對一類不等式恒成立問題的探討

馮太平

【摘 要】 含絕對值不等式的處理方式以及含參不等式恒成立問題是不等式問題中的難點，通過一個具體的問題產(chǎn)生的錯因進行剖析，對這兩類問題進行解法總結(jié)。

【關(guān)鍵詞】 絕對值不等式;含參不等式恒成立;錯因分析;兩類絕對值不等式解法總結(jié)

一、問題的提出

在高三一輪復(fù)習(xí)中，備課組老師交流提出了一個問題：

已知實數(shù)，不等式對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍。

此題的解法很多，正確的結(jié)果是：或，但按下面的方法求解，結(jié)果卻不對，為什么？

解：∵且，∴，

進而有或。

化簡整理得：或，

又因為，

所以有或，

依題意 或。

二、錯因分析

上述解法主要涉及兩類問題的解決方法：

一是含絕對值不等式的處理方式。或，這是解絕對值不等式常用的手段。

二是含參不等式恒成立問題。將不等式中的參數(shù)分離出來，將問題變?yōu)楹愠闪ⅲɑ蚝愠闪ⅲ?，上述問題等價于（或）。

分離參數(shù)法是解決不等式恒成立問題非常有效的方法，這種方法可以回避分類討論。

上題中的解法主要用到了這兩種解法，看起來沒有什么問題，但仔細(xì)分析會發(fā)現(xiàn)其算法是有問題的，主要問題是變形過程不等價。

錯誤的本質(zhì)分析如下：

從解集相等的角度來說：與或是等價的。

不論是正還是負(fù)，上述兩組不等式的解集都是相同的。

但是在去掉絕對值后，再分離參數(shù)，而后的處理方法本質(zhì)上是要求對恒成立或?qū)愠闪?。這與或?qū)愠闪⑹遣坏葍r的。這樣處理后是加強了條件，所以得出來的結(jié)果比實際結(jié)果范圍小。

對于這類問題，要對的正負(fù)進行討論，其本質(zhì)是：如果不對的正負(fù)進行討論，那么不等式的解集和的解集是有可能有交集的;而當(dāng)為正時，上述兩不等式是沒有交集的。當(dāng)它們沒有交集時，或?qū)愠闪⒑蛯愠闪⒒驅(qū)愠闪⑹堑葍r的。解法也就正確了。

三、對本題解法的修正

解：∵且 ，∴。

①當(dāng)，即時，，所以有或x-a

對任意恒成立。

化簡整理得：或，又因為，

所以有或，

對任意恒成立。

依題意或。

又因為，所以。

②當(dāng)，即時，，此時不等式對任意恒成立。故。

綜上得，或。

四、兩類絕對值不等式解法總結(jié)

1.對恒成立。

（1）當(dāng)時，對恒成立或?qū)愠闪愠闪⒒驅(qū)愠闪ⅰ?/p>

（2）當(dāng)時，對恒成立。

2.對恒成立對恒成立對恒成立且對恒成立。

【參考文獻】

[1]楊學(xué)枝.不等式研究[M].西藏：西藏人民出版社，2000.

[2]胡曉芬.含參數(shù)不等式恒成立的解法[J].數(shù)學(xué)通訊，2005（20）：12.

[3]黃俊珍.關(guān)于含參不等式的探討[J].中學(xué)理科，2007（2）：16～19.