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    平余式運(yùn)算規(guī)則
    ——從平面數(shù)到孫子共數(shù)的求解

    2020-03-07 13:03:58張國(guó)平
    數(shù)理化解題研究 2020年6期
    關(guān)鍵詞:互質(zhì)公倍數(shù)整數(shù)

    張國(guó)平

    (福建省南平市福州大學(xué) 353416)

    在孫子算經(jīng)中:“今有物不知共數(shù),三三數(shù)之剩二,五五數(shù)之剩三,七七數(shù)之剩二,問(wèn)物幾何”.

    那么,由題我們首先轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)思考則是:

    假設(shè)其共數(shù)為y,則y=3x1+2;y=5x2+3;y=7x3+2;由于數(shù)之是次數(shù),故x1,x2,x3為整數(shù).

    現(xiàn)將上述思考轉(zhuǎn)換成‘平余式’表達(dá)式則為[3,2];[5,3];[7,2].則我們要尋求的就是關(guān)于平余式的運(yùn)算規(guī)則,但在此,我只給出解題過(guò)程,而把平余式的運(yùn)算規(guī)則附在后面.

    尋找3N1與5N2+1的最小公倍數(shù)?6+2=8.

    再由[15,8]與[7,2]運(yùn)用平余式規(guī)則進(jìn)行如下運(yùn)算:

    尋找15N1+6與7N2的最小公倍數(shù)?21+2=23.

    即孫子共數(shù) [3,2];[5,3];[7,2] 運(yùn)用平余式規(guī)則求解的共數(shù)為[105,23]或是y=105x+23的整數(shù)值,所以,它的解不是一個(gè)數(shù)而是一類數(shù).

    附:平余式運(yùn)算規(guī)則原始思考如下:

    假設(shè)平余式[a1,k1];[a2,k2](其中k1,k2,a1,a2∈Z且a1≠0,a2≠0,a1,a2不可約(互質(zhì))).

    ①若a1=a2,k1=k2(即k1=k2±a1).

    則條件組合為復(fù)式,其本身就是類解.若a1=a2,k1≠k2(即k1≠k2±a1)則條件組無(wú)共數(shù)或共數(shù)為空.

    所以:G=(TN+K1)+m(a1,a2)*N(跳躍數(shù)).

    故而,當(dāng)平余式(條件式)運(yùn)算規(guī)則確立后,素?cái)?shù)的遞推式也就由此呈現(xiàn),但里面并不是單一和純粹的.

    平余式運(yùn)算法則:[a,b]相與y=ax+b的整數(shù)值

    [a,b]= [a,b±a];

    [a,b]±m(xù)= [a,b±a] ±m(xù)=[a,b±a±m(xù)]= [a,b±m(xù)]

    [a,b]*m= [a,b*m]; [a,b]n= [a,bn];

    [a,b]±[a,c]= [a,b]±c= [a,b±c];

    平余式運(yùn)算的逆運(yùn)算——共數(shù)的逆向求解

    設(shè)平余式[a,b],[c,d],[e,f].

    假若[a,b][c,d]=[e,f](a與c互質(zhì)).

    現(xiàn)已知:[c,d],[e,f] (a,c互質(zhì)),求[a,b].

    解由平余式公式知e=a*c?a=e÷c,a*N=f-b(0≤b

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