一種用于空間翻滾目標接近控制的相對運動建模方法

王偉林，宋旭民，王 磊

(航天工程大學，北京 101400)

0 引 言

在航天活動日益頻繁的今天，失效衛(wèi)星等空間碎片的數(shù)量迅速增加，發(fā)展空間碎片主動清除技術(shù)對于維護太空環(huán)境穩(wěn)定、推進我國的在軌服務(wù)能力和維護太空安全具有重要意義[1]。空間碎片沒有合作標識、存在不確定性機動的復雜運動狀態(tài)，對制導控制方法的快速性、實用性、魯棒性、安全性提出了更高要求。

進行航天器與目標的相對運動建模，是研究目標運動規(guī)律和特性識別，開展自主導航、制導與控制的重要前提和基礎(chǔ)。一個好的相對運動模型，會得到一個好的軌跡規(guī)劃，從而使航天器的控制簡化，操控精度得到保障。目前國內(nèi)外學者的研究多沿襲已有的交會對接、編隊飛行的相對運動建模方法，或者從便于數(shù)值計算的角度進行建立，對相對運動狀態(tài)的表征能力不足[2]。

1 現(xiàn)有研究綜述

1.1 基于對偶四元數(shù)的姿軌一體化控制

目前研究較多的一種思路是采用對偶四元數(shù)的姿軌一體化方法[3-4]，用對偶四元數(shù)來描述慣性系下兩者體坐標系的轉(zhuǎn)換關(guān)系，即旋轉(zhuǎn)和平移的一般剛體變換。Charles定理指出：任何一般性剛體運動都可以通過繞某個軸的旋轉(zhuǎn)和沿該軸的平移實現(xiàn)，平動和轉(zhuǎn)動的組合像螺旋式的運動，通常用“螺旋變換”或“螺旋運動”描述。對偶四元數(shù)是對偶數(shù)與四元數(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物，類似于單位四元數(shù)可以描述姿態(tài)的運動，對偶四元數(shù)可以描述剛體的平動和轉(zhuǎn)動，旋量可以看做標量部分為零的對偶四元數(shù)(對偶向量)。

但翻滾目標航天器的質(zhì)心、質(zhì)量、慣量等信息都是未知，所以確定目標航天器體坐標系存在不確定性。其次，對偶四元數(shù)利用向量代數(shù)進行運算，形式較為復雜、物理意義不明確，不能采用傳統(tǒng)基于矢量的運算法則，導致目前一些成熟的控制算法不能應用，不利于控制器的設(shè)計和控制精度分析，需要建立一種更為簡潔、快速、工程易于實現(xiàn)的控制策略。

1.2 姿態(tài)、軌道的同步控制方法

目前應用和研究最廣泛的是基于目標軌道坐標系的相對運動控制方法。CW方程是解決航天器近距離相對運動的線性化方程，其前提條件是目標運行在圓軌道上，兩個航天器的相對距離遠小于目標器的地心距，基礎(chǔ)坐標系原點建立在目標航天器上。TH方程進一步推導得到與偏心率和真近點角相關(guān)的解析解，適用于橢圓軌道。CW(TH)方程也是目前航天器交會對接領(lǐng)域應用最廣的相對運動模型。

針對非合作目標接近問題，很多學者在此基礎(chǔ)上開展了姿軌一體化控制。采用CW(TH)方程作為相對軌道運動模型，并采用歐拉角、四元數(shù)或者羅德里格斯參數(shù)來描述相對姿態(tài)信息，通過建立一體化的運動模型，將姿軌同步問題轉(zhuǎn)換為消除跟蹤誤差的問題，很多學者基于此模型開展了控制器設(shè)計的研究。文獻[5-6]基于θ-D方法研究了姿軌同步最優(yōu)控制的問題。文獻[7]基于TH方程研究了基于凸優(yōu)化算法的制導方案。Sun[8]研究了魯棒自適應控制器在超近距離相對運動控制中的應用。袁利等[9]基于CW方程和四元數(shù)研究了六自由度位姿終端滑模自適應控制器。相對運動模型建立在目標航天器坐標系下，需要將控制輸入向捕獲航天器本體坐標系進行轉(zhuǎn)換，由于在一個控制周期內(nèi)，捕獲航天器本體姿態(tài)角的變化和相對姿態(tài)測量誤差的存在，會使得姿態(tài)影響了相對位置的控制，即存在相對姿態(tài)和相對位置的耦合；其次建立在非合作目標上的基準坐標系精度有限，影響控制精度，因此該方法只適用于己方失效目標的捕獲。CW制導的軌跡往往會回兜，容易使得軌跡進入禁飛區(qū)，存在碰撞風險，另外CW制導的最后脈沖可能比較大、制動時間長，也存在安全隱患[10]。

針對上述安全隱患，在合作目標交會工程實際任務(wù)中，近距離導引前段通過差分GPS等測量信息進行相對導航，建立CW方程來描述航天器與目標的相對運動狀態(tài)；近距離導引末段通常采用基于視線的平行導引方式，指兩個飛行器在交會過程中，視線的轉(zhuǎn)動角速度在參考坐標系內(nèi)為零，也即兩者之間的視線在交會過程中保持平行，保證航天器沿視線方向接近目標，越接近目標脈沖越小，較好克服了CW制導帶來的問題。

但是在與空間碎片這類非合作目標交會任務(wù)中，需要建立坐標原點在捕獲航天器上的相對運動方程，傳統(tǒng)CW方程并不適用。其次，平行導引法雖然具有良好的軌道特性，但需要知道較多的目標運動信息且對測量信息的準確性較為敏感，魯棒性較差，并不適用于空間碎片這類非合作目標。通過上述綜述分析，由于對偶四元數(shù)工程應用性的不足以及傳統(tǒng)CW制導不適用于非合作目標交會，目前認為最有應用前景的就是基于視線制導的相對運動模型。

2 視線制導相對運動模型

激光雷達、激光測距儀、成像式交會敏感器是近距離的主要測量手段，特點是精度高、信息量豐富，既有角度信息也有距離信息，甚至相對姿態(tài)信息?；谏鲜鱿鄬γ舾衅魈峁┑臏y量信息進行近距離制導，視線制導是目前最廣泛的近距離制導方式，具有需求信息少、易于實現(xiàn)、魯棒性強等優(yōu)點。以視線制導中的比例導引律為例進行說明，比例導引律與平行交會法類似，都是基于速度導引的兩點導引方式，控制指令如下：

(1)

考慮到近距離導引段的測量信息中包含相對距離信息，在真比例導引律基礎(chǔ)上，引入視線方向控制，從而將傳統(tǒng)攔截領(lǐng)域的比例導引律擴展應用到自主交會的制導。

2.1 傳統(tǒng)視線制導方法

傳統(tǒng)的視線制導相對運動方程建立在視線坐標系和發(fā)射慣性坐標系下，如圖1所示：

圖1 坐標系轉(zhuǎn)換關(guān)系

視線坐標系下的相對運動方程為：

(2)

式中：ω為視線坐標系相對慣性系的角速度在視線坐標系下的表達式，ω=[ωx,ωy,ωz]T。

在交會對接任務(wù)中，需要考慮目標軌道坐標系中的相對運動，涉及的主要參數(shù)是r,α,β。r為追蹤器與目標的相對距離，α為視線與其在目標器軌道平面上的投影之間的夾角，也稱之為高低角，β是該投影與目標速度方向的夾角，稱為方位角。

(3)

式中：ωoT為目標的軌道角速度，一般考慮為小量，可以忽略。從上文公式中看出，常規(guī)的視線坐標系下的相對運動存在耦合作用(ωxωy項)。

傳統(tǒng)的視線坐標系僅考慮了高低角和方位角，沒有考慮視線繞自身的旋轉(zhuǎn)，建立的三維相對運動方程存在耦合因素，不能直觀體現(xiàn)與非合作目標的相對運動特性。

2.2 微分幾何學在相對運動控制中的應用

微分幾何學是用于研究空間曲線運動規(guī)律的有效方法，利用曲率和撓率來描述空間曲線的旋轉(zhuǎn)，在制導領(lǐng)域最初應用是用來推導空間純比例導引律(PPN)。在古典微分幾何理論中，空間中任意一點的運動都可以用三個固連的正交矢量{n,b,t}(切向、法向、副法向)來描述，即Frenet-Serret活動標架，F(xiàn)renet標架在弧長域內(nèi)的運動學方程稱為Frenet-Serret公式，即

(4)

式中：上標“′”表示對弧長s求導，κ為曲線的曲率，表示質(zhì)點沿空間曲線運動時，其切向發(fā)生轉(zhuǎn)動的程度；τ為曲線的撓率，表示質(zhì)點的密切面(由t和n組成)發(fā)生轉(zhuǎn)動的程度。

Chiou等[11]首先在弧長域內(nèi)構(gòu)造了理想情況下的彈目相對運動方程：

(5)

式中：上標“′”表示對弧長s求導，“″”代表了對弧長s的二階導數(shù)。并在此基礎(chǔ)上提出了弧長域內(nèi)的微分幾何制導指令：

(6)

(7)

因此對比式(5)和式(7)，交會制導方程中多了下面一項：

(8)

從而得到交會制導的曲率和撓率指令(式(9)和(10))。

但文獻[12]未考慮撓率，僅研究了二維平面內(nèi)的交會問題。

(9)

(10)

3 三維相對運動建模及制導律研究

2.2節(jié)的公式仍是建立在慣性系下，t代表絕對運動速度方向，中間用到了視線坐標系中的er,eω，er×eω，有必要基于微分幾何理論建立描述相對位置和速度的動力學模型，更加直觀的反應相對運動關(guān)系。

Li等[13]進一步研究了時域化方法，基于Frenet-Serret活動標架理論提出了視線旋轉(zhuǎn)坐標系和視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面的概念，將三維空間的曲線相對運動降低到兩維空間視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的相對運動。

(11)

其中，er為相對視線方向單位矢量，eω為視線角速度的方向，定義eθ=eω×er，eθ垂直于視線。從而構(gòu)建基于er,eθ和eω的視線旋轉(zhuǎn)坐標系。er和eθ組成視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面(Instantaneous rotation plane of LOS, IRPL)，eω為該平面的法向。ωs為視線轉(zhuǎn)率，ωs=ωseω。Ωs是eω也即IRPL的旋轉(zhuǎn)角速度，Ωs=Ωser。

視線旋轉(zhuǎn)坐標系的原點設(shè)在追蹤器的質(zhì)心，相對速度可以表示為：

(12)

其中，下標t和c分別代表目標和追蹤器，相對加速度可以通過對式(12)求導得到：

(13)

將式(11)代入式(13)，相對加速度表達式轉(zhuǎn)換為：

rωsΩseω+Δg

(14)

式(14)可以改寫為如下的三個標量子方程：

(15)

其中，at和ac分別代表目標和追蹤器的加速度，“r，θ和ω”分別代表控制加速度沿er，eθ和eω三個方向的分量。在后續(xù)的推導中式(15)的重力加速度項Δg被省略。

下文將基于視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的三維相對運動方程，引入沿視線方向控制，提出視線方向速度可控的增廣比例導引律(Augmented proportional navigation, APN)。

3.1 增廣比例導引律

3.1.1基于反饋線性化的APN

為實現(xiàn)對目標的自主接近，追蹤器的推力(控制加速度)由兩部分組成，一部分是沿視線方向，用于控制追蹤器接近目標的速度；一個是垂直視線方向，用于控制視線轉(zhuǎn)率。

論文在垂直視線方向的控制采用經(jīng)典的真比例導引律(True proportional navigation, TPN)，這也是本文提出的增廣比例導引律的來源。需要指出的是作者在文獻[14]中首次提出了增廣比例導引律的概念，研究了兩個追蹤航天器利用僅測角信息協(xié)同接近機動目標的場景，適合于中遠距離接近。本文中的增廣比例導引律的輸入信息是兩個測角和相對距離信息，適用于近距離接近場景。

式(15)建立描述三維相對運動的一般模型，從而給出了控制器設(shè)計的統(tǒng)一框架。依據(jù)式(15)和上述增廣比例導引律的設(shè)計思路，研究可以得到視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的三維相對運動模型：

(16)

式中：N是導航系數(shù)，通常取值為3～5。

(17)

其中，acon是acr的常數(shù)項。因為目標不機動，所以Ωs等于零，相反如果目標機動，Ωs會逐漸減小到零，因此建立的三維相對運動方程同樣可以應用于機動目標的自主接近制導律設(shè)計。

(18)

(19)

可以根據(jù)式(18)和式(19)，代入初始相對狀態(tài)，得到追蹤器對目標接近時間，及接近速度的解析表達式。

(20)

(21)

將式(19)和式(21)代入式(17)的第2式:

(22)

(23)

利用

(24)

對式(23)積分，得到ωs的解析解。

(25)

3.1.2指數(shù)減速型APN

(26)

追蹤器和非合作目標的相對運動規(guī)律可以通過求解這個二階微分方程得到。因此可以通過改變式(26)右函數(shù)a來得到不同接近軌跡，從而滿足不同任務(wù)需求。指數(shù)形式的相對運動函數(shù)關(guān)系如下式：

r=r0·eλt

(27)

求導得到：

(28)

(29)

3.1.3基于滑模控制的APN

本小節(jié)研究了一種非線性控制方法，基于指數(shù)趨近律的滑模控制方法，用于APN沿LOS方向的控制。狀態(tài)方程如下：

(30)

(31)

(32)

定義基于指數(shù)趨近律的控制指令：

(33)

式中：ε和k是參數(shù)(ε,k>0)，sgn(·)是符號函數(shù)，控制系統(tǒng)穩(wěn)定性可以通過Lyapunov函數(shù)求導得以證明。

(34)

3.2 仿真分析

本小節(jié)給出增廣比例導引律的仿真結(jié)果。目標的初始狀態(tài)為：半長軸7043.14 km，軌道傾角98°，升交點赤經(jīng)14°，近地點幅角60°，初始真近點角30°。追蹤器相對于目標的初始位置：[4386.28，308.60， 3204.43] m，相對速度[-57.7，2.1，-38.5] m/s。近距離導引段屬于相對導航階段，飛行過程從幾公里到百米量級，因此文章認為當兩者相對距離達到50 m時仿真結(jié)束。下文給出常減速接近、指數(shù)接近、非線性滑?？刂?SMC)三種制導方法的對比分析，并給出研究結(jié)論。圖2和圖3給出了相對距離和相對速度變量的時間變化曲線。

圖2 相對距離曲線對比圖

圖3 相對速度曲線對比圖

圖3中橫軸代表時間，縱軸代表相對速度，則曲線下的面積代表追蹤器和目標的初始相對距離，因此三種情況下都是相等的，常減速模型用時最短，而基于滑模控制的APN用時最長。因為速度曲線的切線是瞬時加速度，滑?？刂颇Ｐ偷淖畲蠹铀俣戎凳侨N模型中最大的，因此對推力系統(tǒng)的要求更高，而且其燃耗也是最多的，ΔV=97.9 m/s。在表1中，給出了三種方法的性能比較。

表1 三種方法的比較

采用零控脫靶量(Zero-effort-miss,ZEM)來對制導律的精度進行分析，其值可采用如下公式計算：

(35)

從表1各項數(shù)據(jù)對比可以看出，常減速APN在時間、燃耗、最大加速度和零控脫靶量幾項指標上都具有優(yōu)勢。綜上，基于視線旋轉(zhuǎn)坐標系下的三維相對運動方程，通過引入視線方向的控制，建立了可用于非合作目標自主交會的增廣比例導引律框架，有效拓展了微分幾何理論的應用。微分幾何的制導指令加速度施加方向nm在瞬時旋轉(zhuǎn)平面之外，滿足下述關(guān)系：

(36)

將式(36)代入式(15)得到，得到式(37)，與式(17)對比可以看出，兩者本質(zhì)上可以通過坐標系的轉(zhuǎn)換得到對應的制導指令，兩者的區(qū)別在于改進的微分幾何制導律表達式簡潔實用，物理意義明確，可以推導得到解析解，便于進一步開展控制精度分析。

(37)

3.3 姿控模型簡化

追蹤器在接近目標過程中，需要保證觀測敏感器視線始終指向目標，基于微分幾何理論引入視線瞬時旋轉(zhuǎn)平面后，只需考慮航天器本體坐標系和視線瞬時旋轉(zhuǎn)坐標系的相對幾何關(guān)系，避免了復雜的坐標變換，簡化了姿態(tài)控制模型。

假定觀測敏感器安裝在航天器本體系X軸方向，考慮到敏感器視場等因素，因此要求X軸與視線方向重合，指向目標。在接近非合作目標過程中，會存在快速、大角度的姿態(tài)機動，本文選擇誤差四元數(shù)方法描述航天器相對姿態(tài)運動，避免奇異性。選擇PID控制器，滿足收斂時間快、魯棒性好、對抗大角度姿態(tài)機動有效性好、輸出穩(wěn)定等要求。下文給出了考慮姿態(tài)的六自由度控制結(jié)果，相對軌道運動模型采用基于滑?？刂频腁PN制導律，并假定姿控發(fā)動機為常值推力發(fā)動機(1N)，追蹤器三軸主慣量為[2, 5, 7] kg·m2，力臂大小為[0.3, 0.6, 0.6]m，初始姿態(tài)角和姿態(tài)角速率都等于零。

圖4 X軸方向控制力矩

圖5 Y軸方向控制力矩

圖6 Z軸方向控制力矩

圖7 誤差四元數(shù)曲線

根據(jù)仿真結(jié)果可以看出，追蹤器在推力器作用下，能夠快速到達期望的姿態(tài)，其中在制導初始階段，因為視線(LOS)方向與體坐標系X軸指向間差別較大，姿控發(fā)動機開機較頻繁。在接近目標后期，導引頭能夠穩(wěn)定指向目標，較好的實現(xiàn)對目標指向跟蹤。

3.4 進一步思考

針對上文特定問題，滑模變結(jié)構(gòu)控制雖然在燃耗方面并不占優(yōu)，但對系統(tǒng)外部干擾具有強魯棒性，考慮到非合作目標自主交會中測量、目標運動狀態(tài)等的不確定性，引入滑模控制對提升APN的制導效能有重要意義。第3.1節(jié)提出的APN對接近時間并沒有要求，而是由初始相對狀態(tài)決定的。在前文推導相對運動方程過程中，可以通過軸向的控制實現(xiàn)對接近時間的控制。實現(xiàn)對非合作目標有限時間接近，這對于空間碎片主動清除、空間救援等時間緊急任務(wù)具有重要意義。因此本小節(jié)將引入有限時間收斂的滑模控制律，從而建立有限時間接近制導律(Finite time convergence augmented proportional navigation, FTCAPN)。

3.4.1控制器設(shè)計

(38)

式中：ε>D>d(t)，β>0，1>η>0，β增加或者η降低都可以增加收斂速率，加速對目標的接近過程。

3.4.2仿真分析

仿真初始參數(shù)同第3.2小節(jié)，滑模控制器參數(shù)取c=0.1，ε=5，β=2，η=0.1，仿真結(jié)果如圖8～10所示。

圖8 視線轉(zhuǎn)率曲線

圖9 相對速度曲線

圖10 相對距離曲線

圖8給出了視線轉(zhuǎn)率的變化曲線，60 s后保持穩(wěn)定，整個過程的收斂時間約83 s。從圖9和圖10中看出，追蹤器與目標的初始相對速度較大，后迅速減小，實現(xiàn)對目標的快速接近，整個過程的燃耗為98.5 m/s。

從仿真結(jié)果中可以看出，基于現(xiàn)有的控制參數(shù)設(shè)置，F(xiàn)TCAPN可有效完成快速接近目標的制導任務(wù)。

4 結(jié) 論

針對與空間非合作目標相對運動問題，本文首先對當前已有的幾種相對運動建模方法進行了綜述分析。對偶四元數(shù)不能采用傳統(tǒng)基于矢量的運算法則，形式較為復雜、物理意義不明確，缺乏工程適用性；CW方程建立在目標航天器上的基準坐標系，適用于合作目標交會，對于非合作目標的接近制導問題，存在軌跡回兜、末端脈沖較大、模型精度受限等問題。

基于微分幾何理論的增廣比例導引律可克服上述制導方法的不足，物理意義明晰、魯棒性強、制導精度高、工程實現(xiàn)容易，通過公式推導分析了增廣比例導引律與傳統(tǒng)視線制導、微分幾何制導的不同，并給出六自由度仿真算例，驗證了其可行性。