直接再入大氣的月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)

本立言，嚴(yán)玲玲，謝祥華，張銳，*，王國(guó)際

（1.中國(guó)科學(xué)院微小衛(wèi)星創(chuàng)新研究院，上海201203； 2.上海微小衛(wèi)星工程中心，上海201203）

自中國(guó)探月工程開展以來，在地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)、中途修正等方面取得了豐富的研究成果，相關(guān)技術(shù)已成功應(yīng)用于工程實(shí)踐［1-3］。根據(jù)探月工程總體規(guī)劃，中國(guó)將繼續(xù)開展月球無人采樣返回任務(wù)，軌道設(shè)計(jì)及軌道控制面臨著新的挑戰(zhàn)和難點(diǎn)。月地轉(zhuǎn)移并不是地月轉(zhuǎn)移簡(jiǎn)單的逆過程，相關(guān)約束條件更加復(fù)雜。根據(jù)月球采樣返回任務(wù)的需求，從月球停泊軌道出發(fā)直接再入大氣的月地轉(zhuǎn)移軌道是月球采樣返回任務(wù)的首選方案。

月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)不同于地月轉(zhuǎn)移軌道。首先通過調(diào)整發(fā)射窗口，可容易獲取共面的地月轉(zhuǎn)移軌道，但由于月球停泊軌道面的固定，月地轉(zhuǎn)移的初始狀態(tài)不一定滿足共面轉(zhuǎn)移的條件，則需要進(jìn)行軌道面的調(diào)整，并且探測(cè)器再入大氣返回地球時(shí)，受回收?qǐng)龅募s束，需要匹配落點(diǎn)的地理位置，避免軌道面的調(diào)整，保證任務(wù)可靠實(shí)施。

目前，國(guó)內(nèi)外針對(duì)月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)展開了深入的研究。Ocampo和Saudemont［4］研究了利用單脈沖和三脈沖機(jī)動(dòng)方式從環(huán)月軌道出發(fā)進(jìn)入月地轉(zhuǎn)移軌道的問題，但未考慮再入點(diǎn)約束。高玉東等［5］基于雙二體模型假設(shè)，利用二分法搜索從月球停泊軌道到地球停泊軌道的共面月地轉(zhuǎn)移軌道，但未涉及直接再入大氣的約束。張磊等［6-7］以近月點(diǎn)速度、月球停泊軌道升交點(diǎn)赤經(jīng)及近月點(diǎn)幅角為設(shè)計(jì)參數(shù)，以再入點(diǎn)地心距、再入角和再入傾角為終端參數(shù)，通過兩級(jí)修正設(shè)計(jì)滿足約束的月地轉(zhuǎn)移軌道，在此基礎(chǔ)上通過分別調(diào)整再入傾角和飛行時(shí)間完成對(duì)落點(diǎn)地理位置匹配，求解過程復(fù)雜。鄭愛武等［8-10］以探測(cè)器出月球影響球的時(shí)刻，位置和速度為中間變量，將月地轉(zhuǎn)移軌道分為地心段和月心段，通過調(diào)整影響球邊界處的位置和速度獲得一條連續(xù)的月地轉(zhuǎn)移軌道，在此基礎(chǔ)上給出了精確月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法和月地返回窗口搜索策略，但初值選擇依賴于設(shè)計(jì)者的經(jīng)驗(yàn)且未涉及月球停泊軌道面調(diào)整。汪中生等［11］分析了多種月地轉(zhuǎn)移方案，并給出了相應(yīng)的基本設(shè)計(jì)方法，但其求解效率尚有改進(jìn)和優(yōu)化的空間。

由于三體問題不存在解析解，月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)必須采用數(shù)值方法。一般的思路是：根據(jù)邊值約束，采用簡(jiǎn)化模型設(shè)計(jì)初值，之后考慮精確攝動(dòng)模型，采用微分修正等數(shù)值方法求解精確轉(zhuǎn)移軌道。在目前的研究成果中，偽狀態(tài)理論［12］是一種計(jì)算三體問題的近似解析形式，由于考慮地月球中心引力共同作用，預(yù)報(bào)精度相對(duì)較高，廣泛應(yīng)用于三體軌道的初值設(shè)計(jì)。

針對(duì)以上研究現(xiàn)狀，本文基于偽狀態(tài)理論，以月球停泊軌道為出發(fā)點(diǎn)，考慮再入點(diǎn)的邊界約束條件，通過簡(jiǎn)單迭代設(shè)計(jì)單脈沖月地轉(zhuǎn)移軌道的初值，在此基礎(chǔ)上利用微分修正方法求解精確轉(zhuǎn)移軌道，并對(duì)月地返回窗口進(jìn)行搜索和分析。

1 動(dòng)力學(xué)模型

在地球慣性系下，建立探測(cè)器動(dòng)力學(xué)模型，模型中考慮了地球非球形項(xiàng)、月球及太陽(yáng)的影響，其中，地球非球形引力取8×8階，月球和太陽(yáng)星歷均采用DE405。

式中：r和v分別為探測(cè)器的位置和速度矢量；μe、μm和μh分別為地球、月球和太陽(yáng)的引力常數(shù)；rh和rm分別為太陽(yáng)和月球的位置；rhd和rmd分別為探測(cè)器到太陽(yáng)和月球的位置；R為地球引力攝動(dòng)位函數(shù)。

2 設(shè)計(jì)約束

由于探測(cè)器運(yùn)行在月球停泊軌道上，機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器的位置無法改變，只能將速度和轉(zhuǎn)移時(shí)間作為自由變量，故初始軌道參數(shù)有速度和轉(zhuǎn)移時(shí)間。則初始設(shè)計(jì)參數(shù)選取為對(duì)于直接再入大氣的月地轉(zhuǎn)移軌道，通常對(duì)再入時(shí)刻的地心距、再入角、再入傾角有嚴(yán)格要求，為匹配落點(diǎn)的地理位置，再入軌道面與回收?qǐng)霰仨毠裁?，可采用回收?qǐng)鑫恢门c再入軌道角動(dòng)量間夾角來描述，則目標(biāo)終端參數(shù)選取為

式中：Re為再入時(shí)刻的地心距；γe為再入時(shí)刻的再入角；ie為再入時(shí)刻的再入傾角；φe為再入時(shí)刻回收?qǐng)鑫恢门c再入軌道角動(dòng)量的夾角。

3 偽狀態(tài)理論

偽狀態(tài)理論是W ilson［12］提出的一種考慮地月中心引力作用下軌道近似計(jì)算方法。

考慮地球、月球及探測(cè)器三體系統(tǒng)，認(rèn)為探測(cè)器對(duì)地球和月球運(yùn)動(dòng)沒有影響。給定探測(cè)器tI時(shí)刻相對(duì)地心的位置速度ΣI=（RI，VI），利用偽狀態(tài)理論可以計(jì)算tk時(shí)刻相對(duì)地心的位置速度Σk=（Rk，Vk）和相對(duì)月心的位置速度σk=（rk，vk）。定義以tk時(shí)刻月球位置為中心的偽狀態(tài)轉(zhuǎn)換球（Pseudostate Transformation Sphere，PTS），半徑為RPTS。假設(shè)RI在PTS外部，Rk在PTS內(nèi)部，如圖1所示。

圖1 偽狀態(tài)理論示意圖Fig.1 Schemetic of pseudostate theory

具體計(jì)算步驟如下：

3）月心二體段。根據(jù)tc時(shí)刻相對(duì)月心的位置速度σxc，按月心二體軌道求解tk時(shí)刻相對(duì)月心的位置速度σk，即可得到相對(duì)地心的位置速度Σk。

4 初值設(shè)計(jì)

本節(jié)給出了月地轉(zhuǎn)移軌道的初值設(shè)計(jì)方法。若機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器的位置在近月點(diǎn)前，選擇近月點(diǎn)對(duì)應(yīng)的偽狀態(tài)位置作為迭代變量，轉(zhuǎn)移軌道分為兩段處理，轉(zhuǎn)移軌道在近月點(diǎn)前按月球二體軌道處理。若機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器的位置在近月點(diǎn)后，選擇機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器對(duì)應(yīng)的偽狀態(tài)位置作為迭代變量。

定義機(jī)動(dòng)時(shí)刻t0探測(cè)器在月球慣性系下位置為r0，近月點(diǎn)前轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt1，近月點(diǎn)后轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt2，偽狀態(tài)位置為Rs。

步驟1計(jì)算t0時(shí)刻月球位置速度Rm和Vm，令Rs=Rm，Δt1=0。

步驟2定義回收?qǐng)龅慕?jīng)度為λl，緯度為φl(shuí)，位置為Rl，he為地心段角動(dòng)量，ke為地軸的單位方向。根據(jù)余弦定理，可得

式中：α的符號(hào)對(duì)應(yīng)了升降軌方式，β的符號(hào)對(duì)應(yīng)了軌道面的方位，決定了再入航程大?。ㄒ妶D2）。

圖2 月地轉(zhuǎn)移軌道的幾何約束Fig.2 Geometric constraints of Moon-to-Earth transfer orbit

定義t0時(shí)刻Rs在地球固連系下的經(jīng)度為Gs，再入時(shí)刻Rl在地球固連系下的經(jīng)度為Gl=Gs+α+β，記G=Gl-λl，則地心段的飛行時(shí)間為

式中：ωe為地球自轉(zhuǎn)角速度；N為指定的天數(shù)。

則Rs為返回軌道地球段的起始點(diǎn)，探測(cè)器到達(dá)再入點(diǎn)時(shí)地心距為Re，再入角為γe，采用Luo等［13］提出的飛行路徑角約束的Lambert算法可以求解該類邊值問題，這里不再贅述。

再入點(diǎn)速度為

令Rs處的飛行角為γs，速度大小為Vs，Vs由式（9）計(jì)算：

步驟3令探測(cè)器在PTS邊界處相對(duì)月球的速度為vs，位置為rs，其大小為PTS半徑，在月球無窮遠(yuǎn)處的速度大小為

軌道半長(zhǎng)軸為

定義Δf為初始位置r0和v∞間的夾角，由幾何關(guān)系可知：

式中：f∞為月球無窮遠(yuǎn)處真近點(diǎn)角；f0為機(jī)動(dòng)時(shí)刻的真近點(diǎn)角。

令em為偏心率，存在以下關(guān)系：

為完成月地轉(zhuǎn)移，機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器速度應(yīng)為

若f0≥0，根據(jù)開普勒飛行時(shí)間公式計(jì)算r0到rs的轉(zhuǎn)移時(shí)間ts，否則轉(zhuǎn)向步驟5。

步驟5此時(shí)機(jī)動(dòng)時(shí)刻探測(cè)器位置在近月點(diǎn)前，根據(jù)開普勒飛行時(shí)間公式分別計(jì)算r0到rp的轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt1和rp到rs的轉(zhuǎn)移時(shí)間ts，同時(shí)更新Rm為近月點(diǎn)時(shí)刻的月球位置。

步驟6更新Rs。根據(jù)偽狀態(tài)理論得到

5 精確解求解

初始設(shè)計(jì)參數(shù)P和目標(biāo)終端參數(shù)Q存在確定的函數(shù)關(guān)系為

則Q和P的誤差之間的關(guān)系可線性近似為

為提高求解算法的速度，將軌道積分停止條件設(shè)置為到達(dá)給定再入角γe，則初始設(shè)計(jì)參數(shù)P中剔除了轉(zhuǎn)移時(shí)間Δt，目標(biāo)終端參數(shù)Q中解除了再入角γe的約束，則月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)降價(jià)為一個(gè)三維的兩點(diǎn)邊值問題。

令X=［r，v］T，則式（23）可以重寫為

當(dāng)積分停止條件設(shè)置為到達(dá)給定再入角，則存在以下關(guān)系：

式（27）給出了消除時(shí)間變量后偏差傳遞矩陣形式：

式中：除矩陣?Xf/?Xi外均有確定的形式，需要注意的是，對(duì)目標(biāo)終端參數(shù)cosφe偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算時(shí)，需要考慮由于再入時(shí)間變化引起的返回場(chǎng)慣性系下位置變化。由于三體軌道動(dòng)力學(xué)特性導(dǎo)致矩陣?Xf/?Xi沒有解析表達(dá)式，本文采用文獻(xiàn)［2-3，14-15］提出的方法求解。

得到誤差傳遞矩陣后，可利用各種迭代算法搜索精確解，本文采用微分修正方法求解精確解。

6 算例與分析

本節(jié)首先給出了一個(gè)月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)算例。相關(guān)算法均采用C++編程，程序運(yùn)行環(huán)境：CPU為Intel Core 2.53G。

假設(shè)探測(cè)器在2022年1月1日進(jìn)行單脈沖機(jī)動(dòng)，此時(shí)探測(cè)器在月球慣性系下位置為［1 937.4，0，0］km，轉(zhuǎn)移時(shí)間為3～4 d，再入點(diǎn)地心高度為120 km，再入傾角為45°，再入角為-6°，返回場(chǎng)的經(jīng)度為110°，緯度為40°。

根據(jù)第4節(jié)的初值設(shè)計(jì)方法，存在4條月地轉(zhuǎn)移軌道滿足給定約束條件，下面以其中一條為例，表1給出了偽狀態(tài)位置誤差的3個(gè)分量迭代過程。在初值設(shè)計(jì)時(shí)，迭代6次，耗時(shí)1 ms，在精確值求解時(shí)，迭代4次，耗時(shí)3 s，即可滿足設(shè)定精度要求，表2給出了再入點(diǎn)狀態(tài)偏差的迭代過程。比較初值［-337.339，2 218.060，914.856］m/s與精確解［-346.252，2 219.854，914.926］m/s，兩者模值的差為2.925m/s，兩者矢量差的模值為9.092m/s，為初始速度大小的0.37%，在任務(wù)分析階段，可用初值代替精確解，為任務(wù)分析提供參考。

表1 初值設(shè)計(jì)時(shí)偽狀態(tài)位置誤差迭代過程Table 1 Iteration process of pseudostate position error during initial solution design

表2 精確解求解時(shí)再入點(diǎn)狀態(tài)偏差迭代過程Table 2 Iteration p rocess of reentry point state error during exact solution search

表3給出滿足給定約束條件的4條月地轉(zhuǎn)移軌道的關(guān)鍵特征參數(shù)，圖3和圖4給出相應(yīng)的3D和2D示意圖。分析結(jié)果可知，4條月地轉(zhuǎn)移軌道通過調(diào)整轉(zhuǎn)移時(shí)間滿足了再入軌道與返回場(chǎng)的共面要求，再入點(diǎn)速度大小基本相同，再入航程因軌道方位不同而出現(xiàn)差別。

下面計(jì)算2022年1月1日到2022年1月6日從月球停泊軌道出發(fā)的月地返回窗口，其中，月球停泊軌道在2022年1月1日的具體參數(shù)：高度為200 km，偏心率為0，傾角為22.4°，升交點(diǎn)赤經(jīng)為0°，緯度幅角為0°，目標(biāo)軌道參數(shù)與上述算例相同。其中2022年1月1日滿足共面轉(zhuǎn)移條件，這是月地轉(zhuǎn)移能量最省方式之一，以此為基準(zhǔn)分析速度增量變化趨勢(shì)。由于月球停泊軌道周期較小，角速度較快，速度方向變化較大，在每個(gè)軌道周期內(nèi)變軌速度增量變化劇烈，如圖5所示，在每個(gè)軌道周期內(nèi)，存在一緯度幅角使變軌速度增量最小。

表3 月地轉(zhuǎn)移軌道特征參數(shù)Table 3 Characteristic param eters of M oon-to-Earth transfer orbit

圖3 月地轉(zhuǎn)移軌道3D示意圖Fig.3 Three-dimensional illustration of Moon-to-Earth transfer orbit

圖4 月地轉(zhuǎn)移軌道2D示意圖Fig.4 Two-dimensional illustration of Moon-to-Earth transfer orbit

在窗口搜索時(shí)選取每個(gè)軌道周期內(nèi)最小變軌速度增量，分析其變化趨勢(shì)。由圖6可知，結(jié)果有明顯的周期性。在每一天內(nèi)變軌速度增量逐漸增大，變軌速度增量差別最大為40m/s。隨著探測(cè)器出發(fā)時(shí)刻延遲，月球停泊軌道與月地轉(zhuǎn)移軌道面夾角增大，如圖7所示。若實(shí)現(xiàn)月地轉(zhuǎn)移，需要調(diào)整軌道平面，變軌速度增量逐漸增大，再入航程同時(shí)逐漸增大，若月球出發(fā)時(shí)間延遲6 d，變軌速度增量增加130m/s。

圖5 一個(gè)軌道周期內(nèi)變軌速度增量變化趨勢(shì)Fig.5 Track change velocity increment versus time in one orbit period

圖6 變軌速度增量變化趨勢(shì)Fig.6 Track change velocity increment versus time

圖7 軌道平面改變量變化趨勢(shì)Fig.7 Change of orbit plane versus time

通過對(duì)月地返回窗口搜索可知，單脈沖轉(zhuǎn)移方式通過調(diào)整軌道面，增加了月地返回機(jī)會(huì)，保證任務(wù)順利進(jìn)行。但隨著對(duì)月球探測(cè)的繼續(xù)深入，月球探測(cè)任務(wù)更加復(fù)雜，對(duì)探測(cè)器中止任務(wù)能力的需求相應(yīng)增加，顯然單脈沖轉(zhuǎn)移方式在軌道平面調(diào)整量較大時(shí)，需要消耗更多能量，無法滿足任務(wù)的要求，因此對(duì)多脈沖月地轉(zhuǎn)移軌道的研究是后續(xù)工作的重點(diǎn)。

7 結(jié) 論

本文給出了從月球停泊軌道出發(fā)直接再入大氣的月地轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計(jì)方法。

1）初值設(shè)計(jì)算法精度高，耗時(shí)少，在任務(wù)分析階段可作為代替精確解，為任務(wù)分析提供參考依據(jù)。精確解求解算法求解效率高，可以作為設(shè)計(jì)月地轉(zhuǎn)移軌道及搜索月地返回窗口的一個(gè)有力工具。

2）給出了滿足給定約束的4條月地轉(zhuǎn)移軌道，并對(duì)比了關(guān)鍵特征參數(shù)，為月地轉(zhuǎn)移軌道的選擇提供依據(jù)。

3）通過月地返回窗口分析可知，由于匹配返回場(chǎng)，每天內(nèi)變軌速度增量逐漸增大。當(dāng)月球停泊軌道與月地轉(zhuǎn)移軌道面夾角逐漸增大時(shí)，使用單脈沖機(jī)動(dòng)，則軌道面調(diào)整量增大，導(dǎo)致燃料消耗增大，限制了月地轉(zhuǎn)移機(jī)會(huì)。