基于RTD的三變量特征閾值邏輯門及通用閾值邏輯門設(shè)計(jì)

姚茂群，馮杰，王竹萍

（杭州師范大學(xué)信息科學(xué)與工程學(xué)院,浙江杭州311121）

0 引言

共振隧穿二極管（resonant tunneling diode，RTD）是一種較成熟的非線性量子器件[1-2]，具有負(fù)內(nèi)阻（negative differential resistance，NDR）、開關(guān)轉(zhuǎn)換速度快、低壓低功耗、工作頻率高等優(yōu)點(diǎn)[3-4]，且在數(shù)字電路設(shè)計(jì)中，使用器件數(shù)量更少。因此，RTD 具有很好的研究價(jià)值及應(yīng)用前景[5-6]。MOBILE（MOno-stable BI-stable transition logic element，單雙穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)換邏輯單元）是基于RTD 設(shè)計(jì)電路時(shí)的一個(gè)重要邏輯單元[7-8]。MOBILE可以由2個(gè)或多個(gè)RTD 串聯(lián)而成[9-11]，其偏置電壓為時(shí)鐘信號，且MOBILE 在偏置電壓為上升沿時(shí)工作。當(dāng)偏置電壓處于上升沿時(shí)，MOBILE中波峰電流最小的RTD 先進(jìn)入負(fù)阻區(qū)，且該RTD 從低阻態(tài)變化到高阻態(tài)。當(dāng)偏置電壓為高電平時(shí)，MOBILE 能夠保持輸出不變。為了能有效控制MOBILE的輸出，通常需要加入輸入分支，如 RTD和HFET（heterojunction field-effect transistor，異質(zhì)結(jié)場效應(yīng)晶體管）的串聯(lián)結(jié)構(gòu)[10]。MOBILE 不僅充分發(fā)揮了RTD的NDR和快速開關(guān)轉(zhuǎn)換特性，而且使得電路具有雙穩(wěn)態(tài)和自鎖特性[9]。相比布爾邏輯，MOBILE 更適合設(shè)計(jì)閾值邏輯電路[11-13]。

三變量函數(shù)一共有256個(gè)，其中閾值函數(shù)104個(gè)，非閾值函數(shù)可以轉(zhuǎn)化成幾個(gè)閾值函數(shù)的相或[14]，而由MOBILE 構(gòu)成的閾值邏輯電路能實(shí)現(xiàn)三變量閾值函數(shù)，故該電路可以實(shí)現(xiàn)所有的三變量函數(shù)，但需要根據(jù)每個(gè)閾值函數(shù)的權(quán)值和閾值重新設(shè)計(jì)電路，電路設(shè)計(jì)過程復(fù)雜，缺乏通用性[15-16]。有關(guān)文獻(xiàn)已設(shè)計(jì)了基于RTD 通用的三變量閾值邏輯門，但因在閾值或者正負(fù)權(quán)值的選取上不恰當(dāng)，導(dǎo)致電路功耗增加、面積增大、成本上升[19-20]。本文結(jié)合MOBILE的特點(diǎn)，全面分析了三變量特征閾值函數(shù)和具有代表性的三變量閾值函數(shù)，設(shè)計(jì)了2種性能更好的三變量通用門電路。

1 理論基礎(chǔ)

1.1 閾值邏輯

如果函數(shù)f(x1～xn)滿足：存在一個(gè)稱為權(quán)值的函數(shù)w1,w2,...wn的集合和一個(gè)閾值的數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)

則稱該函數(shù)為閾值函數(shù)[18]，簡記為f=〈ω1x1+ω2x2+…+ωn xn〉T，式中乘法及求和運(yùn)算均為算術(shù)運(yùn)算，其中xi∈{0,1}。對于一個(gè)變量輸入，單變量輸出的二值門電路，若存在一組權(quán)值w1,w2,…,wn和一個(gè)閾值T，使得該門電路輸入輸出關(guān)系可以用式（1）表示，則稱該門電路為閾值邏輯門（threshold gates，TG）[17-18]。多個(gè)閾值邏輯門可以實(shí)現(xiàn)任意邏輯函數(shù)[18]。

基于MOBILE的RTD 閾值邏輯電路如圖1所示[11]。由RTD和HFET的串聯(lián)結(jié)構(gòu)作為輸入分支，控制MOBILE的輸出，Vclk為時(shí)鐘電壓，wp0～wpn和wq0～wqn為RTD 面 積，xp1～xpn和xq1～xqn為輸入變量（高電平為邏輯1，低電平為邏輯0），記與RTD 負(fù)載管并聯(lián)的區(qū)域?yàn)镹DR1，與RTD 驅(qū)動(dòng)管并聯(lián)的區(qū)域?yàn)镹DR2。由于當(dāng)RTD 電流密度一定時(shí)，RTD的面積與其波峰電流成正比，且HFET的作用類似一個(gè)開關(guān)，當(dāng)柵極輸入高電平時(shí)，HFET 導(dǎo)通；當(dāng)柵極輸入低電平時(shí)，HFET 截止。

式（2）表示的正是閾值函數(shù)，且NDR1 區(qū)域中，輸入變量的權(quán)值全為正，NDR2 區(qū)域中，輸入變量的權(quán)值全為負(fù)，閾值表示向上取整。

圖1 由MOBILE 構(gòu)成的閾值邏輯電路Fig.1 Threshold logic circuit composed of MOBILE

1.2 譜技術(shù)

譜技術(shù)是一種數(shù)學(xué)變換方法。通過轉(zhuǎn)換矩陣將傳統(tǒng)布爾域{0,1}變換到譜域{1,-1}，轉(zhuǎn)換過程中無任何信息損失[18]。一個(gè)n變量函數(shù)f(x1～xn)有2n個(gè)不同的輸入，對應(yīng)2n個(gè)輸出。定義輸出向量Y=(f(+1,+1,…,+1),f(+1,+1,…,-1),…，f(-1，-1，…，-1))Τ，n階Rademacher-Walsh譜域變換矩陣記為Tn，譜 系數(shù)向 量[r0r1...rn r12...r1...n]T記為R，則[18]

其中，r0為零次譜系數(shù)，ri為一次譜系數(shù)，rij為高次譜系數(shù)，譜系數(shù)為-2n～2n中的任意偶數(shù)，三階Rademacher-Walsh 譜域變換矩陣為[18]

利用譜技術(shù)，不僅可以對函數(shù)進(jìn)行分類，也可以判斷其是否為閾值函數(shù)[18]。以三變量函數(shù)為例，通過將譜系數(shù)按絕對值從大到小排列，一共可分為3類，見表1。其中，|ri|表示零次及一次譜系數(shù)，|rij|表示二次譜系數(shù)。若最大值譜系數(shù)的絕對值8 或6出現(xiàn)在零次及一次譜系數(shù)上，或者零次及一次譜系數(shù)的絕對值出現(xiàn)3個(gè)4，則該三變量函數(shù)為閾值函數(shù)。三變量閾值函數(shù)的譜系數(shù)與權(quán)值的對照表如表2所示。表2中，閾值函數(shù)的|ri|按絕對值從大到小排列，對應(yīng)的權(quán)值和閾值可以通過表2中的|ai|得到。

權(quán)值wi=ai，且ai極性與對應(yīng)的ri相同；閾值T可由下式得到：

表1 三變量函數(shù)按譜數(shù)系數(shù)分類Table1 Classification of three-variable function according to spectral coefficients

表2 三變量閾值函數(shù)的譜系數(shù)與權(quán)值對照表Table2 Look-up table about spectral coefficients and weights of three-variable threshold function

2 已有的工作

對于n變量的閾值函數(shù)，若其權(quán)值w1～wn全部大于等于0，且從大到小排列，即wi≥wj≥0，0

文獻(xiàn)[20]選取權(quán)值為2，1，1的3個(gè)正權(quán)值輸入端、權(quán)值為－2，－1，－1的3個(gè)負(fù)權(quán)值輸入端和閾值為1的閾值邏輯電路作為三變量通用閾值邏輯門。如圖3所示，通過不同的輸入連接可實(shí)現(xiàn)所有的三變量閾值函數(shù)，其中c1～c6為6個(gè)輸入端。

文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)的三變量特征閾值門非常簡單，但其只考慮通過正權(quán)值輸入端取高電平來改變電路的閾值，未考慮負(fù)權(quán)值輸入端，導(dǎo)致電路選取的閾值較大。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)的三變量通用閾值邏輯門對輸入端權(quán)值的選取、正輸入端數(shù)和負(fù)輸入端數(shù)都很恰當(dāng)，但對閾值的選取略顯不足。

本文將分別研究三變量特征閾值函數(shù)及三變量通用閾值函數(shù)的譜系數(shù)，通過全面分析以上各簡單可行的設(shè)計(jì)方案，設(shè)計(jì)出性能較好的三變量特征閾值邏輯門及三變量通用閾值邏輯門。

圖2 文獻(xiàn)[19]中的三變量特征閾值邏輯門Fig.2 Three-variable characteristic threshold logic gate in[19]

圖3 文獻(xiàn)[20]中的三變量通用閾值邏輯門Fig.3 Three-variable universal threshold logic gate in[20]

3 三變量特征閾值邏輯門及三變量通用閾值邏輯門設(shè)計(jì)

3.1 三變量特征閾值邏輯門設(shè)計(jì)

三變量函數(shù)一共有10個(gè)特征閾值函數(shù)，如表3所示。其中，零次及一次譜系數(shù)|ri|按絕對值從大到小排列。由于設(shè)計(jì)的是三變量特征閾值邏輯門，閾值邏輯電路的正權(quán)值輸入端至少需要3個(gè)。表3中的權(quán)值為w1～w3，當(dāng)閾值函數(shù)權(quán)值為2時(shí)，若閾值邏輯電路的正權(quán)值輸入端權(quán)值只可取1，則可以通過2個(gè)正權(quán)值輸入端輸入相同變量解決；當(dāng)閾值函數(shù)3個(gè)變量權(quán)值分別為1，1，1時(shí)，若閾值邏輯電路的正權(quán)值輸入端權(quán)值只有3個(gè)，且為2，1，1，則可以通過負(fù)權(quán)值為－1的輸入端輸入相應(yīng)變量解決；若閾值函數(shù)的閾值比閾值邏輯電路的大，則可通過權(quán)值為－1的負(fù)權(quán)值輸入端取高電平解決；若閾值函數(shù)的閾值比閾值邏輯電路的小，則可通過權(quán)值為1的正權(quán)值輸入端取高電平解決。因此，閾值邏輯電路的3個(gè)正權(quán)值輸入端可分別取2，1，1 或1，1，1。又根據(jù)表3的閾值T，閾值邏輯電路的閾值可取0，1，2，3。當(dāng)閾值邏輯電路的3個(gè)正權(quán)值輸入端取2，1，1和1，1，1時(shí)，所需的正、負(fù)輸入端數(shù)目分別如表4和表5所示，其中，P表示正權(quán)值輸入端數(shù)，Q表示負(fù)權(quán)值輸入端數(shù)，Z表示總輸入端數(shù)。從表4和表5中可以看出，所需的總輸入端數(shù)為5的有3個(gè)，分別為表4中閾值邏輯電路的閾值取2時(shí)和表5中閾值邏輯電路的閾值取2，3時(shí)，其余所需的總輸入端數(shù)均超過5。由于輸入端數(shù)的增加會(huì)使電路變復(fù)雜，故只考慮輸入端數(shù)為5的3種情況。又由于當(dāng)正權(quán)值輸入端的權(quán)值取2時(shí)，所需的RTD 面積比權(quán)值取1時(shí)增加1倍，電路的功耗也相應(yīng)增加，故表4中閾值取2的情況也不考慮。表5中閾值取3時(shí)即為文獻(xiàn)[19]設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門，若閾值選取太大，則會(huì)導(dǎo)致需要的RTD 面積增大，增加了電路的面積及功耗。因此，本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門為表5中閾值取2的閾值邏輯電路，對應(yīng)的電路圖及電路符號如圖4所示。表3中的c1～c5表示本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門對于三變量特征閾值函數(shù)輸入端的連接情況。

表3 三變量特征閾值函數(shù)Table3 Three variable characteristic threshold functions

表4 正權(quán)值為2，1，1時(shí)的正、負(fù)權(quán)值輸入端數(shù)Table4 Number of positive and negative weight inputs when positive weights are 2，1，1

表5 正權(quán)值為1，1，1時(shí)的正、負(fù)權(quán)值輸入端數(shù)Table5 Number of positive and negative weight inputs when positive weights are 2，1，1

3.2 三變量通用閾值邏輯門設(shè)計(jì)

所有三變量閾值函數(shù)經(jīng)零次及一次譜系數(shù)變換，按絕對值從大到小可分為3類，若譜系數(shù)極性及對應(yīng)的變量順序不同，則三變量閾值函數(shù)就不同，需列出所有的三變量閾值函數(shù)。所有可能的三變量閾值函數(shù)共34個(gè)，如表6所示。

圖4 所設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門及其電路符號圖Fig.4 Three-variable characteristic threshold logic gate designed and its circuit symbol

其他閾值函數(shù)可通過變量間的互換得到。由于表6中閾值函數(shù)的權(quán)值w1～w3出現(xiàn)了2，1，1和－2，－1，－1，一種簡單想法是：閾值邏輯電路的正、負(fù)權(quán)值輸入端都設(shè)計(jì)為4個(gè)，權(quán)值分別為1，1，1，1和－1，－1，－1，－1，且閾值為1，并將該電路作為三變量通用閾值邏輯門，見圖5。

圖5 一般的三變量通用閾值邏輯門Fig.5 General three-variable universal threshold logic gate

然而這種三變量通用閾值邏輯門沒有考慮閾值函數(shù)的權(quán)值2和－2，使得電路輸入端數(shù)較多。因此，最簡單的閾值邏輯電路應(yīng)該是3個(gè)正權(quán)值為2，1，1的輸入端和3個(gè)負(fù)權(quán)值為－2，－1，－1的輸入端，一共6個(gè)輸入端。又由于表6中的函數(shù)閾值T在－2到3之間變化，若閾值邏輯電路的閾值?。?、－1，2，3，會(huì)因輸入端數(shù)不夠，無法實(shí)現(xiàn)某些閾值函數(shù)，如閾值?。?，則表6中編號為5的閾值函數(shù)無法實(shí)現(xiàn)。因此，選擇0和1 作為其閾值。當(dāng)閾值邏輯電路的正、負(fù)權(quán)值輸入端個(gè)數(shù)都為3，且權(quán)值分別為2，1，1和―2，－1，－1時(shí)，若取電路閾值T分別為0和1，則所需的正、負(fù)輸入端數(shù)目如表7所示。其中，P表示正權(quán)值輸入端數(shù)，Q表示負(fù)權(quán)值輸入端數(shù)，Z表示總輸入端數(shù)。從表7中可以看出，無論閾值邏輯電路的閾值T取0 還是1，均能實(shí)現(xiàn)所有的三變量閾值函數(shù)。文獻(xiàn)[20]設(shè)計(jì)的三變量通用閾值邏輯門正是表7中閾值為1的電路，但若閾值取為0，則可減少所需的RTD 面積，從而一定程度降低成本和功耗。故本文設(shè)計(jì)的三變量通用閾值邏輯門為

表6 三變量閾值函數(shù)Table6 Three-variable threshold functions

圖6 所設(shè)計(jì)的三變量通用閾值邏輯門及其電路符號圖Fig.6 Three-variable universal threshold logic gate designed and its circuit symbol

表7 當(dāng)閾值T為0和1時(shí)的正負(fù)輸入端數(shù)Table7 Number of positive and negative inputs when the threshold T is 0 and 1

4 仿真及分析

通過HSPICE 進(jìn)行仿真，采用文獻(xiàn)[4]中介紹的RTD模型，其中RTD 波峰電壓為0.28 V，波峰電流密度為9 kA·cm-2，電容為4 fF·μm-2，單位面積A為2 μm2，與RTD 負(fù)載管并聯(lián)的HFET 采用耗盡型晶體管，與RTD 驅(qū)動(dòng)管并聯(lián)的HFET 采用增強(qiáng)型晶體管，閾值電壓分別為－0.1 V和0.4 V，偏置電壓Vclk采用時(shí)鐘電平，幅值0.8 V，頻率1 GHz，輸入信號高電平取0.8 V，低電平取0 V。下面通過2個(gè)三變量函數(shù)進(jìn)行仿真。

表8 輸入端接法Table8 Connection method of input terminal

4.1 函數(shù)f1(x1，x2，x3)=x1+x2 x3

首先計(jì)算該函數(shù)的譜系數(shù)。由式（3）可得：r0，r1，r2，r3，r12，r13，r23，r123分別為－2，6，2，2，2，2，－2，－2。由表2可得函數(shù)的閾值邏輯表達(dá)式為f1(x1,x2,x3)=2x1+x2+x32。由表3，其對應(yīng)的由三變量特征閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路如圖7（a）所示。由表8，其對應(yīng)的由三變量通用閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路如圖7（b）所示。對圖7電路進(jìn)行HSPICE 仿真，仿真結(jié)果如圖8所示，其中f1'表示由三變量特征閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路仿真結(jié)果，f1''表示由三變量通用閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路仿真結(jié)果。從圖8中可以看出，本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門和三變量通用閾值邏輯門都能實(shí)現(xiàn)正確的邏輯功能。

4.2 函數(shù)

按照函數(shù)f1求閾值函數(shù)表達(dá)式的方法，可得f2(x1,x2,x3)=〈2x1+x2-x31〉，由于函數(shù)f2不是特征閾值函數(shù)，根據(jù)閾值函數(shù)性質(zhì)：

圖7 函數(shù)f1 實(shí)現(xiàn)電路Fig.7 Circuit for realizing function f1

圖8 圖7電路的HSPICE 仿真Fig.8 HSPICE simulation of the circuit in figure 7

因此，根據(jù)表3，其對應(yīng)的由三變量特征閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路如圖9（a）所示。根據(jù)表8，其對應(yīng)的由三變量通用閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路如圖9（b）所示。對圖9電路進(jìn)行HSPICE 仿真，仿真結(jié)果如圖10所示，其中f2'表示由三變量特征閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路仿真結(jié)果，f2''表示由三變量通用閾值邏輯門實(shí)現(xiàn)的電路仿真結(jié)果。從圖10中可以看出，本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門和三變量通用閾值邏輯門均能實(shí)現(xiàn)正確的邏輯功能。

圖9 f2 實(shí)現(xiàn)函數(shù)電路Fig.9 Circuit for realizing function f2

圖10 圖9電路的HSPICE 仿真Fig.10 HSPICE simulation of the circuit in figure 9

對三變量特征閾值邏輯門及通用閾值邏輯門的功耗進(jìn)行了測試，并與文獻(xiàn)[19]中的三變量特征閾值邏輯門和文獻(xiàn)[20]中的三變量通用閾值邏輯門進(jìn)行了比較，結(jié)果如表9和表10 所示。表9中，Z1和Z2分別表示在采用文獻(xiàn)[19]和本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門時(shí)除輸入0 電平外的其他輸入端總數(shù)，表10中，Z3和Z4分別表示 在采用文獻(xiàn)[20]和本文設(shè)計(jì)的三變量通用閾值邏輯門時(shí)除輸入0 電平外的其他輸入端總數(shù)。從表9中可以看出，對于三變量特征閾值邏輯門，三變量特征閾值函數(shù)中Z1Z2，本文列舉了編號8和9的函數(shù)，且本文設(shè)計(jì)的電路功耗比文獻(xiàn)[19]中的小了很多。同理，從表10中可以看出，對于三變量通用閾值邏輯門，三變量閾值函數(shù)中，Z3Z4的有13個(gè)。本文列舉了6個(gè)，分別為Z3Z4的32和21。當(dāng)Z3Z4時(shí)，本文設(shè)計(jì)的電路功耗較文獻(xiàn)[20]中的小了很多；當(dāng)Z3=Z4時(shí)，本文設(shè)計(jì)的電路與文獻(xiàn)[20]中的電路兩者功耗大小要視具體電路情況，但當(dāng)本文中的電路功耗大時(shí)，則相差不大，當(dāng)本文中的電路功耗小時(shí)，則要小很多。因此，本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門及通用閾值邏輯門都能有效降低電路功耗；另外，在電路面積上，亦均較文獻(xiàn)[19-20]減少了1A，成本也有降低。

表9 三變量特征閾值邏輯門功耗比較Table9 Power consumption comparison of three-variable characteristic threshold logic gate

表10 三變量通用閾值邏輯門功耗比較Table10 Power consumption comparison of three-variable universal threshold logic gate

5 總 結(jié)

通過譜技術(shù)及閾值邏輯電路，設(shè)計(jì)了一種新型的基于RTD的三變量特征閾值邏輯門及三變量通用閾值邏輯門。通過2個(gè)具體函數(shù)的HSPICE 仿真，證明了電路邏輯功能的正確性。在功耗測試中，有針對性地測試了幾組閾值函數(shù)，測試結(jié)果表明，相比文獻(xiàn)[19-20]，本文設(shè)計(jì)的電路能有效降低電路功耗，電路面積和成本也得到了降低。本文使用由RTD 組成的MOBILE 來設(shè)計(jì)閾值邏輯電路，不僅因?yàn)镽TD 作為量子器件較傳統(tǒng)CMOS 工作頻率高、功耗低，而且通過改變MOBILE的輸入分支,能很方便地設(shè)計(jì)出閾值邏輯電路。當(dāng)然，本文設(shè)計(jì)的三變量特征閾值邏輯門及三變量通用閾值邏輯門也可由其他器件組成。