多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)建模及全局解析振型分析*

王鳳祥，郝淑英，胡文華

(1.天津理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院天津市先進(jìn)機(jī)電系統(tǒng)設(shè)計(jì)與智能控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室·天津·300384;2.天津理工大學(xué) 機(jī)電工程國(guó)家級(jí)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心 ·天津·300384)

0 引 言

多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于航空航天工程等領(lǐng)域，例如：空間機(jī)械手、衛(wèi)星天線、國(guó)際空間站結(jié)構(gòu)[1]、能量采集器[2]。圖1中的空間站機(jī)械手[3]和工業(yè)機(jī)械臂具有多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的典型特征。深入研究這些結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性是所在系統(tǒng)進(jìn)行參數(shù)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)控制的關(guān)鍵[4]。

(a)空間站機(jī)械手

(b)工業(yè)機(jī)械臂圖1 典型多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)Fig.1 The typical multi-beam composite structures

常見的多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)有L型梁、T型梁、Z型梁和門型梁，國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)這些結(jié)構(gòu)的平面運(yùn)動(dòng)模型的頻率或振型進(jìn)行了研究。Balachandran和Nayfeh[5]利用拉格朗日方程對(duì)L型結(jié)構(gòu)的平面彎曲振動(dòng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)分析。Warminski等人[6]研究了兩個(gè)正交方向上具有不同柔度的L型梁的振型相互作用。Narayanan等人[7]研究了三自由度T型結(jié)構(gòu)在簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)。Uddin等人[8]指出T型壓電懸臂梁能夠?qū)h(huán)境振動(dòng)能量轉(zhuǎn)化為生物醫(yī)學(xué)設(shè)備的電能。Wei等人[9]對(duì)帶末端質(zhì)量的L型梁在不同全局模態(tài)下的動(dòng)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行了研究。Chen等人[10]通過(guò)三次多項(xiàng)式近似地求出了L型梁的撓度[11-13]。Erturk等人[14]設(shè)計(jì)了L型壓電能量采集器，指出該型采集器具有較寬的能量采集頻帶。三梁結(jié)構(gòu)也引起了研究者的廣泛關(guān)注[15-17]。Filipich等人[18]研究了附有扭簧和集中質(zhì)量的門型框架的自由振動(dòng)。Pan等人[19]討論了五種典型的門型框架屈曲問(wèn)題。此外，工程中也常用到折疊結(jié)構(gòu)，如機(jī)械臂和旋臂起重機(jī)。Guan和Zhu[20]指出Z型熱微致動(dòng)器與傳統(tǒng)V型致動(dòng)器相比有一定的優(yōu)勢(shì)。Mardanpour和Hodges[21]將機(jī)翼等效成Z型結(jié)構(gòu)研究其變形過(guò)程。在結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究和控制中，結(jié)構(gòu)振型的精度至關(guān)重要。Kim和Yoo[22]研究了多參考系對(duì)折角旋轉(zhuǎn)梁結(jié)構(gòu)振型分析收斂性和準(zhǔn)確性的影響。Tripathi和Bajaj[23]用有限元法計(jì)算了幾種多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的振型，并且分析了振型誤差。Wei等人[24]建立了非線性節(jié)點(diǎn)連接的多梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型。Zhang等人[25]用實(shí)驗(yàn)方法定性地驗(yàn)證了所獲得的Z型梁的解析振型。梁結(jié)構(gòu)的非平面運(yùn)動(dòng)控制方程中通常存在較多耦合變量，因此，其非平面動(dòng)力學(xué)特性比平面動(dòng)力學(xué)特性更為復(fù)雜。Ho等人[26]分析了簡(jiǎn)支梁的彎曲和縱向變形。Silva和Glynn[27-28]建立了強(qiáng)迫振動(dòng)下梁的非平面運(yùn)動(dòng)控制方程。Zhang[29]分析了懸臂梁結(jié)構(gòu)的非平面振動(dòng)特性。Georgiades等人[30]研究了L型梁的非平面線性振型。

上述文獻(xiàn)在多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的平面或非平面運(yùn)動(dòng)模型上做了很多工作，但很少涉及解析振型的定量驗(yàn)證。本文利用哈密頓原理建立多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)模型，得出運(yùn)動(dòng)控制方程及其邊界條件，給出了多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的線性頻率和全局解析振型的求解方法，提出了在數(shù)值結(jié)果的基礎(chǔ)上通過(guò)MAC和頻率對(duì)比對(duì)全局解析振型進(jìn)行了定量驗(yàn)證的方法，以L型梁和Z型梁為例說(shuō)明了求解及驗(yàn)證全局解析振型的有效性。本文提出的一種求解多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的全局解析振型并進(jìn)行定量驗(yàn)證的方法，對(duì)相關(guān)工程應(yīng)用中多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的參數(shù)設(shè)計(jì)和運(yùn)動(dòng)控制具有指導(dǎo)意義。

1 理論建模

1.1 位置向量

多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)是指多根直梁組成的復(fù)合結(jié)構(gòu)，常見的形式有L型梁、V型梁、Z型梁以及門型梁等結(jié)構(gòu)。圖2中，(a)為L(zhǎng)型梁結(jié)構(gòu)，(b)為Z型梁結(jié)構(gòu)，坐標(biāo)OXYZ表示慣性坐標(biāo)，oixiyizi是結(jié)構(gòu)中第i部分的局部坐標(biāo)。

(a)L型梁

(b)Z型梁圖2 多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Scheme of multi-beam composite structures

多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中各部分的位置向量可表示為

(1)

式中：Πi見附錄A；ui、vi、wi分別表示多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中各部分在xi，yi和zi軸方向的位移；Li是第i部分的長(zhǎng)度。n是復(fù)合梁結(jié)構(gòu)包含的直梁個(gè)數(shù)。如果只考慮復(fù)合梁結(jié)構(gòu)在平面內(nèi)位移，公式(1)可簡(jiǎn)化為平面運(yùn)動(dòng)模型。當(dāng)n=2時(shí)，公式(1)可用于描述V型梁和L型梁；當(dāng)n=3時(shí)，公式(1)可用于描述Z型梁和門型梁。

1.2 系統(tǒng)能量

多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中各部分的動(dòng)能可表示為

Ti=

i∈{1,2,…,n}

(2)

式中：符號(hào)| |表示對(duì)矢量取模，ρi是多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中第i部分的密度；Jix、Jiy、Jiz分別表示沿x、y、z方向的主質(zhì)量慣性矩；ωix、ωiy和ωiz分別表示沿x、y、z方向的角速度；Ai是橫截面積；Kix是扭轉(zhuǎn)剛度；Kiy和Kiz分別表示沿y、z方向的彎曲剛度；κix、κiy、κiz分別表示沿x、y、z方向的曲率。

多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中各部分的勢(shì)能可表示為

(3)

式中σi和εi分別表示多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中第i部分的應(yīng)力和應(yīng)變。

1.3 控制方程及邊界條件

將系統(tǒng)動(dòng)能和勢(shì)能代入哈密頓方程，有

(4)

式中：Hi是為方便和簡(jiǎn)化計(jì)算而引入的符號(hào)。

通過(guò)變分計(jì)算，得出多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制方程及邊界條件如下

(5)

(6)

式中：i∈{1,2,…,n}，γi∈{ui,vi,wi,θi},θi表示多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)中第i部分繞各自xi軸的扭轉(zhuǎn)角度，單撇號(hào)表示對(duì)xi求一次偏導(dǎo)數(shù)，雙撇號(hào)表示對(duì)xi求兩次偏導(dǎo)數(shù)。

2 全局解析振型

2.1 理論分析

對(duì)小幅振動(dòng)，可以忽略式(5)中的非線性項(xiàng)，得到多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的線性運(yùn)動(dòng)控制方程如下

(7)

(8)

對(duì)式(7)、(8)中的變量進(jìn)行變量分離，可以得到

(9)

根據(jù)Georgiades等人[28]的研究，整個(gè)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)是同步的。因此

(10)

將式(9)、(10)代入式(7)、(8)可以得到如下振型

(11)

2.2 數(shù)值分析

本節(jié)以平面運(yùn)動(dòng)模型說(shuō)明利用有限元法分析多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的振型和頻率。令結(jié)構(gòu)中每個(gè)單元包含兩個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)節(jié)點(diǎn)具有三個(gè)自由度。例如，第k個(gè)單元的局部位移用第ζ個(gè)節(jié)點(diǎn)和第η個(gè)節(jié)點(diǎn)定義并表示為

(12)

令長(zhǎng)度為lk的第k個(gè)元素的形函數(shù)Nk為

(13)

(14)

(15)

為了獲得質(zhì)量和剛度的總矩陣，引入定位矩陣Lk和全局廣義坐標(biāo)p：

(16)

(17)

利用式(16)和(17)將每個(gè)節(jié)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)δk表示為

δk=Lkp

(18)

將單元的動(dòng)能和勢(shì)能代入到哈密頓方程：

(19)

通過(guò)變分計(jì)算并簡(jiǎn)化式(19)，得到

(20)

式中：M和K分別由式(21)和(22)表示

(21)

(22)

給定多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的材料和幾何參數(shù)，由式(20)可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)的線性頻率和數(shù)值振型。

2.3 分析實(shí)例

2.3.1 L型梁

圖3 L型梁的全局解析振型Fig.3 Global analytical modes of L-shaped beams

2.3.2 Z型梁

本節(jié)以Z型梁為例說(shuō)明多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的全局解析振型的定量和定性驗(yàn)證方法。令Z型梁一端固定一端自由，其幾何和材料參數(shù)為：Ei=69GPa，ρi=2730(kg·m-3)，μi=0.33，Li=0.1m，bi=1.2×10-2m，hi=1×10-3m，i={1，2,3}，基于式(11)和式(20)可以求解出結(jié)構(gòu)的線性頻率。

圖4給出了Z型梁的基于式(11)和式(20)獲得的前三階頻率之間的相對(duì)誤差。圖中，f表示頻率，上標(biāo)T是解析結(jié)果，上標(biāo)N是數(shù)值結(jié)果，下標(biāo)是頻率的階數(shù)。從圖中可以看出，解析頻率與數(shù)值頻率最大相對(duì)誤差在±0.001以內(nèi)，這表明兩種結(jié)果具有良好的一致性。

圖4 Z型梁的前三階頻率相對(duì)誤差Fig.4 The relative errors of the first three order frequencies of a Z-shaped beam

圖5 Z型梁的前四階解析振型Fig.5 The first four mode shapes of Z-shaped beams

圖6 前五階振型的MACFig.6 MAC of the first five order mode shapes

圖7(a)所示的實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)通常用來(lái)獲取多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的頻率和振型。信號(hào)發(fā)生器輸出激勵(lì)信號(hào)經(jīng)過(guò)功率放大器后輸出到激振器，激振器振動(dòng)多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)，數(shù)據(jù)采集器和傳感器檢測(cè)并記錄結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)。圖7(b)是Z型梁的實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)圖片。圖中，鋁合金Z型梁安裝在激振器上，應(yīng)變片貼在Z型梁的固定端，非接觸位移傳感器放置在Z型梁的側(cè)面。應(yīng)變片和非接觸位移傳感器分別用來(lái)測(cè)量結(jié)構(gòu)的面內(nèi)外位移。

(a)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)示意圖

圖8給出了Z型梁在折疊角為60°時(shí)的振型。圖8(a)、(b)和(c)分別是第一階面內(nèi)的解析振型、數(shù)值振型和實(shí)驗(yàn)振型，圖8(d)、(e)和(f)分別是第一階面外的解析振型、數(shù)值振型和實(shí)驗(yàn)振型。圖中，解析振型由式(11)計(jì)算所得，數(shù)值振型由有限元軟件ANSYS獲得，實(shí)驗(yàn)振型由圖7所示系統(tǒng)進(jìn)行純模態(tài)實(shí)驗(yàn)拍照所得。從圖中可以看出，三種方式所獲得的結(jié)果基本一致，這定量地驗(yàn)證了Z型梁全局解析振型的正確性。

圖8 Z型梁的第一階面內(nèi)外振型Fig.8 The first in-plane and out-of-plane order mode shapes of a Z-shaped beam

本節(jié)給出了關(guān)于多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)全局解析振型的求解方法，提出了基于數(shù)值分析以及實(shí)驗(yàn)分析的全局解析振型定量定性驗(yàn)證手段，以L型梁和Z型梁為例介紹了關(guān)于多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的頻率的解析方法和數(shù)值方法的誤差分析，以及多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)全局解析振型的定性定量分析方法。

3 非線性模型

基于上一節(jié)中得到并驗(yàn)證的全局解析振型，利用伽遼金法，將公式(4)中各位移變量進(jìn)行截?cái)啵?/p>

(23)

式中：qj是第j階的無(wú)量綱廣義坐標(biāo)；φj是第j階的振型；m是截?cái)嚯A數(shù)；ε是小參數(shù)。

將式(23)代入式(4)，有

=0

(24)

引入無(wú)量綱時(shí)間：

(25)

將式(25)代入式(24)，得到

(26)

考慮系統(tǒng)受小幅激勵(lì)情況，有

(27)

將式(27)代入式(26)，考慮阻尼，得到無(wú)量綱的m自由度非線性系統(tǒng)：

(28)

式中：ωj表示第j階的無(wú)量綱頻率；μj表示第j階的無(wú)量綱阻尼系數(shù)；Non表示非線性項(xiàng)；ζ∈{1,2,…,m}；Fj表示第j階的無(wú)量綱外激勵(lì)幅值分量；ω表示無(wú)量綱外激勵(lì)頻率。

本節(jié)利用伽遼金方法對(duì)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行截?cái)啵玫搅讼到y(tǒng)的常微分運(yùn)動(dòng)控制方程，可為多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的非線性動(dòng)力學(xué)特性研究提供基礎(chǔ)。顯然，式(28)中各參數(shù)與式(23)中引入的全局解析振型φj有密切關(guān)系，因此，解析振型的準(zhǔn)確性對(duì)系統(tǒng)非線性動(dòng)力學(xué)特性分析有很大影響。

4 結(jié) 論

本文給出了多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的位移場(chǎng)的一般表達(dá)式，通過(guò)哈密頓原理推導(dǎo)出多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制方程及其邊界條件的通式，給出了多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的全局解析振型的一般求解過(guò)程，并提出了基于數(shù)值分析和實(shí)驗(yàn)分析對(duì)多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)的全局解析振型進(jìn)行定性定量驗(yàn)證的方法，以L型梁和Z型梁為例利用頻率誤差分析、振型的定性比較以及定量MAC分析說(shuō)明了本文提出的全局解析振型求解驗(yàn)證方法的正確性，進(jìn)一步利用伽遼金方法和全局解析振型對(duì)多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)進(jìn)行截?cái)啵玫搅似鋵?duì)應(yīng)離散系統(tǒng)的一般形式，為后續(xù)研究非線性動(dòng)力學(xué)特性提供了理論基礎(chǔ)。

解析振型的準(zhǔn)確性對(duì)利用伽遼金方法截?cái)嘞到y(tǒng)進(jìn)而進(jìn)行非線性動(dòng)力學(xué)特性分析有很大影響。本文提出的全局解析振型求解驗(yàn)證方法，可以提高基于振型對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行截?cái)嗟玫降姆蔷€性離散系統(tǒng)的準(zhǔn)確性，對(duì)工程中多梁復(fù)合結(jié)構(gòu)非線性動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的參數(shù)影響規(guī)律研究有重要意義，該方法也可以拓展應(yīng)用于對(duì)更一般形式的復(fù)合結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)研究。

(A1)

(A2)

(A3)

附錄B

(B1)

(B2)

(B3)

(B4)

(B5)

(B6)

(B7)

(B8)

附錄C

(C1)

(C2)

(C3)

式中：ωφ表示與振型φ對(duì)應(yīng)的頻率。