把脈錯因遠(yuǎn)離陷阱

葛松

二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)函數(shù)知識塊的重要內(nèi)容之一，也是各地中考試題中考查的重點。我們在解二次函數(shù)的問題時，往往會出現(xiàn)一些不同類型的錯誤，現(xiàn)對幾種常見錯誤分類剖析，供同學(xué)們參考借鑒。

一、概念不清，忽視字母系數(shù)

例1 若y=（m2+m）xm2+1+2x+3是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為

【錯解】令m2+1=2，解得mi=l，m2=-1。所以當(dāng)m=±l時，y= （m2+m）xm2+1+2x+3是二次函數(shù)。

【剖析】出錯的原因是概念不清。函數(shù)y=ax2+bx+c為二次函數(shù)的條件是二次項系數(shù)a≠0。當(dāng)m=-l時，此函數(shù)是y=2x+3，此時是一次函數(shù)而不是二次函數(shù)。

【正解】由m2+1=2，解得m1=l，m2=一1。又因為m2+m≠0，所以m≠0且m≠-1，所以mi=l。即當(dāng)m=l時，函數(shù)為y=2x2+2x+3，是二次函數(shù)。

【點評】判斷函數(shù)y=ax2+bx+c是二次函數(shù)的兩個條件：①未知數(shù)的最高次數(shù)是2;②二次項系數(shù)a≠0。

二、考慮不周，忽視分類討論

例2 若函數(shù)y=（m-l ）x2-4x+2m的圖像與x軸只有一個交點，則m的值為_____。

【錯解】因為函數(shù)y=（m-l）x2-4x+2m的圖像與x軸只有一個交點，所以b2-4ac=（-4）2-4（m-l）.2m=0，即-8m2+8m+16=0，解得m1=-1，m2=2。

【剖析】已知條件中，沒有指明這個函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，因此它還可能是一次函數(shù)。此錯解因考慮不全，漏掉了一種情況。

【正解】（1）當(dāng)m-1≠0時，函數(shù)為二次函數(shù)，可得m1=-l，m2=2;（2）當(dāng)m-l=0，即m=l時，函數(shù)為一次函數(shù)y=-4x+2，它的圖像與x軸只有一個交點，也滿足題意。綜上可知，m的值為-1或2或1。

【點評】對于含字母系數(shù)的函數(shù)問題，要重視對字母系數(shù)的討論，要區(qū)別是什么函數(shù)，有交點、有一個交點或與坐標(biāo)軸有兩個交點等，根據(jù)題意加以界定，判斷函數(shù)類型，再去解決問題。

三、范圍不清，忽視增減性

例3 若點P1（一1，Y1）、P2（3，Y2）、P3（5，y3）均在二次函數(shù)y=-x2+2x+m的圖像上，則Y1，Y2，y3的大小關(guān)系為（?）。

A.y3 >Y2>Yi

B.y3 >Y2=Y1

C.Y1>Y2>Y3

D.Y1=Y2>y3

【錯解】因為a=-l<0，-1<3<5，所以y3>Y2>Y1，故選A。

【剖析】錯解忽視了二次函數(shù)增減性的適用范圍。因為二次函數(shù)的對稱軸是x=1，所以對于二次函數(shù)y=-x2+2x+m的增減性應(yīng)分為x>l和x1時，y隨x的增大而減小;當(dāng)x

【正解】因為對稱軸為x=l，所以y1=Y2;又因為拋物線開口向下，且點P2、P3都在對稱軸的右側(cè)，即y隨x的增大而減小，所以Y2>Y3，即Y1=Y2>Y3，故選D。

【點評】對拋物線上點的縱坐標(biāo)大小比較的關(guān)鍵是要看開口方向和點在對稱軸的左側(cè)還是右側(cè)。判斷的基本方法是：①利用拋物線上的對稱點的縱坐標(biāo)相等，把點轉(zhuǎn)化到對稱軸的同側(cè)，再利用增減性比較大小;②當(dāng)已知拋物線表達(dá)式和橫坐標(biāo)確定時，可直接求出縱坐標(biāo)來比較大小;③利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，畫大致圖像去判斷。

四、判斷不準(zhǔn)，忽視圖像位置

例4 已知二次函數(shù)y=x2+mx+n的圖像與y軸交于點A，與x軸正半軸交于B、C兩點，且BC=2，S△ABC=3，則m的值為____。

【錯解】由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，所以n=3;由BC=2，得m2_12=4，即m=±4，所以m=±4。

【剖析】錯解沒有考慮到拋物線的對稱軸x=一m/2只能與x軸正半軸相交，即x=一m/2>O，所以m<0。

【正解】因為拋物線開口向上，且與x軸正半軸交于B、c兩點，所以n>0，x=-m/2>0，即n>0，m<0。由S△ABC=3，BC=2，得OA=3，即n=3;由BC=2，得m2-12=4，即m=+4，所以m=-4。

【點評】在無圖的情況下，要準(zhǔn)確判斷圖像的位置，可以利用數(shù)形結(jié)合思想，畫出大致圖像后再進(jìn)行解題。

五、取值不定，忽視實際條件

例5 用長30m的籬笆和一段長為8m的墻（作為其中一邊）圍成一個矩形場地，怎樣圍使得圍成的矩形面積最大？最大面積是多少？

【錯解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則S=x（30-2x）=-2 （x-7.5）2+112.5，所以當(dāng)垂直于墻的一邊為7.5m時，所圍成的矩形面積最大，最大面積為112.5m2。

【剖析】錯解沒有考慮到墻的長度只有8m，而當(dāng)垂直于墻的一邊為7.5m時，平行于墻的一邊為30-2x=15（m），不符合實際。

【正解】設(shè)垂直于墻的一邊為xm，則S=x（30-2x）=-2 （x-7.5）2+112.5，因為O<30-2x≤8，即ll≤x<15，所以S隨x的增大而減小，所以當(dāng)x=11m時面積最大，最大面積S為88m2。

【點評】在求二次函數(shù)的最值時，要考慮到自變量的取值范圍，如果對稱軸對應(yīng)的值不在范圍內(nèi)，應(yīng)就近選取自變量的值代入求其最值。

（作者單位：江蘇省泗陽經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)學(xué)校）