基于MMI-PCA-KLPP二次降維和模糊樹(shù)模型的NOX濃度軟測(cè)量方法

劉長(zhǎng)良， 曹 威， 王梓齊

(1.華北電力大學(xué) 控制與計(jì)算機(jī)工程學(xué)院，河北 保定 071003； 2.華北電力大學(xué) 新能源電力系統(tǒng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 102206)

0 引 言

火力發(fā)電是我國(guó)主要的發(fā)電形式，燃煤產(chǎn)生的氮氧化物成為空氣污染的主要因素[1]。然而氣體分析儀對(duì)NOX的測(cè)量存在滯后，嚴(yán)重影響了脫硝系統(tǒng)的控制品質(zhì)。因此，高精度的NOX軟測(cè)量方法對(duì)提高脫硝系統(tǒng)控制品質(zhì)，減少氮氧化物排放有著重要意義。

NOX軟測(cè)量方法主要有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法、支持向量機(jī)法和組合預(yù)測(cè)方法等。白建云等將BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)用于硫化床鍋爐NOX軟測(cè)量，大大減小了傳感器測(cè)量的遲滯，改善了脫硝系統(tǒng)的控制品質(zhì)[2]；王雅彬等在分析了NOX排放量影響因素的基礎(chǔ)上，構(gòu)建了基于最小二乘支持向量機(jī)(Least Squares Support Vector Machine,LSSVM)的NOX排放軟測(cè)量模型，提高了NOX的測(cè)量精度[3]；丁知平等對(duì)基于LSSVM的NOX軟測(cè)量模型采用改進(jìn)引力優(yōu)化算法(Improved Gravitation Optimization Algorithm,IGSA)進(jìn)行優(yōu)化[4]；石饒橋等提出基于卡爾曼濾波與數(shù)據(jù)融合技術(shù)的NOX濃度測(cè)量方法，有效克服測(cè)量滯后問(wèn)題,并具有較快的測(cè)量響應(yīng)速度和較高的測(cè)量精度[5]。上述NOX軟測(cè)量方法均實(shí)現(xiàn)了減小測(cè)量遲滯、提高測(cè)量精度的目的，但是機(jī)器學(xué)習(xí)算法普遍存在訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)、泛化能力差等問(wèn)題。

針對(duì)這一問(wèn)題，毛劍琴等提出了一種基于二叉樹(shù)結(jié)構(gòu)的模糊T-S模型建模算法，簡(jiǎn)稱(chēng)模糊樹(shù)模型(Fuzzy Tree，F(xiàn)T)[6]。模糊樹(shù)模型有著結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、訓(xùn)練快、泛化能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，適用于非線(xiàn)性、強(qiáng)耦合的復(fù)雜工程問(wèn)題[7]。Zhang等人基于模糊樹(shù)模型建立了硫化床鍋爐SO2軟測(cè)量模型，準(zhǔn)確預(yù)測(cè)了SO2排放量并基于模糊樹(shù)算法建立了NOX和SO2軟測(cè)量模型，對(duì)燃燒異常情況進(jìn)行檢驗(yàn)，驗(yàn)證了模糊樹(shù)軟測(cè)量模型的有效性[8,9]；王梓齊等提出采用復(fù)相關(guān)系數(shù)的時(shí)滯聯(lián)合估計(jì)方法，對(duì)影響NOX生成量的模型輸入變量進(jìn)行時(shí)滯估計(jì)，最后基于模糊樹(shù)模型建立了SCR反應(yīng)器入口NOX生成量動(dòng)態(tài)模型[10]。

除此之外，由于選擇性催化還原器(Selective catalytic reduction,SCR)入口NOX濃度受到機(jī)組負(fù)荷、煙氣溫度、煙氣流量、煙氣含氧量等多種因素影響，導(dǎo)致模型的輸入變量較多，增加了模型的訓(xùn)練時(shí)間，因此有必要對(duì)模型的輸入變量進(jìn)行降維。董澤等人采用互信息(Mutual Information，MI)對(duì)NOX軟測(cè)量模型的輸入變量進(jìn)行篩選[11]；趙文杰等人利用互信息不僅篩選出了影響NOX濃度的主要變量，還實(shí)現(xiàn)了對(duì)輸入變量的時(shí)滯估計(jì)，提高了模型的精度[12]；趙建軍等提出了基于核主元分析和LSSVM的SCR入口NOX濃度軟測(cè)量方法，有助于解決SCR入口NOX濃度的準(zhǔn)確測(cè)量問(wèn)題[13]。上文獻(xiàn)中利用互信息均實(shí)現(xiàn)了從眾多影響因素中篩選主要影響變量的目的，但是由于NOX的生成機(jī)理復(fù)雜，影響因素眾多，導(dǎo)致互信息篩選后仍有較多輸入變量的問(wèn)題。針對(duì)這一問(wèn)題應(yīng)該對(duì)篩選后的變量進(jìn)行二次降維，進(jìn)一步減少輸入變量數(shù)量。

局部保持投影(Locality Preserving Projection,LPP)可以在降低空間維度的同時(shí)，較好的保持內(nèi)部固定的局部結(jié)構(gòu)。馬玉鑫基于LPP對(duì)輸入變量進(jìn)行降維，提取出有效的低維特征后再用LSSVM建立預(yù)測(cè)模型[14]；張?jiān)茝?qiáng)等人基于Parzen窗和成對(duì)約束的半監(jiān)督局部保持投影算法對(duì)磨粒圖像的紋理特征降維[15]。LPP雖然可以達(dá)到降維的目的，但是LPP的本質(zhì)是對(duì)拉普拉斯特征映射方法的線(xiàn)性逼近，對(duì)于非線(xiàn)性強(qiáng)的系統(tǒng)有效性差。另外，LPP僅僅考慮了樣本的局部結(jié)構(gòu)特性，并未考慮樣本的全局結(jié)構(gòu)特性。主元分析法(Principal Component Analysis,PCA)在降維時(shí)考慮了樣本的全局結(jié)構(gòu)特性，綜合PCA 與LPP 的特點(diǎn)，可以在降維過(guò)程中同時(shí)保持?jǐn)?shù)據(jù)樣本的局部結(jié)構(gòu)特征和全局結(jié)構(gòu)特征[16]。

針對(duì)機(jī)器學(xué)習(xí)算法存在訓(xùn)練時(shí)間長(zhǎng)和LPP對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)降維有效性差的問(wèn)題，首先通過(guò)查閱文獻(xiàn)大體確定NOX軟測(cè)量模型的輸入變量；再利用核方法將LPP推廣到適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的KLPP(Kernel LPP，KLPP)，并將KLPP與PCA相結(jié)合，以達(dá)到同時(shí)保持樣本的全局結(jié)構(gòu)特性和局部結(jié)構(gòu)特性的目的；最后基于模糊樹(shù)算法建立NOX軟測(cè)量模型。應(yīng)用某600 MW燃煤機(jī)組的實(shí)際運(yùn)行數(shù)據(jù)對(duì)該NOX軟測(cè)量方法進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該方法滿(mǎn)足實(shí)際對(duì)SCR入口NOX軟測(cè)量的要求。

1 互信息降維

互信息是定量計(jì)算兩個(gè)隨機(jī)變量之間共有信息量的計(jì)算工具，是表示兩個(gè)隨機(jī)變量相關(guān)性的有效值指標(biāo)?；バ畔⒌乃惴ㄈ缦?。

兩個(gè)隨機(jī)變量X、Y的互信息為

(1)

式中：P(x,y)為X、Y的聯(lián)合分布；P(x)、P(y)分別為X、Y的邊界分布。然而公式(1)只考慮了兩變量之間的最大相關(guān)，并沒(méi)有考慮信息冗余。因此又提出了一種最大相關(guān)、最小冗余的變量篩選法，該方法的評(píng)價(jià)函數(shù)如下：

(2)

式中：fi∈F為待選變量；β為懲罰因子，主要是用來(lái)調(diào)節(jié)候選變量與各個(gè)已選變量之間的互信息之和；c為主導(dǎo)變量；sj∈S為已選變量。但是公式(2)沒(méi)有考慮到已選變量個(gè)數(shù)對(duì)算法的影響，因此導(dǎo)致互信息篩選后可能還有較多變量。所以在公式(2)的基礎(chǔ)上加入已選變量數(shù)目的懲罰因子進(jìn)行改進(jìn)，改進(jìn)后的評(píng)價(jià)函數(shù)如下：

(3)

式中：‖S‖為S的范數(shù)。從式(3)可以看出，改進(jìn)后的算法考慮到了變量數(shù)目的影響，將已選變量數(shù)目的影響作為懲罰項(xiàng)加入到評(píng)價(jià)函數(shù)中，除以|S|可以減小待選變量與主導(dǎo)變量的互信息對(duì)變量重要性的影響，從而控制了互信息篩選出的變量數(shù)目。

改進(jìn)互信息(Modified Mutual Information,MMI)的具體步驟如下：

(1)初始化：F為所有待選變量集合；已選變量S為空集；c為主導(dǎo)變量，即SCR入口NOX濃度；

(2)計(jì)算待選變量fi與主導(dǎo)變量c的互信息I(fi;c)，選擇最大I(fi;c)對(duì)應(yīng)的fi存入S中并從F集合中刪除fi；

(3)循環(huán)以下兩個(gè)步驟，直至已選變量數(shù)目達(dá)到預(yù)測(cè)值K：

(a)計(jì)算所有待選變量與已選變量的互信息I(fi;sj)；

(b)選取使評(píng)價(jià)函數(shù)J(fi)最大的fi，并存入S；

(4)已選變量集合S即為模型的輸入變量。

MMI算法的流程圖如圖1所示。

圖1 MMI 降維流程圖 Fig.1 Flow chart of MMI dimension reduction

2 PCA-KLPP降維

PCA-KLPP降維法綜合了PCA和KLPP兩種降維法的優(yōu)勢(shì)，全面考慮了樣本的局部結(jié)構(gòu)特性和全局結(jié)構(gòu)特性，不僅可以將同類(lèi)樣本按流形投影到低維空間，還可以保證異類(lèi)樣本間的分散性，避免了不同類(lèi)別而又靠得較近的數(shù)據(jù)在投影后還是靠得較近的問(wèn)題。

設(shè)X={x1,x2,…,xm},xi∈Rd(i=1,2,…,m)為高維空間Rd中的樣本，PCA-KLPP的目標(biāo)是找到一個(gè)轉(zhuǎn)換矩陣W，將X在低維空間Rl(l<

PCA-KLPP降維法的整體目標(biāo)函數(shù)是基于KLPP的局部目標(biāo)函數(shù)和PCA的全局目標(biāo)函數(shù)，從而使得整體目標(biāo)函數(shù)兼具KLPP和PCA的優(yōu)勢(shì)。

2.1 全局目標(biāo)函數(shù)

由于PCA 在降維時(shí)考慮了樣本的全局結(jié)構(gòu)特性，因此，全局目標(biāo)函數(shù)Jg(W)即為PCA-KLPP降維法的全局目標(biāo)函數(shù)。Jg(W)使投影前分散的兩點(diǎn)投影后仍保持分散，避免了LPP將高維空間中不同類(lèi)但靠得近的數(shù)據(jù)投影到低維空間中相鄰的問(wèn)題。Jg(W)目標(biāo)函數(shù)如下：

(4)

2.2 局部目標(biāo)函數(shù)

由于KLPP 在降維時(shí)考慮了樣本的局部結(jié)構(gòu)特性，因此，局部目標(biāo)函數(shù)Jl(W)即為PCA-KLPP降維法的局部目標(biāo)函數(shù)。Jl(W)使投影前近鄰的數(shù)據(jù)投影后依然相鄰，保持?jǐn)?shù)據(jù)結(jié)構(gòu)相似[17]。Jl(W)目標(biāo)函數(shù)如下：

(5)

(6)

(7)

其中，sij為近鄰的第i個(gè)樣本和第j個(gè)樣本之間的相似性程度；矩陣D是對(duì)角陣，對(duì)角元素dii為

(8)

為了消除隨機(jī)尺度因子的影響，求解中限定：

WTXDXTW=I

(9)

式中：I為單位矩陣。

2.3 整體目標(biāo)函數(shù)

結(jié)合全局目標(biāo)函數(shù)Jg(W)與局部目標(biāo)函數(shù)Jl(W)，構(gòu)造PCA-KLPP的整體目標(biāo)函數(shù)如下：

(10)

用拉格朗日法根據(jù)上式構(gòu)造極值函數(shù)為

(11)

對(duì)上式求導(dǎo)并置0，化簡(jiǎn)后得

L′(W)=2(C-XLXT)W-2λXDXTW=0

(12)

(C-XLXT)W=λXDXTW

(13)

從式(13)可以看出，求轉(zhuǎn)換矩陣W的過(guò)程，實(shí)際上是求以λ為廣義特征值的特征向量的過(guò)程。因此求出W后，便可實(shí)現(xiàn)降維的目的。PCA-KLPP 降維算法的基本流程如圖2所示。

圖2 PCA-KLPP 降維流程圖Fig.2 Flow chart of PCA-KLPP dimension reduction

3 軟測(cè)量模型

3.1 模糊樹(shù)模型

模糊樹(shù)算法的核心是用二叉樹(shù)將輸入空間劃分成模糊子空間，二叉樹(shù)的結(jié)構(gòu)決定了模糊規(guī)則的個(gè)數(shù)，并且模糊規(guī)則不受輸入變量維數(shù)的影響，因而不會(huì)導(dǎo)致“維數(shù)爆炸”。

對(duì)于一個(gè)模糊樹(shù)模型，對(duì)應(yīng)著一個(gè)嚴(yán)格二叉樹(shù)T。T中共有L個(gè)節(jié)點(diǎn)，對(duì)于每個(gè)節(jié)點(diǎn)t，定義其隸屬度函數(shù)為μt(x)。對(duì)于根節(jié)點(diǎn)，μt(x)=1；對(duì)于非根節(jié)點(diǎn)，μt(x)的計(jì)算公式如下：

(14)

(15)

式中：α為模糊帶寬度；t為F(t)的右子節(jié)點(diǎn)α>0；CF(t)為F(t)上的線(xiàn)性參數(shù)向量Ct；θF(t)為F(t)上的數(shù)據(jù)重心，計(jì)算公式如下：

(16)

(17)

式中：Nt(x)為節(jié)點(diǎn)t的歸一化隸屬度函數(shù)

(18)

經(jīng)過(guò)訓(xùn)練得到各節(jié)點(diǎn)上的線(xiàn)性參數(shù)向量Ct以及數(shù)據(jù)重心θt后，便確定了一個(gè)模糊樹(shù)模型。

3.2 基于MMI-PCA-KLPP二次降維的NOX軟測(cè)量

首先通過(guò)查閱資料，大體確定影響SCR入口NOX濃度的影響因素，從而確定軟測(cè)量模型的輸入變量；由于輸入變量維數(shù)過(guò)多，先采用MMI方法對(duì)輸入變量進(jìn)行一次降維，對(duì)一次降維后的變量再采用PCA-KLPP方法進(jìn)行二次降維，在確定最佳維數(shù)的前提下，既保了留原始數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特征，又大大減少了模型輸入變量的數(shù)目，縮短了軟測(cè)量模型訓(xùn)練時(shí)間；最后對(duì)二次降維后的數(shù)據(jù)建立模糊樹(shù)模型，對(duì)NOX濃度進(jìn)行預(yù)測(cè)。MMI-PCA-KLPP二次降維的NOX軟測(cè)量流程圖如圖3所示。

圖3 二次降維和FT的NOX軟測(cè)量流程圖Fig.3 Flow chart of secondary dimensionality reduction and FT

4 實(shí)驗(yàn)過(guò)程及結(jié)果分析

4.1 數(shù)據(jù)采集及預(yù)處理

通過(guò)相關(guān)資料，得知影響NOX濃度的主要因素。由于在平穩(wěn)工況下，A磨未啟動(dòng)，A磨風(fēng)量、煤量、及一二次風(fēng)門(mén)開(kāi)度均為0，故將以上變量從輔助變量中剔除，剩下的輔助變量如表1所示，共30個(gè)輸入變量，輸出變量為SCR入口NOX濃度。其中，T1為空預(yù)器一次風(fēng)溫；T2為空預(yù)器二次風(fēng)溫；SA～SE、SAA～SDE為各二次風(fēng)門(mén)擋板開(kāi)度；SOFA1～SSOFA3為各燃盡風(fēng)門(mén)開(kāi)度；O2為煙氣含氧量；從而確定軟測(cè)量模型的輸入變量[18]。

采集某660 MW燃煤電廠SIS系統(tǒng)中26 h運(yùn)行數(shù)據(jù)，采樣間隔為10 s，共8 640組。NOX濃度和機(jī)組負(fù)荷時(shí)間序列如圖4。選取第3 501～8 550組穩(wěn)定工況下的數(shù)據(jù)，選擇前4 500組作為訓(xùn)練樣本，后650組作為測(cè)試樣本。平穩(wěn)工況下的NOX濃度和機(jī)組負(fù)荷時(shí)間序列如圖5所示。

圖4 NOX濃度和機(jī)組功率時(shí)間序列Fig.4 NOX concentration and unit power time series

圖5 平穩(wěn)工況下NOX濃度和機(jī)組功率時(shí)間序列Fig.5 NOX concentration and unit power time series under steady conditions

4.2 確定最佳維數(shù)

由于MMI和PCA-KLPP兩種方法需要先驗(yàn)確定樣本所要降低的維數(shù)，維數(shù)降低過(guò)多會(huì)導(dǎo)致樣本失去本身的數(shù)據(jù)特征，過(guò)少則不能達(dá)到簡(jiǎn)化軟測(cè)量模型縮短訓(xùn)練時(shí)間的目的。因此，合理的維數(shù)是建立軟測(cè)量模型的關(guān)鍵。本文依次計(jì)算30維輔助變量與主導(dǎo)變量NOX濃度的互信息值，將30個(gè)互信息從大到小排序，尋找互信息曲線(xiàn)的拐點(diǎn)，從而確定MMI降維法的最佳維數(shù)。圖6為維數(shù)從1到30時(shí)互信息值變化情況及曲線(xiàn)拐點(diǎn)。

圖6 各變量互信息值與最佳維數(shù)Fig.6 Mutual information value and optimal dimension of each variable

從圖6可以看出，不同輔助變量與主導(dǎo)變量的互信息值不同，說(shuō)明各輔助變量與主導(dǎo)變量的相關(guān)性不同。除此之外，拐點(diǎn)對(duì)應(yīng)的維數(shù)為26，從而確定降維后的輸入變量數(shù)目為26。

再根據(jù)MMI降維后的26維輔助變量，計(jì)算26維輔助變量的特征值。由于特征值的大小代表了矩陣正交化之后所對(duì)應(yīng)特征向量對(duì)于整個(gè)矩陣的貢獻(xiàn)程度，因此將26維輔助變量的特征值按大小排序，尋找特征值大于閾值的變量(閾值這里取0.98)，從而確定PCA-KLPP降維法的降維數(shù)目。圖7為26維輔助變量的特征值曲線(xiàn)及最佳維數(shù)。

圖7 各變量特征值與最佳維數(shù)Fig.7 Characteristic value and optimal dimension of each variable

從圖7可以看出，不同輔助變量的特征值大小不同，說(shuō)明輔助變量對(duì)主導(dǎo)變量的貢獻(xiàn)程度不同。并且特征值曲線(xiàn)的拐點(diǎn)出現(xiàn)在維數(shù)為12，因此確定PCA-KLPP二次降維的最佳維數(shù)為12，再用模糊樹(shù)模型建立NOX軟測(cè)量模型。

4.3 確定模糊樹(shù)結(jié)構(gòu)

模糊樹(shù)模型的精度受樹(shù)結(jié)構(gòu)的影響，復(fù)雜的樹(shù)結(jié)構(gòu)雖然會(huì)提高精度，但也會(huì)增加模型的訓(xùn)練時(shí)間。因此用模糊樹(shù)模型建立NOX軟測(cè)量模型之前，必須確定合適的樹(shù)結(jié)構(gòu)。表2為不同樹(shù)結(jié)構(gòu)下軟測(cè)量模型的精度和訓(xùn)練時(shí)間，RMSE為訓(xùn)練誤差。

表2 不同樹(shù)結(jié)構(gòu)下模型的精度和訓(xùn)練時(shí)間

Tab.2 Model error and training time of models under different structures

樹(shù)結(jié)構(gòu)1層1節(jié)點(diǎn)2層3節(jié)點(diǎn)3層5節(jié)點(diǎn)3層7節(jié)點(diǎn)RMSE3.683.573.193.17t/s5.0644.74103.48274.56

從表2可以看出，當(dāng)樹(shù)結(jié)構(gòu)為2層3節(jié)點(diǎn)時(shí)，模型兼具了精度高和訓(xùn)練時(shí)間短的優(yōu)點(diǎn)，因此本文采用樹(shù)結(jié)構(gòu)為2層3節(jié)點(diǎn)的模糊樹(shù)模型。除此之外還可以看出，模糊樹(shù)模型對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)有良好的適用性并且精度高。圖8為FT、MI_FT和二次降維-FT三種模型訓(xùn)練預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合圖，圖9為二次降維-FT的測(cè)試結(jié)果。

圖8 訓(xùn)練樣本預(yù)測(cè)值與實(shí)際值擬合圖Fig.8 Fitting predicted and actual values of training samples

圖9 二次降維-FT軟測(cè)量模型的測(cè)試曲線(xiàn)Fig.9 Test curve of the second dimension reduction-FT model

圖8可以看出，三種模型預(yù)測(cè)值均緊貼理想直線(xiàn)，說(shuō)明三種模型能準(zhǔn)確測(cè)量NOX濃度，但是二次降維-FT模型的精度低于FT模型。為了進(jìn)一步研究幾種模型的訓(xùn)練時(shí)間及模型誤差，表3列出了三種模型的訓(xùn)練時(shí)間與誤差。其中，RMSE1為訓(xùn)練誤差，RMSE2為測(cè)試誤差，t為訓(xùn)練時(shí)間。

表3 幾種模型的誤差與訓(xùn)練時(shí)間

表3可以看出，雖然二次降維-FT模型在軟測(cè)量精度上與FT模型有差距，但是兩者精度相差不大，并且模型訓(xùn)練的時(shí)間較FT大大縮短，誤差也在工業(yè)可接受范圍，可以很好地解決NOX測(cè)量大遲滯的問(wèn)題。

5 結(jié) 論

針對(duì)火電廠氣體分析儀測(cè)量存在滯后和NOX軟測(cè)量不準(zhǔn)確的問(wèn)題，提出了一種基于MMI-PCA-KLPP二次降維和FT的SCR入口NOX濃度軟測(cè)量方法。首先查閱文獻(xiàn)，大體確定軟測(cè)量模型的輸入變量；再依次確定MMI和PCA-KLPP兩種降維方法的最佳維數(shù)，并用這兩種降維方法依次對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行降維；最后選擇最佳的模糊樹(shù)結(jié)構(gòu)，建立了SCR入口NOX濃度軟測(cè)量模型。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，基于二次降維后，能在精度降低不多的情況下，大大縮短模糊樹(shù)模型的訓(xùn)練時(shí)間，滿(mǎn)足實(shí)際工程中NOX軟測(cè)量的要求。