二次函數(shù)面積最值問題破解之法

葛衛(wèi)國

二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要知識點(diǎn)，難度頗高，經(jīng)常出現(xiàn)在中考壓軸題中，而在求三角形面積的最值問題時，更是常見。今天我們就對二次函數(shù)中的面積最值問題作一個簡單的總結(jié)，找出幾種常見的解法。同學(xué)們?nèi)绻軓闹袑W(xué)習(xí)并熟練掌握一兩種解法，再遇到類似問題，將會更快速地解決。

例 如圖1，拋物線y=-x2+bx+c與x軸交于A（3，0）、B（-l，0）兩點(diǎn)。

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）設(shè)拋物線交y軸于點(diǎn)C，在拋物線上的第一象限上是否存在一點(diǎn)P，使△PAC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAC面積的最大值;若不存在，請說明理由。

第（1）問比較簡單，同學(xué)們只需要把兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，即可分別求出6、c的值，得到函數(shù)表達(dá)式為y=-x2+2x+3。下面我們著重探討第（2）問中的面積最大值的求法。

一、補(bǔ)形、割形法

幾何圖形中常見的處理方法有分割、補(bǔ)形等，此類方法的要點(diǎn)是把所求的圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)难a(bǔ)或割，變成有利于表示面積的圖形。

解法1：女口圖2，設(shè)P（x，-x2+2x+3）（O

∵S△PAC=S四邊形OCPA -S△A0C

=S四邊形OCPA-9/2

若四邊形OCPA的面積最大，則△APC的面積就最大。

∴S四邊形OCPA=S四邊形OCPE+S△AEP

當(dāng)x=3/2時，S四邊形OCPA最大值=9/2+27/8，

∴S△PAC最大值=9/2+27/8-9/2=27/8，

此時，一x2+2x+3=15/4，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3/2，15/4）。

角翠法2：如圖2，設(shè)P（x，-x2+2x+3）（O

后面的步驟和解法1一樣。

二、鉛垂法

用鉛垂法求三角形的面積，在求二次函數(shù)中的面積最值問題時，使用得很多。

首先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用代數(shù)式分別表示出鉛垂高度和水平寬度，然后表示出三角形的面積，進(jìn)而求出面積最大值。

解法3：如圖3，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F。

設(shè)P（x，-x2+2x+3）（O

三、切線法

若要使△PAC面積最大，只需使AC邊上的高最大。作AC的平行線Z，當(dāng)直線l與拋物線有唯一交點(diǎn)（即點(diǎn)P）時，此時△PAC的面積最大，這便是切線法。

解法4：如圖4，直線AC的表達(dá)式為y=-x+3，作AC的平行線l，交y軸于點(diǎn)M，從而可設(shè)直線l的表達(dá)式為y=-x+b。即-x2+3x+3-b=0。由△=32—4×（一1）×（3—6）=0，得b=21/4，x=3/2，M（O，21/4）。此時P（3/2，15/4），AC邊上的高h(yuǎn)最大，h=MC·sin∠CMP=MC·sin∠OCA

四、三角函數(shù)法

本題也可直接用三角函數(shù)法來求。

解法5：如圖5，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F，作PM⊥AC于點(diǎn)M。設(shè)點(diǎn)P（x，-x2+2x+3）（O

通過以上四種解法的學(xué)習(xí)，老師相信同學(xué)們對二次函數(shù)中三角形面積的求法都有了自己的想法。一般來說，只要同學(xué)們能掌握解法1和解法2，那么在二次函數(shù)的綜合題中，再出現(xiàn)求三角形面積最大值的問題，就能輕松面對了。

（作者單位：江蘇省泗陽縣教師發(fā)展中心）