基于幅頻響應(yīng)特性的半球諧振子頻率裂解與固有剛度軸方位角測(cè)定方法*

李紹良，楊 浩，夏 語，包旭光，段 杰，趙萬良

(1. 上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109；2.上海慣性工程技術(shù)研究中心·上?！?01109)

0 引 言

半球諧振陀螺是利用半球殼唇緣的徑向駐波進(jìn)動(dòng)效應(yīng)來感測(cè)基座旋轉(zhuǎn)的一種新型固體振動(dòng)陀螺。由于半球諧振陀螺儀無運(yùn)動(dòng)部件，對(duì)磁場(chǎng)不敏感，潛在的失效因素少，因而具有精度高、可靠性高、穩(wěn)定性好、工作壽命長(zhǎng)、體積小、功耗低、抗核輻射、啟動(dòng)時(shí)間短、工作溫度范圍大、對(duì)線性過載不敏感等優(yōu)點(diǎn)[1]，能夠滿足高精度長(zhǎng)壽命慣性導(dǎo)航的需求，在深空探測(cè)、衛(wèi)星平臺(tái)、慣性導(dǎo)航、車輛定位定向、定向探井、航海航空以及天文望遠(yuǎn)鏡等多個(gè)領(lǐng)域具有廣泛的應(yīng)用前景[2-5]。

研究表明，影響半球諧振陀螺性能指標(biāo)的主要因素是諧振子加工誤差及材料各向異性引起的頻率裂解(也稱頻差)[6-8]。由于半球諧振子存在圓度、同軸度等加工形位偏差，以及諧振子材料圓周向密度、楊氏模量等的各向異性，會(huì)使得諧振子二階振型出現(xiàn)兩個(gè)相互間展成45°的固有軸，這兩個(gè)不同固有軸的二階彎曲振型對(duì)應(yīng)的固有頻率分別達(dá)到極大和極小值，兩個(gè)固有頻率差稱作頻率裂解，兩個(gè)固有頻率軸稱之為固有剛度軸。如果對(duì)諧振子的激勵(lì)不沿固有軸方向，頻率裂解會(huì)使諧振子振型的駐波向固有軸緩慢漂移直至振動(dòng)沿固有軸方向，從而導(dǎo)致陀螺漂移。

目前大量文獻(xiàn)給出了頻率裂解的公式推導(dǎo)[9-13]，然而對(duì)頻率裂解與固有剛度軸方位角的測(cè)定方法研究相對(duì)較少。俄羅斯馬特維耶夫提出了基于幅相頻特性描繪法的固有剛度軸方位角和頻率裂解的確定方法[6]，在諧振子圓周方向上布局兩個(gè)激勵(lì)電極和檢測(cè)電極，靜電激勵(lì)后通過兩個(gè)傳感器得出兩個(gè)通道的幅頻特性和相頻特性，其裝置制造難度大，算法復(fù)雜。李巍等提出采用固定位置安裝兩組激勵(lì)電極以及兩組位移傳感器對(duì)頻率裂解以及固有剛性軸位置進(jìn)行測(cè)試的方案[14]。本文提出一種基于幅頻響應(yīng)特性的諧振陀螺頻率裂解與固有剛度軸方位角測(cè)定方法，搭建了試驗(yàn)裝置，采用壓電激振臺(tái)在諧振子頻率附近進(jìn)行掃頻，采用多普勒激光測(cè)振儀測(cè)得諧振子振動(dòng)信號(hào)幅頻響應(yīng)曲線，從而解算得出諧振陀螺頻率裂解與固有剛度軸方位角。

1 半球諧振子頻率裂解與固有剛性軸確定方法理論

1.1 頻率裂解與剛性軸的理論分析

半球諧振子是軸對(duì)稱結(jié)構(gòu)，一般情況下，半球諧振子工作在四波腹諧振模態(tài)，即n=2階振型，如圖1所示。在理想情況，半球諧振子的驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)是簡(jiǎn)并的，即諧振子在圓周向0～360°范圍內(nèi)的諧振頻率是一致的，半球殼結(jié)構(gòu)諧振子的諧振圓頻率為[6]

(1)

式中l(wèi)(k)取決于諧振子結(jié)構(gòu)的主振型，對(duì)于n=2的四波腹振型，l(k)=2.62，h、R分別為諧振子的殼厚度、中線半徑，E、γ、ρ分別為材料的彈性模量、泊松比、材料密度。

圖1 半球諧振子四波腹(n=2)振型示意圖Fig.1 Schematic diagram of the hemispherical resonator’s mode shape (n=2)

然而半球諧振子的非理想性，由于材料的各向異性和諧振子制造工藝偏差等因素，使得半球諧振子在工作時(shí)，驅(qū)動(dòng)模態(tài)與檢測(cè)模態(tài)的頻率不一致，偏差的四次諧波的存在導(dǎo)致諧振子中出現(xiàn)兩個(gè)相互間物理角度展成45°夾角的固有軸系，在諧振子的動(dòng)力學(xué)方程中，這兩個(gè)軸系是相互正交的，諧振子沿這兩個(gè)軸振動(dòng)的固有頻率為圓周方向的極大值和極小值，如圖2所示。振動(dòng)圓頻率的極大值和極小值的頻率差稱為固有頻率的裂解，頻率裂解定義為

(2)

式中ω1、ω2、f2、f1分別為固有剛度主軸的振動(dòng)圓頻率和頻率，取ω2>ω1。

圖2 諧振子頻率裂解與固有剛度軸分布示意圖Fig.2 Schematic diagram of resonator’s frequency splitting and normal-mode Axis Azimuth

在半球諧振陀螺中，當(dāng)n=2振型的初始方位與固有剛度軸的方位重合時(shí)，振動(dòng)駐波才能穩(wěn)定存在，否則會(huì)造成駐波漂移，甚至破壞駐波。因此，在陀螺的裝配過程中，往往需要將陀螺的激勵(lì)電極、檢測(cè)電極等與固有剛度主軸進(jìn)行精確對(duì)準(zhǔn)，兩者之間的對(duì)準(zhǔn)角度誤差與頻率裂解會(huì)造成陀螺輸出信號(hào)的漂移[15]。

1.2 基于幅頻響應(yīng)的頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定方法理論分析

為了激發(fā)出半球諧振陀螺四波腹的振動(dòng)駐波，在諧振子水平方向上施加橫向的正弦振動(dòng)，諧振子夾持固定在激振臺(tái)上，激振臺(tái)在諧振子駐波頻率附近進(jìn)行掃頻，利用諧振子沿圓周角質(zhì)量分布不均的諧波分量實(shí)現(xiàn)四波腹振型(n=2)的激振。采用多普勒激光測(cè)振儀在諧振子水平方向上采集實(shí)時(shí)振動(dòng)信號(hào)，對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行傅里葉變換處理，可以實(shí)現(xiàn)諧振子頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定，其理論分析如下。

半球諧振子動(dòng)力學(xué)模型采用基于基?；舴?李雅夫假設(shè)的薄殼動(dòng)力學(xué)模型，在半球諧振子水平方向上施加正弦振動(dòng)，假定施加的正弦振動(dòng)在X、Y軸坐標(biāo)系中的表達(dá)式為

x=x0cosλt
y=y0cosλt

(3)

式中，x0、y0分別為正弦振動(dòng)在X軸、Y軸上的振動(dòng)位移，λ為正弦振動(dòng)頻率。

諧振子在圓周方向上質(zhì)量分布不均勻性可以用傅里葉展開式表示，研究證明，當(dāng)諧振子質(zhì)量沿圓周角分布存在一次、二次、三次諧波時(shí)，振動(dòng)波形會(huì)產(chǎn)生雜散分量，因此令諧振子質(zhì)量分布的不均勻性表示為

ρ=ρ0[1+ε1cos(φ-φ1)+ε2cos2(φ-φ2)+

ε3cos3(φ-φ3)]

(4)

式中ε1、ε2、ε3分別為質(zhì)量缺陷前3次諧波的相對(duì)偏差值，φ1、φ2、φ3分別為與之對(duì)應(yīng)的諧波主軸方位角。

則主振型的動(dòng)力學(xué)方程可以表示為[6]

(B+C)ε1(x0cosφ1-y0sinφ1)-Bε3(x0cos3φ3+

y0sin3φ3)+(A+C)ε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)]

y0sinφ1)+Aε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)+(C-

B)ε3(x0cos3φ3-y0sin3φ3)]

(5)

式中

(6)

其中U(θ)、V(θ)、W(θ)為確定不可拉伸薄殼二階固有振型振動(dòng)的瑞利函數(shù)，

(7)

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]

(8)

在水平方向上對(duì)振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，定義諧振子初始定位安裝方位角φ0=0，諧振子在圓周0°～360°方向上轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)角度為φr，振動(dòng)固有剛度主軸的方位角為φ，令信號(hào)檢測(cè)方向與激振方向相同，則在該軸向上的振動(dòng)信號(hào)為

w(φc)=2[cos2(φ-φr)+qsin2(φ-φr)]

(9)

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]cos2(φ-φr)+

φd)+0.12ε3sλcos(3φ3-φd)]sin2(φ-φr)}

(10)

2 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)與分析

2.1 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)

實(shí)驗(yàn)中采用壓電激振臺(tái)對(duì)半球諧振子進(jìn)行掃頻激振，采用多普勒激光測(cè)振儀對(duì)諧振子的振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行檢測(cè)，實(shí)驗(yàn)裝置設(shè)計(jì)如圖3所示。

圖3 實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)物圖Fig.3 The picture of experimental setup

首先將諧振子可靠夾持在激振臺(tái)的轉(zhuǎn)接工裝上，轉(zhuǎn)接工裝可以轉(zhuǎn)動(dòng)，從而使得半球諧振子沿對(duì)稱軸方向轉(zhuǎn)動(dòng)，工裝上設(shè)置刻度碼盤，方便讀取轉(zhuǎn)動(dòng)的角度值。以諧振子四波腹振動(dòng)模態(tài)頻率為中心，在一定頻段范圍內(nèi)進(jìn)行掃頻驅(qū)動(dòng)，記錄激光測(cè)振儀的檢測(cè)信號(hào)，實(shí)驗(yàn)裝置中可以設(shè)置激振臺(tái)掃頻范圍、步進(jìn)、振動(dòng)強(qiáng)度等參數(shù)，并輸出振動(dòng)時(shí)域信號(hào)、傅里葉轉(zhuǎn)換后頻域信號(hào)等測(cè)試信號(hào)。在實(shí)驗(yàn)過程中，首先將固定諧振子的碼盤旋轉(zhuǎn)至0°對(duì)準(zhǔn)激光測(cè)振儀，在諧振子諧振頻率范圍內(nèi)進(jìn)行掃頻激振，用激光測(cè)振儀記錄此狀態(tài)下的幅度頻率響應(yīng)曲線，然后按照一定方向轉(zhuǎn)動(dòng)諧振子，得到諧振子多個(gè)方位角度下的幅度頻率響應(yīng)曲線，綜合分析即可完成基于幅頻響應(yīng)特性的半球諧振子頻率裂解與固有剛度軸方位角測(cè)定。

2.2 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析

半球諧振子固定安裝至工裝上，在水平方向上進(jìn)行激振(實(shí)驗(yàn)中該方位角定義為0°，即φ0=0)，多普勒激光測(cè)振儀在激振方向上檢測(cè)諧振子振動(dòng)信號(hào)。首先在大頻率范圍內(nèi)粗掃頻獲得半球諧振子四波腹振型的頻率值范圍，然后在諧振子駐波頻率附近進(jìn)行掃頻，實(shí)驗(yàn)中的主要參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 實(shí)驗(yàn)中的主要參數(shù)設(shè)置Tab.1 The main parameters’ settings in the experiment

諧振子振動(dòng)信號(hào)的幅頻響應(yīng)曲線如圖4所示，由于激振方向與固有剛度軸不重合，諧振子的兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)均被不同程度地激勵(lì)起來。振動(dòng)信號(hào)出現(xiàn)了兩個(gè)信號(hào)峰值，分別對(duì)應(yīng)諧振子的兩個(gè)振動(dòng)模態(tài)，信號(hào)峰對(duì)應(yīng)的頻率即為振型的諧振頻率，兩個(gè)峰的幅度值反映了激振方向與兩個(gè)固有剛度軸的重合程度。

圖4 半球諧振子的典型幅頻響應(yīng)曲線Fig.4 The AFR curve of a typical hemispherical resonator

諧振子在0°～50°范圍內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，等效為檢測(cè)方位角的旋轉(zhuǎn)。隨著諧振子旋轉(zhuǎn)角度的增大，振動(dòng)模態(tài)一的信號(hào)峰幅度逐漸降低，同步的另外一個(gè)振動(dòng)模態(tài)的信號(hào)峰幅值逐漸增多，如圖5所示。由1.2節(jié)中的理論分析可以得出，當(dāng)φ-φr=0或φ-φr=π/4時(shí)，檢測(cè)到的振動(dòng)信號(hào)只有一個(gè)模態(tài)的峰值，說明激振方向(或測(cè)振方向)與半球諧振子剛度軸重合，通過讀出諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)的角度φr，即可得到兩個(gè)固有頻率主軸的方位角。

圖5 諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的幅頻響應(yīng)曲線變化圖Fig.5 the AFR curves of resonator’s different rotation angles

從圖5可以看出，半球諧振子其中一個(gè)固有剛度主軸在40°～50°之間，本文在整個(gè)圓周范圍內(nèi)進(jìn)行掃頻激振和信號(hào)檢測(cè)，對(duì)所有數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，利用半球諧振子n=2振型四波腹的特點(diǎn)，可對(duì)主軸進(jìn)行精確定位。半球諧振子在0°～360°轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩個(gè)振型信號(hào)峰幅值與檢測(cè)角度的關(guān)系曲線如圖6所示。

對(duì)諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)信號(hào)幅度與檢測(cè)角度的關(guān)系進(jìn)行正弦擬合，得到解析表達(dá)式為

圖6 諧振子轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)信號(hào)幅度與檢測(cè)角度的關(guān)系圖Fig.6 Amplitude signals versus detection angles of the resonator

(11)

式中y1、y2分別為兩個(gè)模態(tài)對(duì)應(yīng)的信號(hào)幅度值，x為檢測(cè)角度，可以通過上式中任何一個(gè)方程得出諧振子固有剛度主軸位置。因此兩個(gè)頻率主軸的位置分別在初始零位確定后，諧振子兩個(gè)固有剛度主軸位置分別在(40.61°，85.61°)或(-6.73°，38.27°)。因?yàn)閮蓚€(gè)角度理論上應(yīng)成45°夾角，實(shí)驗(yàn)中得到夾角為47.34°，說明主軸的辨識(shí)精度在±1.17°左右，誤差在可接受的范圍內(nèi)。后續(xù)仍可以通過對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)角度進(jìn)行細(xì)化以及提高激振臺(tái)的激振幅度等方式，進(jìn)一步提升固有剛度主軸辨識(shí)的精度。

兩個(gè)信號(hào)峰對(duì)應(yīng)的頻率即分別為兩個(gè)模態(tài)的諧振頻率，兩者之差即可得到頻率裂解值。在實(shí)驗(yàn)中選取多次測(cè)量的數(shù)據(jù)，進(jìn)行頻率裂解的計(jì)算，得到諧振子的頻率裂解值如下表所示。通過測(cè)量激振方向(檢測(cè)方向)與諧振子固有剛度軸對(duì)準(zhǔn)時(shí)，兩個(gè)頻率之差進(jìn)行計(jì)算得出頻率裂解值為3.48Hz，與表2中計(jì)算結(jié)果一致。

表2 半球諧振子諧振頻率裂解的計(jì)算Tab.2 Calculation of the resonator’s frequency splitting value

綜上所述，本文通過掃頻激振、激光測(cè)振儀檢測(cè)諧振子幅頻響應(yīng)曲線的方法，得到諧振子的頻率裂解值為3.48Hz，在諧振子初始位置確定后，兩個(gè)振型固有剛度主軸的位置分別在(40.61°，85.61°)或(-6.73°，38.27°)的位置。

3 結(jié) 論

本文提出了一種基于幅頻響應(yīng)的半球諧振子頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定方法，采用壓電激振臺(tái)在半球諧振子諧振頻率附近進(jìn)行掃頻激振，采用激光測(cè)振儀檢測(cè)諧振子振動(dòng)特性，通過幅頻響應(yīng)曲線實(shí)現(xiàn)了頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定。本文基于薄殼模型的動(dòng)力學(xué)方程，研究了半球諧振子在水平振動(dòng)作用下的振動(dòng)特性，以及通過掃頻激振繪制幅頻響應(yīng)曲線進(jìn)行半球諧振子頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定的理論機(jī)理；搭建了基于壓電激振臺(tái)與多普勒激光測(cè)振儀的實(shí)驗(yàn)裝置，對(duì)典型結(jié)構(gòu)半球諧振子進(jìn)行了頻率裂解與固有剛度軸測(cè)定實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明該方法頻率裂解測(cè)量精度優(yōu)于0.01Hz，固有剛度主軸方位確定精度優(yōu)于±1.17°，對(duì)鍍膜前后的半球諧振子測(cè)量均具有良好的可行性，在半球諧振子特性測(cè)量及半球諧振陀螺加工制造方面有良好的參考意義。