磁流體湍流中的結(jié)構(gòu)和能量傳輸

萬敏平, 楊 艷

(南方科技大學(xué) 力學(xué)與航空航天工程系, 廣東 深圳 518055)

0 引 言

湍流不只局限于中性流體，非中性流體，比如導(dǎo)電流體同樣可以展現(xiàn)湍流特性。導(dǎo)電流體中的流體脈動(dòng)會(huì)引起磁場的波動(dòng)，而磁場的波動(dòng)也會(huì)強(qiáng)烈的影響流體運(yùn)動(dòng)，因此磁流體的湍流流動(dòng)并不遵守Navier-Stokes方程，而是遵守磁流體方程。相對來說，在地球上，湍流運(yùn)動(dòng)中的磁流體很少；但是，在廣闊的外太空，大部分氣體都被離子化，強(qiáng)的湍流非常普遍，并且湍流強(qiáng)度往往比地球上的湍流現(xiàn)象強(qiáng)很多個(gè)數(shù)量級。 空間等離子體流，例如太陽風(fēng)，在大尺度上可以用磁流體模型來描述[1]，因此研究磁流體湍流對研究天體物理、空間物理和等離子體物理有重要的作用[2]。不僅如此，磁流體湍流在磁約束聚變、快中子堆和聚變堆、工業(yè)中液體金屬流動(dòng)、航空航天等領(lǐng)域都有著重大的應(yīng)用[3-10]。

湍流的一個(gè)基本特征是存在不同尺度的渦旋結(jié)構(gòu)(相干結(jié)構(gòu))，而這些渦旋的相互作用使得能量在不同尺度間傳遞。磁流體湍流較中性流體湍流復(fù)雜之處，除了增加了磁場的作用，還出現(xiàn)了電流相干結(jié)構(gòu)，因?yàn)檫@些原因，磁流體湍流中不同尺度之間， 除了不同渦旋之間的動(dòng)能傳輸，還有磁能傳輸，以及動(dòng)能與磁能之間的互相耦合[2]。

早在20世紀(jì)70年代， Orszag和Tang[11]使用直接數(shù)值模擬對二維磁流體湍流中的電流和渦旋相干結(jié)構(gòu)進(jìn)行了研究，揭示了磁流體湍流中相干結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的過程；因?yàn)閺?qiáng)烈的電流片結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生，磁流體湍流展現(xiàn)出比中性湍流更強(qiáng)的間歇性。之后大量的研究探討了磁流體湍流中的相干結(jié)構(gòu)產(chǎn)生機(jī)理以及它們與能量傳輸、耗散和磁重聯(lián)等的關(guān)系。Matthaeus[12]采用數(shù)值模擬研究了磁流體重聯(lián)點(diǎn)附近電流片和“四極子”形狀渦旋結(jié)構(gòu)的生成和演化。Carbone等[13]研究了磁流體湍流中片狀或條狀結(jié)構(gòu)的形成，以及不穩(wěn)定性的影響，并指出了其與尺度間能量傳遞的聯(lián)系。Politano等[14]研究了三維磁流體湍流中電流和渦旋結(jié)構(gòu)的生成和演化，指出了磁流體湍流中這些結(jié)構(gòu)與中性湍流中渦旋結(jié)構(gòu)的不同。Kinney等[15]研究了衰減二維磁流體湍流的自相似演化，探討了相干結(jié)構(gòu)的演化和尺度間的能量傳輸?shù)年P(guān)聯(lián)。Cowley等[16]研究了磁流體湍流中電流片結(jié)構(gòu)的產(chǎn)生和湮滅，討論了電流片結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位置的限制。

早期對磁流體湍流中相干結(jié)構(gòu)的研究，由于計(jì)算和觀測條件的局限，往往所研究的湍流雷諾數(shù)不高。進(jìn)入21世紀(jì)以來，隨著超級計(jì)算機(jī)的發(fā)展和高精度觀測衛(wèi)星的使用，對磁流體湍流中結(jié)構(gòu)和跨尺度能量傳輸?shù)难芯咳〉酶嗟倪M(jìn)展。本文主要介紹近幾年有關(guān)磁流體湍流相干結(jié)構(gòu)和能量傳輸?shù)囊恍┕ぷ?。文章的主要結(jié)構(gòu)如下：第一部分介紹磁流體基本方程；第二部分介紹均勻各向同性磁流體湍流中的相干結(jié)構(gòu)和能量傳輸；第三部分是對均勻各向同性湍流的拓展，主要討論各向異性和可壓縮等情況下的影響；最后是文章的結(jié)論。

1 磁流體力學(xué)基本方程

磁流體力學(xué)(magnetohydrodynamics， MHD)是以連續(xù)介質(zhì)的觀點(diǎn)研究導(dǎo)電流體和電磁場的相互作用, 需考察流體運(yùn)動(dòng)的速度場u與介質(zhì)內(nèi)部電磁場b的耦合, 即存在流體力學(xué)方程和麥克斯韋(Maxwell)方程耦合。 不可壓磁流體力學(xué)的方程為：

?tu+u·b+ν2u

(1)

?tb=×(u×b)+η2b

(2)

(3)

式中, 密度ρ為常數(shù), 總壓pt=p+b2/2μe為流體壓力和磁壓之和,μe為磁導(dǎo)率, 洛倫茲力分解為j×b=(b·)(b/μe)-(b2/2μe),ν為黏性系數(shù),η為磁擴(kuò)散系數(shù)。

不同的磁普朗特?cái)?shù)對于流場和電磁場的性質(zhì)會(huì)產(chǎn)生一定的影響[23]，本文中如無特別說明, 主要討論P(yáng)rm～1的情況。當(dāng)Re及Rem足夠大時(shí)，磁流體呈湍流態(tài)。 電磁場和流場之間的非線性相互作用，使得磁流體湍流相較于中性流體湍流，具有更多自由度，也更加復(fù)雜，因此中性流體的湍流理論是否適用于磁流體湍流是一個(gè)值得關(guān)注的問題。

2 均勻各向同性磁流體湍流

2.1 相干結(jié)構(gòu)

磁流體湍流中存在多種相干結(jié)構(gòu), 如電流和渦旋，分別對應(yīng)電流密度μej=×b和渦量ω=×u。不同于中性流體湍流中的管狀結(jié)構(gòu)[24-26]，磁流體湍流多呈現(xiàn)片狀結(jié)構(gòu)[14, 27-28]，如圖1所示的電流密度的三維等值圖[29]，在強(qiáng)電流片附近存在強(qiáng)渦片結(jié)構(gòu)[14]。湍流場具有間歇性, 圖2所示的z方向電流密度的概率密度明顯偏離高斯分布[30-31]，將概率分布函數(shù)分為I、II、III三個(gè)部分, 分別對應(yīng)的概率密度函數(shù)的靠近中心、中部、尾部三個(gè)部分，可畫出每個(gè)部分的電流密度在空間的分布(如圖2所示)。區(qū)域I對應(yīng)的弱電流密度集中分布在磁島間的連通區(qū)域，區(qū)域II對應(yīng)的中等電流密度主要分布在靠近磁島中心的位置，而區(qū)域III對應(yīng)的強(qiáng)電流密度呈片狀結(jié)構(gòu)，可看成相鄰磁島的邊界。

圖1 磁流體湍流數(shù)值模擬中, 電流密度隨時(shí)間變化(依次從左到右, 從上到下)的三維等值圖(摘自文獻(xiàn)[29])Fig.1 Contour maps of current density at four different times (from left to right and top to bottom) in a 15263 simulation of MHD turbulence (Adapted from Ref.)[29]

(a)

(b)

(c)

(d)

湍流場的小尺度結(jié)構(gòu)一般可以由速度梯度張量來描述, 速度梯度張量u又可以進(jìn)一步分解為變形速度張量(對稱部分)和旋轉(zhuǎn)速度張量(反對稱部分):

(4)

在許多流體湍流中, 通常充滿了渦管結(jié)構(gòu), 在這些渦管中, 具有強(qiáng)擬渦能, 但變形拉伸項(xiàng)往往很小, 所以Qs和Qω的聯(lián)合概率分布函數(shù)會(huì)分散開[26,36]。與上述情況不同, 圖3中畫出了磁流體湍流中Qs和Qω的聯(lián)合概率密度以及Qk和Qj的聯(lián)合概率密度, 可以看到聯(lián)合概率密度集中在對角線上, 意味著兩個(gè)量之間存在強(qiáng)的正相關(guān)性[37-38]，可以理解為流場中Qs～Qω, 則強(qiáng)渦結(jié)構(gòu)是片狀的, 類似的情況也適用于磁流體湍流中電流片的結(jié)構(gòu)。圖4為二維Orszag-Tang問題的全粒子模擬(PIC)中, 電流密度和渦量的等值圖, 從圖上可以看出兩者的空間分布很相似, 但中間位置的強(qiáng)渦結(jié)構(gòu)和強(qiáng)電流密度大致可以看出兩者不是完全重合的, 而是會(huì)略有偏移, 而更多定量的分析[12,14,38-39]也表明強(qiáng)渦結(jié)構(gòu)傾向于在強(qiáng)電流結(jié)構(gòu)周圍形成。

(a)

(b)

(a)

(b)

對于磁流體湍流的研究, 除了理論、數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)(如磁約束的受控?zé)岷朔磻?yīng)裝置), 衛(wèi)星觀測是天體物理中一個(gè)非常有利的手段, 太陽風(fēng)是人類唯一可以直接探測的恒星風(fēng), 是研究磁流體湍流的一個(gè)天然實(shí)驗(yàn)室。在空間觀測數(shù)據(jù)中, 與磁流體湍流相干結(jié)構(gòu)直接相關(guān)的是間斷的出現(xiàn)[40-41]，因?yàn)殡娏魇沟们邢虼艌鲩g斷。有多種方法可用以捕捉觀測數(shù)據(jù)的間斷, 例如PVI (partial variance of increments)[42]、小波分析[43]等, 其中PVI因其簡潔有效性而被廣泛使用。

(5)

式中, Δb(s,τ)=b(s+τ)-b(s)

2.2 能量傳輸

能譜是湍流能量傳輸過程的一個(gè)基礎(chǔ)的亦是非常重要的統(tǒng)計(jì)量, 例如各向同性湍流典型的-5/3湍動(dòng)能譜(Kolmogorov譜)。然而對于磁流體湍流的能譜, 學(xué)術(shù)界一直存在爭議。如果將能量傳輸過程看成一系列渦的畸變, 對應(yīng)的時(shí)間尺度為渦翻轉(zhuǎn)時(shí)間, 便得到Kolmogorov -5/3譜[44-45]:

Ek=Ckε2/3k-5/3

(6)

式中,Ck為Kolmogorov常數(shù),ε為能量耗散率。阿爾芬波是磁流體的基本波模態(tài)。在20世紀(jì)70年代, 空間飛船的觀測發(fā)現(xiàn)太陽風(fēng)脈動(dòng)具有某些阿爾芬波的特性[46]，如磁場變化和速度變化相關(guān), 于是學(xué)術(shù)界開始相信小尺度的脈動(dòng)其實(shí)是沿磁場方向傳播的阿爾芬波包, 而級串過程是由傳播方向相反的阿爾芬波包之間的非線性相互作用導(dǎo)致。以阿爾芬時(shí)間作為特征時(shí)間，便得到Iroshnikov-Kraichnan -3/2譜[47-48]：

Ek=CIK(εVA)1/2k-3/2

(7)

式中,CIK為常數(shù),VA為阿爾芬波速。目前學(xué)術(shù)界對能譜服從Kolmogorovk-5/3或者Iroshnikov-Kraichnank-3/2并沒有定論, 實(shí)際可能是渦畸變與阿爾芬波包兩者之間相互競爭的結(jié)果, 于是將兩者結(jié)合得到特征時(shí)間[49-50]。

經(jīng)典的能量級串的概念提供了唯象理論中導(dǎo)出Kolmogorov譜或者Iroshnikov-Kraichnan譜的簡捷方法, 但能譜并不是慣性區(qū)行為的充分標(biāo)志, 能譜僅是2階統(tǒng)計(jì)矩。Kolmogorov局部各向同性湍流理論提出慣性區(qū)的高階速度結(jié)構(gòu)函數(shù)的線性標(biāo)度律,然而湍流場的間歇性使得線性標(biāo)度律只對于低階結(jié)構(gòu)函數(shù)(p≤3)成立。Kolmogorov-Yaglom定律[20, 51]將三階結(jié)構(gòu)函數(shù)和能量耗散率關(guān)聯(lián), Politano和Pouquet[52]將其推廣至不可壓各向同性磁流體湍流:

(8)

圖5 二維等離子體湍流全粒子模擬中, Elsasser變量三階結(jié)構(gòu)函數(shù)隨間距r的變化, 其中黑實(shí)線表示線性關(guān)系 (摘自文獻(xiàn)[57]). Fig.5 Mixed third-order moments of Elsasser fields increments as a function of separation length r for a PIC simulation of 2D plasma turbulence. A linear fit is also indicated as a black solid line (Adapted from Ref.[57])

湍流不同尺度間的能量傳輸是諸多湍流理論和湍流模型的基礎(chǔ), 盡管實(shí)驗(yàn)可以測量從所有尺度傳遞給某一給定尺度的總能量, 但卻很難測量能量傳遞過程的細(xì)節(jié), 如兩個(gè)給定尺度間的能量傳輸。根據(jù)Eyink[58]對能量傳輸局部性的定義, 對于通過尺度l的能流, 如果尺度Δ?l對其貢獻(xiàn)可忽略, 則能量傳輸為紅外局部的 (infrared local)；如果尺度δ?l對其貢獻(xiàn)可忽略, 則能量傳輸為紫外局部的 (ultraviolet local)。值得注意, 這里的能量傳輸?shù)木植啃圆煌谙嗷プ饔玫木植啃?。Kraichnan[59]指出能量傳輸是由3個(gè)波數(shù)(k,p,q)的脈動(dòng)共同作用引起的, 波數(shù)滿足k+p+q=0, 稱為三波作用 (triadic interaction)。如果相互作用的三個(gè)波數(shù)的模在同一范圍, 則為局部三波作用；否則為非局部三波作用。局部三波作用必然產(chǎn)生局部能量傳輸, 這里僅限于討論能量傳輸?shù)木植啃?。對流體湍流的能量傳輸過程, 已有很多研究[60-63]表明動(dòng)能傳輸是局部的, 類似的研究在磁流體湍流中相對少, 一方面, 除了動(dòng)能, 還需要考慮磁能, 以及兩者之間的轉(zhuǎn)化。另一方面, 背景磁場沒法通過伽利略變換消除, 因此可能導(dǎo)致大尺度和小尺度之間的相互作用。學(xué)者們采用譜空間的球殼模型[64-65]討論了不可壓磁流體湍流能量傳輸?shù)木植啃? 研究表明同場間 (如動(dòng)能到動(dòng)能, 磁能到磁能)能量傳輸是局部的, 而不同場間 (如動(dòng)能到磁能)能量傳輸?shù)木植啃砸蕾囉谑欠裼型饬︱?qū)動(dòng)、是否有外加磁場等。圖6是由球殼模型得到的動(dòng)能、磁能各尺度間的能量傳輸示意圖, 可以看到如果在大尺度速度場加力, 動(dòng)能和磁能之間的傳輸明顯是非局部的; 如果是衰減湍流, 則動(dòng)能和磁能之間的傳輸是局部的。Aluie和Eyink[67]采用濾波方法對該問題進(jìn)行研究, 指出動(dòng)能和磁能之間的傳輸亦是局部的, 與球殼模型的結(jié)果不一致是因?yàn)閮烧卟〝?shù)帶的選取方式不一樣。

(a) 大尺度速度場加力的數(shù)值模擬

(b) 自由衰減磁流體湍流的數(shù)值模擬

圖7 二維Hall磁流體湍流的亞格子能流的等值圖 (摘自文獻(xiàn)[72])Fig.7 Contour map of subgrid-scale energy flux in a simulation of 2D Hall magnetohydrodynamic turbulence (Adapted from[72])

(a)

(b)

3 模型擴(kuò)展

該部分主要討論,不可壓、各向同性等條件不滿足的情況下的性質(zhì)。

3.1 各向異性

各向異性相對各向同性更為復(fù)雜, 然而非各向同性磁流體湍流的研究是非常由必要的。例如, 宇宙空間中普遍存在的天體磁場(行星磁場、太陽磁場、行星際磁場等), 背景磁場會(huì)導(dǎo)致非各向同性的產(chǎn)生, 從而影響湍流的結(jié)構(gòu)及能量傳輸, 其效果在一定程度上類似于2011年Lamriben等[75]第一次從實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)湍流中能量傳輸?shù)母飨虍愋?。這里介紹背景磁場下兩種各向異性:

圖9 采用太陽風(fēng)湍流的Cluster衛(wèi)星觀測數(shù)據(jù), 分析磁壓縮性C‖隨波數(shù)的變化. 水平虛線表示的各向同性情況下, 磁壓縮性C‖為1/3 (摘自文獻(xiàn)[78])Fig.9 Magnetic compressibility C‖, computed by using high cadence in situ magnetic field measurements from the Cluster spacecraft missions, against the normalized wavenumber. The horizontal dashed line at C‖=1/3 indicates the isotropic state (Adapted from Ref.[78])

圖10 背景磁場B0/δb=8的三維磁流體湍流, 垂直于背景磁場(左)及平行于背景磁場(右)的截面上電流密度等值圖 (摘自文獻(xiàn)[81])Fig.10 Contour maps of current density in perpendicular (left) and parallel (right) cross sections from 3D simulation of MHD turbulence with an applied background magnetic field B0/δb=8 (Adapted from Ref.[81])

圖11 利用二階結(jié)構(gòu)函數(shù)得到的平行及垂直于磁場的尺度l‖及l(fā)⊥之間的關(guān)系. 黑色棱形點(diǎn)對應(yīng)全局平均磁場情形; 灰色方形點(diǎn)對應(yīng)局部平均磁場情形. 圖中虛線為l‖=l⊥, 代表尺度無關(guān)的各向異性, 點(diǎn)線為 代表臨界平衡尺度相關(guān)的各向異性 (摘自文獻(xiàn)[86])Fig.11 Increments l‖ and l⊥obtained by identifying the scales at which the second-order structure functions have the same value. Black diamonds and grey squares indicate the anisotropy with respect to the global or the local mean magnetic field, respectively. The two reference straight lines indicate scale-independent anisotropy (l‖=l⊥, dashed line) and the critical balance scale-dependent anisotropy dotted line) (Adapted from Ref.[86])

3.2 壓縮性

當(dāng)馬赫數(shù)很小時(shí), 磁流體湍流可以近似看做不可壓的, 大多實(shí)驗(yàn)室等離子體即是近似不可壓的。大部分的空間和天體等離子體是可壓的, 例如星際物質(zhì), 因?yàn)闇囟群艿? 所以其對應(yīng)的馬赫數(shù)往往很大, 可以達(dá)到幾十的量級甚至更大。流場的壓縮性可以通過·u來衡量, 運(yùn)用Helmholtz分解, 將速度場分解為剪切部分和脹壓部分, 進(jìn)而討論剪切過 程、脹壓過程及兩者之間的相互作用[70,87]。在磁流體力學(xué)中, 還需要考慮磁場的作用。相較于不可壓磁流體湍流, 可壓縮磁流體湍流中壓強(qiáng)做功是非常有效的增加熱能的方式[71]。

(b) 局部標(biāo)度指數(shù), 箭頭方向表示階數(shù)增加

(c) 密度結(jié)構(gòu)函數(shù)的標(biāo)度指數(shù)

4 結(jié) 論

等離子體湍流中, 帶電粒子和電磁場的相互作用非常復(fù)雜, 因此要精確地描述等離子體湍流極其困難。為了研究等離子體流, 更完善的模型可以給出等離子體流更全面的性質(zhì)。然而一個(gè)模型是否合適, 取決于限制條件、應(yīng)用范圍、計(jì)算能力等多個(gè)因素, 實(shí)際只能根據(jù)不同的研究問題, 采用不同的近似方法進(jìn)行描述。磁流體是描述等離子體的一個(gè)模型, 只有在所考慮的問題滿足一定的條件時(shí), 等離子體可簡化為磁流體, 比如研究問題的尺度遠(yuǎn)大于帶電粒子的軌道半徑, 只討論低頻過程。磁流體力學(xué)利用從宏觀到微觀的決定論, 側(cè)重于等離子體宏觀大尺度流體屬性。

在磁流體工程應(yīng)用中，磁雷諾數(shù)Rem?1，感應(yīng)磁場可忽略，即認(rèn)為外加磁場未受到流動(dòng)的干擾，其控制方程實(shí)際是經(jīng)過了電磁效應(yīng)源項(xiàng)修正后的N-S方程，在一定程度上簡化了文中采用的方程(考慮了流場與磁場的雙向作用)。盡管如此，低磁雷諾數(shù)磁流體湍流也表現(xiàn)出非常重要的特性，如磁誘導(dǎo)的各向異性[93-94]、k-3的能譜[95]、能量的反向傳遞[96]等，有關(guān)低磁雷諾數(shù)更全面的綜述可參見文獻(xiàn)[97]，我們文中主要概述了在空間、天體物理常見的高磁雷諾數(shù)磁流體湍流的部分研究。

和磁流體湍流理論相比，中性流體湍流理論的發(fā)展更完備，但中性流體湍流的很多理論并不能直接推廣至磁流體湍流。為了研究磁流體湍流這一復(fù)雜系統(tǒng)，須借助實(shí)驗(yàn)、衛(wèi)星觀測、數(shù)值模擬和理論分析等多種手段，例如，實(shí)驗(yàn)方面，受控?zé)岷朔磻?yīng)問題對其發(fā)展起了關(guān)鍵作用；觀測方面，高時(shí)空分辨率的衛(wèi)星計(jì)劃(如NASA在2015年實(shí)施的Magnetospheric Multiscale衛(wèi)星計(jì)劃)為我們提供了一個(gè)天然實(shí)驗(yàn)室。

磁流體湍流是一個(gè)時(shí)間多尺度、空間多尺度的物理現(xiàn)象, 而各尺度間的能量傳輸是將多尺度聯(lián)合起來的關(guān)鍵, 文章也正是圍繞能量傳輸以及與能量傳輸相關(guān)的結(jié)構(gòu)展開。需要指出的是，本文僅介紹了小部分和磁流體湍流結(jié)構(gòu)與能量傳輸相關(guān)的工作。另一方方面，盡管在磁流體湍流理論、實(shí)驗(yàn)、觀測、數(shù)值模擬方面已有長足的發(fā)展, 但還有許多問題有待進(jìn)一步研究, 如對于磁流體湍流模型和高超聲速磁流體湍流的研究相對較少；又比如對速度場和磁場非平衡、存在交叉螺旋度的湍流缺乏足夠的認(rèn)識，甚至對其能譜和標(biāo)度率都存在爭議。