一題七問(wèn)

何宏政

我們?cè)谝淮魏瘮?shù)、正比例函數(shù)、反比例函數(shù)的基礎(chǔ)上來(lái)學(xué)習(xí)二次函數(shù)，是擁有一定經(jīng)驗(yàn)的。同時(shí)，二次函數(shù)和以前學(xué)過(guò)的一元二次方程、一元一次不等式有著密切的聯(lián)系，進(jìn)一步學(xué)習(xí)二次函數(shù)，將為它們的解法提供新的方法和途徑，并能更深刻地理解數(shù)形結(jié)合的重要思想。二次函數(shù)題型多變、考點(diǎn)多、思維量大、計(jì)算復(fù)雜，怎樣從紛繁復(fù)雜的考題中找出二次函數(shù)考題的基本問(wèn)題進(jìn)行歸納總結(jié)，真正地掌握學(xué)的方向，并應(yīng)用二次函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，是我們應(yīng)當(dāng)思考的。下面以一道典型例題為例，經(jīng)過(guò)深入研究，我們可以挖掘出很多有意思的題型。

例題 已知：如圖1，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OA=OC=3，頂點(diǎn)為D。

（1）求此函數(shù)的表達(dá)式。

先確定坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式。這是基礎(chǔ)中的基礎(chǔ)，要求我們?nèi)巳苏莆铡?/p>

（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使△BCP的周長(zhǎng)最小，求出P點(diǎn)坐標(biāo)及△BPC的周長(zhǎng)。

最值問(wèn)題，已知表達(dá)式，求拋物線的對(duì)稱軸。求直線表達(dá)式、交點(diǎn)坐標(biāo)是解決函數(shù)問(wèn)題的必備基礎(chǔ)技能。我們可以運(yùn)用解決“將軍飲馬”問(wèn)題的策略求兩點(diǎn)一線的最短距離，主要運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法為化折為直。當(dāng)然，“將軍飲馬”問(wèn)題還有許多變式，同學(xué)們可以自己嘗試。

（3）在AC下方的拋物線上有一點(diǎn)Ⅳ，過(guò)點(diǎn)Ⅳ作直線l∥y軸，交AC于點(diǎn)M。當(dāng)點(diǎn)N坐標(biāo)為多少時(shí)，線段MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)？最長(zhǎng)是多少？

求線段的最值問(wèn)題，要用到兩點(diǎn)間的距離公式。利用設(shè)點(diǎn)法求兩點(diǎn)間距離、線段最值是解決函數(shù)問(wèn)題的基本技能。

（4）在y軸上是否存在一點(diǎn)E，使△ADE為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

本問(wèn)考查定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的判別與使用。兩條直線垂直即斜率k之積為一1。

（5）在對(duì)稱軸上有一點(diǎn)K，在拋物線上有一點(diǎn)L，若使A、B、K、L為頂點(diǎn)形成平行四邊形，求出K、L點(diǎn)的坐標(biāo)。

利用平行四邊形對(duì)角線的特征（對(duì)角線互相平分、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、對(duì)角線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)之和相等、頂點(diǎn)縱坐標(biāo)之和相等）能輕松解決兩動(dòng)點(diǎn)平行四邊形問(wèn)題。解決本問(wèn)的關(guān)鍵是抓準(zhǔn)定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn)的關(guān)系及熟練掌握中點(diǎn)坐標(biāo)公式。

（6）在線段AC上是否存在點(diǎn)M，使△AOM與△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

使△AOM與△ABC相似，應(yīng)考慮問(wèn)題的多樣性（對(duì)應(yīng)邊的變化）。我們可以利用設(shè)點(diǎn)法，以代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度來(lái)解決形的問(wèn)題。此題構(gòu)建的是A字與反A字相似模型。

（7）點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PH⊥x軸t H，是否存在點(diǎn)P，使得△PAH與△OBC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，說(shuō)明理由。

△PAH與△OBC相似，只確定了一個(gè)直角，應(yīng)考慮問(wèn)題的多樣性（對(duì)應(yīng)邊的變化）。我們依舊采用設(shè)點(diǎn)法，同樣用代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度來(lái)解決形的問(wèn)題。此題構(gòu)建的是兩對(duì)應(yīng)邊成比例夾角相等模型。

對(duì)于基本問(wèn)題，我們要深入研究和拓展，要學(xué)會(huì)對(duì)題目中的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)，善于就題變題;要學(xué)會(huì)通過(guò)觀察分析探索交流解題的過(guò)程，尋找到規(guī)律進(jìn)行學(xué)習(xí)，從而使知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力;要學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)思想，利用好數(shù)形結(jié)合思想，注意分類討論，最終掌握學(xué)習(xí)函數(shù)的方向和方法。

（作者單位：江蘇省泗陽(yáng)致遠(yuǎn)中學(xué)）