“數(shù)學(xué)理解”背景下的數(shù)學(xué)概念立體式教學(xué)

馬慧娟

摘? 要：初中數(shù)學(xué)概念立體式教學(xué)是在傳統(tǒng)教學(xué)體系只注重對(duì)概念對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)操作這一平面模型之上增加了分層次教學(xué)，有助實(shí)現(xiàn)有的放矢的概念學(xué)習(xí)，從而使數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)從概念教學(xué)這一源頭上打下扎實(shí)基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)理解;概念;立體式;反思;圖式

中圖分類號(hào)：G633.6? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? 文章編號(hào)：1992-7711（2020）36-100-02

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念猶如數(shù)學(xué)知識(shí)大廈的磚塊一樣不可或缺。然而由于教師沒有引起足夠重視，加上受傳統(tǒng)教學(xué)觀念的影響，概念教學(xué)始終缺乏充分的研究與可借鑒的模式，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的全面理解往往難上加難。其實(shí)，數(shù)學(xué)教育家斯根普早在1976年就提出了數(shù)學(xué)理解的兩種類型——工具性理解與關(guān)系性理解。工具性理解是一種以“知其然”為目的的理解，即把數(shù)學(xué)理解當(dāng)作掌握知識(shí)、促進(jìn)思考的工具。關(guān)系性理解是一種“知其然，且知其所以然”的理解，它需要具有對(duì)知識(shí)意義及結(jié)構(gòu)上的認(rèn)識(shí)，具備完整的探究過程。傳統(tǒng)概念教學(xué)從二維的角度觀察：其中概念、符號(hào)、命題等顯性內(nèi)容與技能、方法、思想等隱形內(nèi)容構(gòu)成了數(shù)學(xué)理解的對(duì)象，而對(duì)上述對(duì)象進(jìn)行的數(shù)學(xué)操作包括數(shù)學(xué)運(yùn)算、幾何直觀、抽象思維、邏輯推理、對(duì)比分析、隨機(jī)調(diào)查等等。北師大綦春霞教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)理解更應(yīng)體現(xiàn)從表象理解、解釋理解到建立聯(lián)系、進(jìn)行思想運(yùn)用的過程。基于此，我們把概念領(lǐng)域的數(shù)學(xué)理解對(duì)象具體分成語詞、定義、內(nèi)涵、外延四部分，然后保持原操作方式不變，結(jié)合五個(gè)理解層次對(duì)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的結(jié)構(gòu)模型作了描繪（圖1）。以下結(jié)合實(shí)踐具體探討：

一、操作形成表象理解

在一元二次方程概念教學(xué)中，教師首先出示一道題：學(xué)校開教代會(huì)要制作一個(gè)投票箱，現(xiàn)有長55cm、寬30cm的厚紙板一塊，需要在它的周邊切去四個(gè)小正方形，留下的五塊正好搭成一個(gè)無蓋方盒，然后再外加蓋子才能糊成紙箱，如果要使無蓋方盒的底面積是900cm2，那么紙板各角應(yīng)切去邊長為多少的正方形？

“操作”二字在這里的含義并非一般意義上的手工活動(dòng)，而是指針對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的閱讀、實(shí)驗(yàn)、畫圖、列式、運(yùn)算等準(zhǔn)備性活動(dòng)。由于問題都來自校園生活，能增強(qiáng)操作的興趣。由于數(shù)量關(guān)系比較簡(jiǎn)單直觀，學(xué)生能很快列出方程：（55-2x）（30-2x）=900，化簡(jiǎn)后得到：2x2-85x-450=0，教師提問：我們所列的方程與大家以往所學(xué)的方程有什么不同呢？應(yīng)該叫做什么方程呢？這樣可以促進(jìn)回顧并形成初步的表象理解。

二、歸納形成語言理解

在上述表象理解的基礎(chǔ)上可以板書“一元二次方程”，那么能否馬上得出一元二次方程的定義呢？當(dāng)然不能，因?yàn)榇藭r(shí)學(xué)生的認(rèn)識(shí)只是停留在表象階段，不能真正界定一元二次方程的內(nèi)涵與外延。

定義是對(duì)概念的語言界定，必須具有嚴(yán)格的邏輯規(guī)范。對(duì)照現(xiàn)行教材的定義“象……這樣方程兩邊都是整式，只有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程叫做一元二次方程?！笨梢园l(fā)現(xiàn)，剛才的探究并未強(qiáng)調(diào)“整式”這一特殊條件，盡管學(xué)生在八下年級(jí)學(xué)習(xí)該塊內(nèi)容時(shí)早已接觸整式與分式，但對(duì)于為什么要有這一條件界定且并未清楚。所以教師可以繼續(xù)提問：除了“①只有一個(gè)未知數(shù)、②未知數(shù)最高次數(shù)為2”這兩個(gè)關(guān)鍵特征外，大家還有什么發(fā)現(xiàn)？學(xué)生可能會(huì)說：“③都用等號(hào)連接?！雹艿仁絻蛇吙梢允嵌问?，一次式，或者一個(gè)數(shù);⑤都是整式，⑥兩邊最多只含有一個(gè)字母。于是教師可以把這些零散的信息串聯(lián)起來讀給學(xué)生聽，學(xué)生發(fā)現(xiàn)非常啰嗦。逗樂之余，學(xué)生明白了應(yīng)該用簡(jiǎn)潔直白的語言來概括，通過不斷修整，最終就能得出一元二次方程的定義了。都說“語言是思維的外殼”，組織學(xué)生用語言概括并不斷調(diào)整字詞的過程不就是思維訓(xùn)練的過程嗎？

三、辨識(shí)形成圖式理解

在前兩步操作的基礎(chǔ)上，我們把概念的處延作為重點(diǎn)研究對(duì)象可以進(jìn)一步深化概念的內(nèi)涵理解，這需要關(guān)注學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，通過有計(jì)劃的訓(xùn)練把探究引向深入，把表象與語言的理解進(jìn)一步修整，最終在學(xué)生頭腦中建立概念的圖式。

1.辨析

辨析一列對(duì)象是否在概念的外延范圍內(nèi)，從而進(jìn)一步明晰概念內(nèi)涵。比如讓學(xué)生辨析：

下列函數(shù)關(guān)系中是反比例函數(shù)的是（? ? ）。 A.三角形面積一定，底邊與底邊上的高的關(guān)系。B.長方形的長與寬的關(guān)系;C.三角形底邊一定，面積與高的關(guān)系。 D.長方形在周長一定時(shí)長與寬的關(guān)系。

2.模仿。讓學(xué)生模仿寫出更多屬于概念的對(duì)象并加以辨析，有助于進(jìn)一步明確概念的外延范圍。比如：請(qǐng)寫出4個(gè)大于11、小于12的無理數(shù)。有位學(xué)生就寫了? 5? +9，4π-1，? 10? +8， 10? 2 -3四個(gè)數(shù)，原來他是按照老師給出的方法來寫的，即估算一個(gè)無理數(shù)然后加一個(gè)整數(shù)來調(diào)整大小。

3.變式。變式是指通過改變概念呈現(xiàn)的非本質(zhì)屬性而加深對(duì)本質(zhì)屬性形認(rèn)識(shí)的思維過程。實(shí)際教學(xué)中，為了加深學(xué)生對(duì)概念變式的理解，也可以呈現(xiàn)非概念的變式。如圓周角概念的變式訓(xùn)練：如圖2所示的左圖中共有11個(gè)角（平角不在內(nèi)），請(qǐng)將所有角的名稱寫入右圖。這一題幾乎包括了所有圓周角概念的變式，也列入了非圓周角的變式。

四、聯(lián)系生成結(jié)構(gòu)式理解

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，學(xué)習(xí)者組織一個(gè)知識(shí)的聯(lián)系性網(wǎng)絡(luò)將有助于減輕大腦認(rèn)知的工作強(qiáng)度，促進(jìn)知識(shí)被科學(xué)理解、合理存儲(chǔ)與順利提取。

1.縱向聯(lián)系?？v向聯(lián)系是指當(dāng)前所學(xué)概念與它的前概念及衍生概念間的聯(lián)系，還包括與之相關(guān)的同類概念間的聯(lián)系。比如學(xué)習(xí)反比例函數(shù)，就要聯(lián)系學(xué)生在小學(xué)學(xué)過的反比例，還要與初中學(xué)過的一次函數(shù)進(jìn)行比較，同時(shí)還要與“平面直角坐標(biāo)系”、“雙曲線”等概念相聯(lián)系。

2.橫向聯(lián)系。橫向聯(lián)系是不同范疇的概念間的聯(lián)系，這種聯(lián)系使我們可以看到兩種概念存在性質(zhì)、學(xué)法上的異同。比如一元二次方程的解與二次函數(shù)函數(shù)圖像上的點(diǎn)存在相通性，一元二次方程與今后要學(xué)的一元二次不等式間的聯(lián)系。軸對(duì)稱與在“距離和最短”問題間的聯(lián)系。

當(dāng)然，概念的聯(lián)系是一種不斷聯(lián)系與被聯(lián)系的過程，需要我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中不斷教會(huì)學(xué)生形成這種意識(shí)。

五、反思促進(jìn)思想性理解

教師引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷縱橫聯(lián)系后進(jìn)行及時(shí)反思，進(jìn)一步促進(jìn)概念學(xué)習(xí)的相關(guān)方法與思想的升華，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力。

總之，數(shù)學(xué)概念立體式教學(xué)是在傳統(tǒng)教學(xué)體系的平面模型之上增加了分層次教學(xué)，從而使概念教學(xué)的過程呈三維立體狀分布，這樣可使概念學(xué)習(xí)的過程性更加清晰，每一步的目的更加明確。盡管數(shù)學(xué)理解為我們理解數(shù)學(xué)概念教學(xué)打開了一扇窗戶，但是要真正獲得教學(xué)的自由與學(xué)習(xí)的高效，還需要教師不斷學(xué)習(xí)相關(guān)理論，并在實(shí)踐中總結(jié)與提高。

參考文獻(xiàn)：

[1]李士琦.數(shù)學(xué)教育心理[M].華東師范大學(xué)出版社，2001.

[2]林武. 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的誤區(qū)分析及對(duì)策研究[J].教育評(píng)論.2014（08）.

[3]王瑞霖，綦春霞，李孝誠 .數(shù)學(xué)活動(dòng)理論探求與實(shí)踐反思[J].數(shù)學(xué)通報(bào).2012（07）

（作者單位：浙江省紹興市柯橋區(qū)安昌中學(xué)，浙江? ?紹興? ?312000）