的障礙函數(shù)與類飽和函數(shù)的綜合使用。而SBLF方法無(wú)法應(yīng)對(duì)非對(duì)稱的約束，如圖3左下角與右下角子圖所示，采用SBLF方法的控制器越過(guò)了預(yù)設(shè)的攻角邊界。該方法也無(wú)法應(yīng)對(duì)時(shí)變約束，如圖3左上角子圖所示，隨著攻角上界的縮小，SBLF的攻角曲線跨過(guò)了攻角上界。

由圖4可知，當(dāng)名義攻角指令飽和時(shí)，輔助系統(tǒng)開(kāi)始工作，用以補(bǔ)償飽和帶來(lái)的不利影響。當(dāng)攻角指令退出飽和后，輔助狀態(tài)迅速回到0點(diǎn)。從圖5可以看出，當(dāng)攻角在50 s以及120 s附近逼近邊界值時(shí)，本文控制器迅速產(chǎn)生大的反向舵偏，以避免攻角超出邊界。

圖6為干擾上界的估計(jì)曲線，可以看到干擾估計(jì)值快速變化以準(zhǔn)確估計(jì)幅值不斷變化的集中擾動(dòng)。

綜上所述，仿真結(jié)果校驗(yàn)了本文提出方法的有效性。具體而言，首先在大幅值、快時(shí)變干擾下仍然能夠準(zhǔn)確跟蹤指令信號(hào)。其次，飛行過(guò)程中，攻角的非對(duì)稱時(shí)變約束始終能夠得到滿足。

4 結(jié) 論

對(duì)于帶攻角約束的高超聲速飛行器，本文提出了一種新型的非線性自適應(yīng)控制器。通過(guò)分別使用類飽和函數(shù)約束攻角指令，障礙函數(shù)約束攻角指令跟蹤誤差，實(shí)現(xiàn)了對(duì)飛行器攻角的時(shí)變非對(duì)稱約束。并構(gòu)造了輔助系統(tǒng)用以補(bǔ)償攻角指令飽和帶來(lái)的影響。飛行器受到的參數(shù)不確定性、擾動(dòng)以及指令信號(hào)導(dǎo)數(shù)的估計(jì)誤差被統(tǒng)一視作集中干擾，通過(guò)自適應(yīng)律進(jìn)行在線估計(jì)補(bǔ)償。仿真結(jié)果表明，本文提出的控制器可以保證良好的跟蹤性能，并且攻角始終滿足約束條件。