淺談數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的運(yùn)用

聶國(guó)帥

(凹凸個(gè)性教育平頂山學(xué)習(xí)中心，河南 平頂山 467000)

1 引言

數(shù)學(xué)與物理本質(zhì)上雖是兩種不同的學(xué)科，但在人類歷史的發(fā)展中卻有著密不可分的聯(lián)系?；诙嗄甑目茖W(xué)實(shí)踐，人們總結(jié)出數(shù)學(xué)知識(shí)是物理理論創(chuàng)立和發(fā)展的重要工具，同時(shí)物理方面所解決的問(wèn)題又是數(shù)學(xué)發(fā)展的源泉，二者之間存在著相輔相成的關(guān)系。淺談數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的運(yùn)用，首先得先搞清楚數(shù)學(xué)和物理之間的邏輯關(guān)系。

2 數(shù)學(xué)與物理之間的邏輯關(guān)系

嚴(yán)格意義上講，數(shù)學(xué)與物理是兩門(mén)完全不同的學(xué)科。數(shù)學(xué)是研究物質(zhì)之間的數(shù)量和空間關(guān)系的科學(xué)，而物理是研究物質(zhì)結(jié)構(gòu)以及運(yùn)動(dòng)規(guī)律的學(xué)科[2]。二者雖是兩種不同性質(zhì)的學(xué)科，但是在其解決問(wèn)題的思路上或是獲取知識(shí)的途徑上，卻有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系，彼此相互融合、相互滲透、異曲同工。

2.1 物理的發(fā)展離不開(kāi)數(shù)學(xué)的支持

第一，從物理學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)是一門(mén)具有抽象性、邏輯性、簡(jiǎn)潔性的學(xué)科，是物理的一種表示形式。在自然界中任何能夠被抽象出來(lái)的事物及其關(guān)系都可以用數(shù)學(xué)的方式來(lái)進(jìn)行表征。但是在物理學(xué)中，數(shù)學(xué)卻并不能完全顯示出物質(zhì)變化的真實(shí)含義，物理學(xué)科主要是針對(duì)物質(zhì)結(jié)構(gòu)以及物質(zhì)的基本運(yùn)動(dòng)規(guī)律和物質(zhì)之間的相互作用進(jìn)行研究，研究方式主要是以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，再借助數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)推理得出事物結(jié)果。因此我們可以看出數(shù)學(xué)在物理中的運(yùn)用具有直觀性和具體性的，所以通過(guò)數(shù)學(xué)這門(mén)學(xué)科對(duì)物理實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象或推理過(guò)程進(jìn)行表征是最為嚴(yán)謹(jǐn)和簡(jiǎn)潔的。

第二，用數(shù)學(xué)對(duì)物理問(wèn)題進(jìn)行表征時(shí)，最重要的前提是必須建立一個(gè)與物理變化相適應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，并且還必須用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)對(duì)各物理量之間的關(guān)系進(jìn)行重點(diǎn)刻畫(huà)。比如，常見(jiàn)的物理問(wèn)題：A、B 兩輛汽車(chē)在同一位置同時(shí)沿直線向前行走，其中A 車(chē)以8m/s 的速度勻速向前行駛，B 車(chē)則以4m/s 的加速度開(kāi)始向前行駛，分析在兩車(chē)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A 車(chē)將B 車(chē)甩在身后的最遠(yuǎn)距離。該場(chǎng)景的設(shè)置就是用數(shù)學(xué)模型的方式描繪了物理變化的過(guò)程[3]。在對(duì)上述情景進(jìn)行解答時(shí)，學(xué)者們還會(huì)選用適當(dāng)?shù)姆?hào)來(lái)對(duì)其中的物理量進(jìn)行重點(diǎn)刻畫(huà)，比如，上述情景中A 車(chē)是勻速行駛，數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式即為v=8m/s，B 車(chē)以4m/s 的加速度行使，在數(shù)學(xué)的表現(xiàn)形式則為a=4m/s。那么解答上述例子中所求證的結(jié)果則還需要聯(lián)系物體運(yùn)動(dòng)規(guī)律，用適合的函數(shù)方程式進(jìn)行詳細(xì)的推演計(jì)算。如，求證A 車(chē)與B 車(chē)之間的距離可表示為Δx=x1-x2，根據(jù)車(chē)輛運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，A 車(chē)的位移距離可表示為X1=vt，B 車(chē)的位移距離為χ2=1/2at2，則兩車(chē)之間的距離表示為函數(shù)公式Δχ=υτ-1/2at2，代入數(shù)據(jù)可得Δχ=-t2+4t。由此可見(jiàn)，該數(shù)據(jù)為一個(gè)開(kāi)口向下的拋物線，并且當(dāng)t=2s 時(shí)，函數(shù)的數(shù)值最大為4m，即兩車(chē)之間的距離為4 米。

第三，眾所周知，物理是以科學(xué)實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)的，但是對(duì)于整體實(shí)驗(yàn)過(guò)程中所必須處理的實(shí)驗(yàn)方案設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)采集、現(xiàn)象分析、結(jié)論總結(jié)等，都必須借助數(shù)學(xué)工具的幫助。比如伽利略在做落體規(guī)律探究的實(shí)驗(yàn)時(shí)，就有效地將科學(xué)實(shí)驗(yàn)與數(shù)學(xué)的邏輯推理相結(jié)合到一起。他推斷落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律是和時(shí)間成正比的，但在當(dāng)時(shí)的技術(shù)還不發(fā)達(dá)，他無(wú)法精準(zhǔn)地對(duì)瞬時(shí)速度進(jìn)行測(cè)定，所以他結(jié)合數(shù)學(xué)方面的邏輯思維，將物體落下時(shí)的初速度設(shè)置為0，于是推斷物體位移的距離應(yīng)該正比于時(shí)間的二次方。正是在該實(shí)驗(yàn)的方案的支持下，伽利略才完成了落體運(yùn)動(dòng)規(guī)律的實(shí)驗(yàn)探究。

2.2 物理推動(dòng)數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)展

著名的數(shù)學(xué)家莫爾斯在談及數(shù)學(xué)與物理之間的關(guān)系時(shí)清晰地表示“物理因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象而獲益，數(shù)學(xué)則因?yàn)槲锢淼囊?jiàn)識(shí)而獲益?！睌?shù)學(xué)理論與物理研究是相輔相成的。數(shù)學(xué)所研究的問(wèn)題因物理的變化而產(chǎn)生，又隨著物理的深入研究而得到發(fā)展，所以說(shuō)物理是數(shù)學(xué)發(fā)展的重要源泉[4]。

首先，我們都清楚在做物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，研究者需要對(duì)實(shí)驗(yàn)中各物理量進(jìn)行精確的計(jì)算和測(cè)定以及對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，然后才能得出各物理量之間的相互關(guān)系。若現(xiàn)有的數(shù)學(xué)工具不能滿足其物理實(shí)驗(yàn)的需求時(shí)，物理實(shí)驗(yàn)就會(huì)為數(shù)學(xué)發(fā)展提供新的空間。以微積分的發(fā)展為例，微積分本是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科，是高等數(shù)學(xué)中研究函數(shù)的微分、積分以及相關(guān)概念和應(yīng)用的數(shù)學(xué)分支，其中微分學(xué)及其應(yīng)用是一套關(guān)于變化率的理論。牛頓在研究運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)就是利用求倒數(shù)的方式求證出運(yùn)動(dòng)變量是由點(diǎn)線面連續(xù)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的，否定了自己最初提出的變量是無(wú)窮小元素的靜止結(jié)合，從而促進(jìn)了微分學(xué)的發(fā)展。其次，在物理研究中運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，本質(zhì)也是在促進(jìn)數(shù)學(xué)的發(fā)展。我們都知道在機(jī)械加工過(guò)程中，當(dāng)某一工具使用得越頻繁時(shí)，人們?cè)侥馨l(fā)現(xiàn)該工具需要改善的地方。學(xué)科之間的研究亦是如此，當(dāng)人們將理論數(shù)據(jù)用于具體的實(shí)踐時(shí)，該理論的缺陷或是理論所無(wú)法解決的事情很有可能會(huì)暴露出來(lái)。所以在用數(shù)學(xué)研究物理時(shí)也就相當(dāng)于是在對(duì)數(shù)學(xué)的理論進(jìn)行發(fā)展。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，其實(shí)有很多的演算方法及解題思維都是從物理實(shí)驗(yàn)中所獲得的，比如行波法、廣田法、貝克隆變換等都是在物理研究中所發(fā)現(xiàn)的。

3 數(shù)學(xué)知識(shí)在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)與物理之間的邏輯關(guān)系促使人們不斷地用數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)解決物理方面的問(wèn)題。通過(guò)實(shí)踐也多次證明，數(shù)學(xué)知識(shí)在解決物理難題時(shí)有事半功倍的效果。其中主要表現(xiàn)在以下幾個(gè)方面。

3.1 數(shù)學(xué)思想在物理中的應(yīng)用

數(shù)學(xué)思想的主要特點(diǎn)是抽象性、邏輯性、準(zhǔn)確性等。在現(xiàn)實(shí)實(shí)踐中，人們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)對(duì)事物進(jìn)行觀察分析，從研究對(duì)象的點(diǎn)、線、面、實(shí)數(shù)、集合等方面對(duì)其建立起理想化、模式化的模型，從而使得數(shù)學(xué)研究更為簡(jiǎn)潔，更為直觀。而在物理研究中，研究對(duì)象主要是質(zhì)點(diǎn)、光滑、靜止、運(yùn)動(dòng)、勻速、加速度等，學(xué)者們也經(jīng)常會(huì)借鑒數(shù)學(xué)方面的解題思維，根據(jù)研究對(duì)象的特征及運(yùn)動(dòng)規(guī)律建立高度抽象的理想模型，同時(shí)對(duì)物理過(guò)程中各物理量進(jìn)行測(cè)量轉(zhuǎn)換，在運(yùn)用函數(shù)思想對(duì)各物理量之間的相互關(guān)系進(jìn)行整理，構(gòu)建相對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)方式，如圖形、列表等，從而使得物理研究的思路更加清晰，更加簡(jiǎn)潔。

3.2 數(shù)學(xué)推理在物理中的運(yùn)用

數(shù)學(xué)理論體系是以公式定義為基礎(chǔ)，通過(guò)嚴(yán)格的邏輯推理、論證所建立起來(lái)的。數(shù)學(xué)的研究對(duì)象基本上邏輯性都很強(qiáng)，所以在數(shù)學(xué)研究中人們經(jīng)常會(huì)使用邏輯推理的論證方法來(lái)解決數(shù)學(xué)研究中的各種難題。而物理的研究成果往往是通過(guò)實(shí)驗(yàn)對(duì)研究對(duì)象的物理現(xiàn)象及運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行抽象概括或是推理得出來(lái)的。比如，上述中所提到到的落體實(shí)驗(yàn)中，伽利略就用數(shù)學(xué)推理的反證法巧妙地論證了亞里士多德理論中物體的下落速度與質(zhì)量有關(guān)的矛盾性。同時(shí)伽利略通過(guò)在比薩斜塔的拋球?qū)嶒?yàn)，還開(kāi)創(chuàng)了物理方面重力加速度的新課題研究。由此可見(jiàn)，科學(xué)的思維方式和嚴(yán)格的邏輯推理對(duì)研究和解決物理方面的難題是非常有效的。

3.3 數(shù)學(xué)函數(shù)在物理中的應(yīng)用

在物理研究中，力是指物質(zhì)之間的相互作用，它能使物體獲得加速度、改變其運(yùn)動(dòng)方向或是發(fā)生形變，其中力的大小、方向、作用點(diǎn)是力的三要素。由此可見(jiàn)，力在數(shù)學(xué)研究中是具有向量性的。在物理研究中，用數(shù)學(xué)的向量運(yùn)算方法能夠很好地解決物理力學(xué)方面的難題。比如，在物理研究中引入數(shù)學(xué)坐標(biāo)系則會(huì)將力學(xué)研究中的抽象概念轉(zhuǎn)化為平面幾何的圖像，通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)數(shù)與形、代數(shù)與幾何之間的相互聯(lián)系，建立變量與函數(shù)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系（即力學(xué)函數(shù)方程），使之達(dá)到數(shù)與形的相互統(tǒng)一，再運(yùn)用數(shù)學(xué)工具對(duì)其函數(shù)方程進(jìn)行解析，便可準(zhǔn)確得出圖形中每個(gè)點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的力值及相互作用關(guān)系。

4 數(shù)學(xué)知識(shí)與物理相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

不論是數(shù)學(xué)知識(shí)還是物理知識(shí)，能否解決現(xiàn)實(shí)所存在的問(wèn)題才是其能力提升的關(guān)鍵所在。眾所周知，數(shù)學(xué)能力包含思維能力、運(yùn)算能力、空間想象力等分析和解決問(wèn)題的能力，其中思維能力主要表現(xiàn)在邏輯思維、探索能力、直覺(jué)思維、推理能力以及創(chuàng)造能力等方面。這些能力是解決物理學(xué)問(wèn)題必不可少的智力條件。所以實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)與物理之間的相互轉(zhuǎn)化，可以在很大程度上促進(jìn)物理學(xué)科與數(shù)學(xué)學(xué)科的發(fā)展。

4.1 將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題

在物理研究中很多概念都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式。其中在解決物理知識(shí)時(shí)人們通過(guò)對(duì)物理量之間的關(guān)系變化進(jìn)行分析，找到各物理量之間的切入點(diǎn)，運(yùn)用合理的數(shù)學(xué)方程式，便可很好地實(shí)現(xiàn)物理與數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化[5]。例如，物理學(xué)中物體運(yùn)動(dòng)軌跡的變化，引入數(shù)學(xué)解題思維中的數(shù)學(xué)坐標(biāo)系，根據(jù)其物體運(yùn)動(dòng)處于勻速、變速或加速狀態(tài)構(gòu)建物體運(yùn)動(dòng)軌跡圖形，可以使物理問(wèn)題更為直觀化。物理學(xué)研究的成果基本上是在反復(fù)試驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)的，對(duì)實(shí)踐更有指導(dǎo)意義。將物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的表示方式建立物理方面的適用公式，將更有利于物理難題的解析。

4.2 利用數(shù)學(xué)知識(shí)將物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式

數(shù)學(xué)作為一種基礎(chǔ)工具，廣泛地運(yùn)用于各種物理研究當(dāng)中。其中函數(shù)的運(yùn)用最為常見(jiàn)，比如，在物理研究中將物理現(xiàn)象與數(shù)學(xué)知識(shí)相結(jié)合建立函數(shù)關(guān)系，在物理中被稱為變量，或者用數(shù)學(xué)運(yùn)算中的定量計(jì)算理論來(lái)對(duì)物理問(wèn)題中所存在的作用關(guān)系來(lái)加以定性。這些物理規(guī)律與數(shù)學(xué)知識(shí)的種種轉(zhuǎn)化，目的都是為了更好地發(fā)現(xiàn)物理規(guī)律，解決物理問(wèn)題。但是物理問(wèn)題并不只是單純的數(shù)學(xué)問(wèn)題，雖然數(shù)學(xué)是解決物理問(wèn)題的重要工具，但并不能完全代替物理。物理是一門(mén)復(fù)雜的學(xué)科，其中包含各種物理定理及物理公式等。在物理研究時(shí)，首先要有清晰的研究思路，其次藥掌握物理定理及變化公式，否則研究思路就會(huì)很混亂，且結(jié)果還會(huì)不準(zhǔn)確。因此在解決物理問(wèn)題時(shí)必須掌握正確的方法，找準(zhǔn)立足點(diǎn)，將物理規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)形式的符號(hào)，再通過(guò)數(shù)學(xué)方式的運(yùn)算，只有這樣才能更加準(zhǔn)確地解決物理問(wèn)題。

4.3 對(duì)數(shù)學(xué)與物理之間的關(guān)系加以利用

在物理實(shí)驗(yàn)時(shí)，研究者通常會(huì)利用數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)方法來(lái)對(duì)實(shí)驗(yàn)中所出現(xiàn)的問(wèn)題進(jìn)行分析，比如物理中的電場(chǎng)運(yùn)動(dòng)軌跡、往返運(yùn)動(dòng)等研究，若單從物理方面進(jìn)行分析很難剖析出其中的相互關(guān)系，但結(jié)合數(shù)學(xué)理論，將物理實(shí)驗(yàn)中物體運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)方程，建立物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型，模擬物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律，并參照物理實(shí)驗(yàn)中所存在的實(shí)際條件，便可清晰地了解到該物理問(wèn)題的的核心，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方程來(lái)準(zhǔn)確計(jì)算，便可得知各物理量之間的作用關(guān)系。物理與數(shù)學(xué)之間其實(shí)并無(wú)明顯的界限，如方程式的運(yùn)用，既可以成為物理知識(shí)，也可以成為數(shù)學(xué)知識(shí)。所以對(duì)數(shù)學(xué)與物理之間的關(guān)系多加以利用，能更好地解決物理問(wèn)題中所存在的問(wèn)題。