二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特殊解法

藺 琳

(大連財(cái)經(jīng)學(xué)院，遼寧 大連 116622)

常微分方程是數(shù)學(xué)分析與微分方程運(yùn)算中不可或缺的一個(gè)組成部分[1]。例如，在反映客觀(guān)現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿(mǎn)足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要通過(guò)求解微分方程來(lái)了解未知函數(shù)的性質(zhì)[2]。因此，常微分方程是解決實(shí)際問(wèn)題的重要工具。其中，形如y″+py′+qy=f(x)(其中p，q為常數(shù))的方程稱(chēng)為二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程[3]。眾所周知，待定系數(shù)法和常數(shù)變易法是二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的普遍解法，但這兩種方法都有不足之處，例如求解過(guò)程較為繁瑣，計(jì)算量較大[4-5]。本文綜述了積分法、算子法、降階法、升階法、拉普拉斯變換法、化為方程組法和迭代法求解方程的原理與應(yīng)用。同時(shí)，分析了各個(gè)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特殊解法的利弊，為微分方程在不同的條件下快捷使用相應(yīng)的求解方法研究奠定基礎(chǔ)。

1 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的特殊解法

1.1 積分法求解方程

1.2 算子法求解方程

例：求方程y″-3y′+2y=2xex的特解。

1.3 降階法求解方程

對(duì)于某些特殊的高階微分方程，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，化為低階微分方程，當(dāng)該低階微分方程可解時(shí)，即原方程可解。降階法首先需要求出特征方程的特征根；然后，利用積分因子乘以微分方程和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，將二階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程化為一階微分形式；最后，將一階微分形式兩邊同時(shí)積分，求解方程即可得到通解。利用降階法，可以求得微分方程的一個(gè)特解或通解。

例：求方程y″-3y′+2y=2xex的特解。

1.4 升階法求解方程

設(shè)f(x)=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0，求方程y″+py′+qy=f(x)的一個(gè)特解。利用對(duì)原方程的等式兩邊連續(xù)求m次導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行求解

y″′+py″+qy′=mamxm-1+…+2a2x+a1，

……

例：求微分方程y″+6y′-7y=ex(x+1)的特解。

1.5 拉普拉斯變換法求解方程

拉普拉斯變換求解微分方程包含兩個(gè)步驟：首先求解微分方程的的未知量的拉普拉斯變換式；其次通過(guò)變換式求出相應(yīng)的未知量，即微分方程與代數(shù)方程直接的變換運(yùn)算，所以也可考慮用這種方法來(lái)解微分方程。

例：求微分方程y″-2y′+y=x2ex(y(0)=y′(0)=0)的特解。

1.6 化為方程組法求解方程

例：求微分方程y″-2y′+y=x2ex(y(0)=y′(0)=0)的特解。

1.7 迭代法求解方程

定理1：P(D)(eλxy)=eλxP(D+λ)y，Dn(eλxy)=eλx(D+λ)ny，(n=0,1,2,…)。

定理2：設(shè)Q(D)=b0Dn+b1Dn-1+…+bn-1D，φ(X)是x的m次多項(xiàng)式，則常系數(shù)微分方程y=φ(x)+Q(D)y的特解為：y=φ(x)+Q(D)Q(x)+Q2(D)φ(x)+…+Qm(D)φ(x)。方程y=φ(x)+Q(D)y的特解可表示為一下的迭代形式：y=A1+A2+…+Ak。

其中A1=φ(x)，A2=Q(D)A1，A3=Q(D)A2，…，Ak=Q(D)Ak-1，這個(gè)迭代過(guò)程可一直下去直到某個(gè)Ak=0為止。

例：求微分方程y″-2y′+3y=x+1的特解。

1.8 各個(gè)特殊解法的利弊分析

算子法是求解常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程特解的一種有效手段，微分算子法不失為一種好方法，簡(jiǎn)單易用，計(jì)算量小。積分法也具有一般性，擴(kuò)大了可求解二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程的范圍，同降階法一樣，在f(x)為x的多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的某種組合時(shí)，也可利用迭加原理方法求解。降階法的基本思想就是通過(guò)計(jì)算一階方程，將高階方程的運(yùn)算化為低階方程的運(yùn)算。這樣既簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程，又不易出錯(cuò)。降階法的優(yōu)點(diǎn)就是使計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確性高。降階法求解更適用于高階變低階或者低階變高階的微分方程。當(dāng)f(x)為x的多項(xiàng)式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的某種組合時(shí)，利用迭加原理方法求解。拉普拉斯變換較微分方程則必須存在于f(0)與f′(0)已知的情況。對(duì)于階數(shù)很大時(shí)，某些微分方程數(shù)值解所產(chǎn)生的線(xiàn)性方程來(lái)說(shuō)，利用迭代法求解則更為合適。不同的情況使用不同的方法，每一種方法都有它的好處與局限，應(yīng)當(dāng)視情況而定。

2 結(jié)論

本文針對(duì)二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性微分方程，詳細(xì)的介紹了除待定系數(shù)法、常數(shù)變易法之外的有迭代法、升階法、降階法、算子法、積分求法、Laplace變換法、化為方程組法等解法。而且，對(duì)比分析了眾多解法的優(yōu)缺點(diǎn)及適用條件，從而得出結(jié)論，每一種方法都有它的好處與局限，應(yīng)當(dāng)視情況而定，不同的情況使用不同的方法。