FFT動(dòng)態(tài)相位重建算法的濾波窗影響分析

陳 瑜，潘永強(qiáng)，劉丙才，田愛(ài)玲

（西安工業(yè)大學(xué) 光電工程學(xué)院 陜西省薄膜技術(shù)與光學(xué)檢測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710021）

引言

光干涉測(cè)量方法具有非接觸、高效率、高靈敏度等特點(diǎn)，也就必然成為新世紀(jì)精密測(cè)量技術(shù)的重要發(fā)展方向[1]。干涉圖相位提取是干涉測(cè)量中的關(guān)鍵一步，相位提取精度的優(yōu)劣直接影響最終檢測(cè)的精度[2]?？焖俑道锶~變換法（fast fourier transform，F(xiàn)FT）具有處理瞬變波面相位的能力，可有效克服機(jī)械振動(dòng)和氣流的影響[3-5]，因此成為大口徑光學(xué)元件測(cè)量的常用方法之一。

快速傅里葉變換法（FFT）于20 世紀(jì)80 年代被提出并應(yīng)用于條紋圖的相位提取中[6]，對(duì)干涉條紋圖進(jìn)行FFT 相位提取法的目的是提取出頻譜中包含被測(cè)波面信息的正一級(jí)頻譜，也稱(chēng)為濾波過(guò)程[7-8]，濾波過(guò)程的好壞直接影響相位提取精度的高低。目前國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)針對(duì)FFT 相位提取技術(shù)主要圍繞算法中幾個(gè)關(guān)鍵步驟進(jìn)行研究，如文獻(xiàn)[9]對(duì)干涉圖延拓進(jìn)行分析;文獻(xiàn)[10]提出了一種基于FFT 時(shí)移特性的疊柵條紋細(xì)分方法；文獻(xiàn)[11]較為綜合地分析了影響FFT 相位提取法的邊緣誤差、窗函數(shù)、濾波器設(shè)計(jì)、干涉圖延拓及載波條紋數(shù)等因素；文獻(xiàn)[12]將傅里葉變換相位提取法應(yīng)用于仿真及實(shí)驗(yàn)采集電子散斑干涉（electronic speckle interference，ESPI）信息處理中。為得到更高的相位提取精度，對(duì)二維FFT 相位提取法的進(jìn)一步研究仍是國(guó)內(nèi)外研究熱點(diǎn)。

針對(duì)FFT 相位提取技術(shù)的濾波過(guò)程進(jìn)行研究，通過(guò)選取不同濾波窗對(duì)計(jì)算機(jī)仿真干涉圖進(jìn)行相位提取，對(duì)比不同類(lèi)型的濾波窗濾出的正一級(jí)頻譜分布形狀及其對(duì)相位提取精度的影響，最后利用實(shí)驗(yàn)采集干涉圖對(duì)算法的可靠性進(jìn)行驗(yàn)證。

1 基本原理

1.1 快速傅里葉變換（FFT）基本原理

對(duì)于一般的實(shí)驗(yàn)干涉儀，引入空間載頻fx、fy后的干涉條紋的強(qiáng)度分布可以表示為

其中

式中：Id(x,y)是干涉條紋的背景光強(qiáng)分布；b(x,y)是干涉條紋的調(diào)制度分布；φ(x,y)為含有待測(cè)波面相位信息的相位分布函數(shù)； *表示復(fù)共軛[13]。

對(duì)(1)式進(jìn)行傅里葉變換，將空域中的干涉條紋信息轉(zhuǎn)移到頻域內(nèi)，得到的頻譜分布函數(shù)表示為

式中A(f1,f2)、C(f1-fx,f2-fy)、C*(f1+fx,f2+fy)分別表示零級(jí)、正一級(jí)、負(fù)一級(jí)頻譜分布函數(shù)。選取一個(gè)中心頻率為(fx,fy)的濾波器將正一級(jí)頻譜C(f1-fx,f2-fy)提取出來(lái)并平移至原點(diǎn)，得到C(fx,fy)，對(duì)其進(jìn)行二維傅里葉逆變換，即可得到C(x,y)。由(2)式可得所求相位

式中Re[c(x,y)]及l(fā)m[c(x,y)]分別為C(x,y)的實(shí)部和虛部。

1.2 濾波窗函數(shù)

如圖1(a)為仿真干涉圖的頻譜分布，要準(zhǔn)確無(wú)誤地從該頻譜圖中提取正一級(jí)頻譜，就要選取適當(dāng)?shù)臑V波窗，但若選取濾波窗不當(dāng)，就會(huì)造成有效頻譜信息的缺失[14]。如圖1(b)所示為選取濾波窗為圓域形窗口時(shí)濾出的正一級(jí)頻譜，其頻譜信息出現(xiàn)明顯截?cái)喱F(xiàn)象，為了減少截?cái)嗾`差，有必要對(duì)幾種通用的濾波器進(jìn)行分析與比較。目前二維FFT 進(jìn)行干涉測(cè)試數(shù)據(jù)處理時(shí)，使用較多的濾波器有海明(Hamming)窗、漢寧(Hanning)窗、高斯(Gaussian)窗、布萊克曼(Blackman)窗。

圖1 FFT 法濾波階段頻譜分布Fig.1 Filtering stage spectrum distribution of FFT method

根據(jù)干涉圖頻譜分布的這一特點(diǎn)，選取與其分布形狀相似的幾種濾波窗函數(shù)，表1 為幾種濾波窗函數(shù)的一維表達(dá)式。

根據(jù)表1 中各類(lèi)窗函數(shù)的分布函數(shù)繪制時(shí)頻振幅響應(yīng)分布，選取N=30 作為采樣點(diǎn)，為直觀起見(jiàn)，繪制其一維空/頻分布如圖2，其對(duì)應(yīng)二維空/頻分布，可由一維空/頻分布經(jīng)旋轉(zhuǎn)得到。

圖2 幾種濾波窗函數(shù)振幅響應(yīng)Fig.2 Spectral response of several filter window functions

根據(jù)圖2 多種濾波窗函數(shù)的時(shí)域/頻域響應(yīng)及表1 中參數(shù)可知，不同窗函數(shù)主要差別在于主瓣寬度及旁瓣衰減速率。其中主瓣寬度主要影響信號(hào)的能量分布，旁瓣峰值衰減速率影響能量的泄露程度[15]，旁瓣越高，能量泄露越嚴(yán)重，衰減速率就越慢[16]。對(duì)于FFT 濾波過(guò)程，要保證濾出正一級(jí)頻譜的同時(shí)濾掉其他頻譜成分，且要最大程度地保留正一級(jí)頻譜沿x軸和y軸延伸區(qū)域內(nèi)的頻譜成分，需綜合考慮濾波窗的頻譜分布形狀及對(duì)應(yīng)參數(shù)。

2 仿真分析

2.1 濾波處理

針對(duì)第一節(jié)提出的頻譜截?cái)喱F(xiàn)象，選取Hamming、Hanning、Gaussian、Blackman 四種與正一級(jí)頻譜分布形狀相近的濾波窗對(duì)仿真干涉圖的頻譜圖(圖1(a))進(jìn)行濾波處理，其中仿真干涉圖尺寸為300×300 像素，零頻頻譜中心頻率位于（151，151），正一級(jí)頻譜中心頻率位于（164，164），即濾波窗中心頻率確定。根據(jù)距離公式求得二者像素間距為18.384 7 像素，則濾出正一級(jí)頻譜對(duì)應(yīng)窗口函數(shù)的濾波半徑可以此為參考。如圖3 分別為其對(duì)應(yīng)頻譜響應(yīng)（濾波半徑取值為18）及選取該窗口濾出的正一級(jí)頻譜分布圖。

分析圖3(a)～(d)可得：經(jīng)Hamming 窗和Hanning窗提取的正一級(jí)頻譜較完整地保留了原始頻譜成分，沒(méi)有其他頻譜成分的混入。分析其造成的原因主要是由于主瓣寬度覆蓋了正一級(jí)頻譜帶寬，且第一旁瓣高度較低，未出現(xiàn)頻譜泄露現(xiàn)象，即未混入零頻及負(fù)一級(jí)頻譜；而經(jīng)Gaussian、Blackman窗提取的正一級(jí)頻譜分布雖較完整地保留了原始頻譜成分，但有其他頻譜成分的混入。分析對(duì)應(yīng)窗口函數(shù)及頻譜響應(yīng)分布得到，其主瓣寬度覆蓋正一級(jí)頻譜寬度，但由于其第一旁瓣有一定幅值，造成了在此窗函數(shù)x及y方向上引入較多頻譜泄露，即混入的零頻及正一級(jí)頻譜。

圖3 不同濾波窗及其提取模擬干涉圖的正一級(jí)頻譜分布Fig.3 Positive first-order spectral distribution of simulated interferogram extracted by different filtering windows

2.2 相位誤差分析

將不同濾波窗函數(shù)提取出的正一級(jí)頻譜進(jìn)行移中并做逆傅里葉變換，利用反正切函數(shù)求得包裹相位，再利用離散余弦（discrete-cosin-transform，DCT）解包裹法提取連續(xù)相位，最后進(jìn)行波面擬合，得到波面分布。計(jì)算不同濾波窗口選取下的FFT相位提取法得到波面的波面峰谷值（peak-to-valley，PV）和波面均方根值(root-mean-square，RMS)，分析相位提取精度并與原始波面進(jìn)行殘差計(jì)算。其中原始波面分布評(píng)價(jià)參數(shù)PVa為0.246 4λ，RMSa為0.056 4λ，經(jīng)FFT 法得到的波面分布評(píng)價(jià)參數(shù)為PV1、RMS1，記ΔPV=PV1-PVa，ΔRMS=RMS1-RMSa。其值如表2 所示。

表2 不同濾波窗下FFT 算法結(jié)果比較 (λ=632.8 nm)Table 2 Comparison of FFT algorithm results in different filtering windows (λ=632.8 nm)

對(duì)比上述ΔPV 及ΔRMS 可知，選取Blackman窗及Hamming 窗處理得到波面的評(píng)價(jià)參數(shù)在數(shù)值上較其他窗口函數(shù)更逼近原始波面的評(píng)價(jià)參數(shù)，結(jié)果優(yōu)于Gaussian 窗及Hanning 窗。其中最優(yōu)窗口類(lèi)型為Hamming 窗，其波面峰谷值殘差為0.008 5λ，波面均方根值殘差為0.000 1λ。

3 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

3.1 實(shí)驗(yàn)裝置

為驗(yàn)證仿真結(jié)果的可行性和精度，分別采用二維傅里葉變換法(2D-FFT)和移相干涉法(PSI)對(duì)實(shí)驗(yàn)采集的干涉圖進(jìn)行處理并比較其測(cè)試結(jié)果。實(shí)驗(yàn)階段所用的菲索干涉儀是美國(guó)Zygo 公司生產(chǎn)的Verifire PE 激光干涉儀，該干涉儀是共光路面形計(jì)量干涉儀，光源為低功率的632.8 nm 的氦氖激光，采用PZT 移相干涉原理可以對(duì)多種光學(xué)元件的面形進(jìn)行檢測(cè)，其干涉儀裝置如圖4 所示。

圖4 Zygo 激光干涉儀裝置圖Fig.4 Diagram of Zygo laser interferometer device

3.2 算法處理

使用Zygo 干涉儀采集實(shí)驗(yàn)干涉圖如圖5(a)所示，其尺寸為300×300 像素。經(jīng)消除白噪聲后的條紋圖如圖5(b)，對(duì)處理后的條紋圖進(jìn)行二維傅里葉變換，得到頻譜分布如圖5(c)。選取Hamming 窗將正一級(jí)頻譜取出并濾掉其他頻譜，并將正一級(jí)頻譜平移到整個(gè)頻譜中心，如圖5(d)～(e)；對(duì)移中后的正一級(jí)頻譜做二維傅里葉逆變換，利用反正切函數(shù)求取包裹相位如圖5(f)，采用離散余弦解包裹法進(jìn)行處理，其結(jié)果如圖5(g)。

圖5 FFT 相位提取法各階段處理結(jié)果圖Fig.5 Diagram of interferogram processing result by using FFT

選取其他3 種濾波窗（Hanning、Blackman、Gaussian）對(duì)實(shí)驗(yàn)采集條紋圖進(jìn)行上述相位提取的算法處理，圖6(a)～(d)所示為上述4 種濾波窗提取出的實(shí)驗(yàn)干涉圖正一級(jí)頻譜分布。

對(duì)圖6 進(jìn)行分析可得，實(shí)驗(yàn)干涉圖在不同濾波窗處理下的正一級(jí)頻譜分布與仿真干涉圖的結(jié)果呈現(xiàn)相同的趨勢(shì)。即Hamming 窗和Hanning 窗較完整地保留正一級(jí)頻譜且無(wú)其他頻譜成分混入，而B(niǎo)lackman 窗及Gaussian 窗仍有其他頻譜成分混入。

圖6 不同濾波窗提取實(shí)驗(yàn)干涉圖的正一級(jí)頻譜分布Fig.6 Positive first-order spectral distribution of experimental interferogram extracted by different filtering windows

3.3 結(jié)果分析

表3 為用FFT 相位提取法(不同濾波窗口)得到的波面及PSI 法測(cè)得波面的評(píng)價(jià)參數(shù)匯總。

表3 FFT（不同濾波窗）&PSI 算法的結(jié)果比較 (λ=632.8 nm)Table 3 Comparsion of results in FFT(different filtering windows) and PSI (λ=632.8 nm)

由表3 可知，選取Hanning 窗及Hamming 窗處理得到波面的評(píng)價(jià)參數(shù)在數(shù)值上較其他窗口函數(shù)更逼近PSI 法所得波面評(píng)價(jià)參數(shù)，結(jié)果優(yōu)于Blackman窗及Gaussian 窗。其中最優(yōu)窗口類(lèi)型為Hamming窗，其波面峰谷值殘差為0.009 3λ，波面均方根值殘差為0.000 5λ。

4 結(jié)論

針對(duì)二維傅里葉變換相位提取算法濾波過(guò)程中濾波窗的選取進(jìn)行研究。首先分析干涉條紋圖的頻譜分布及各類(lèi)濾波窗口函數(shù)的參數(shù)及其頻譜響應(yīng)；其次進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，針對(duì)干涉圖的頻譜分布特點(diǎn)選取合適的窗口進(jìn)行濾波處理并進(jìn)行相位提取，分析不同窗口選取下對(duì)相位提取精度的影響；最后利用立式菲索干涉儀進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證并與移相干涉測(cè)量法所測(cè)的結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。實(shí)驗(yàn)及仿真結(jié)果表明：選取Hamming 窗提取的正一級(jí)頻譜較完整地保留了原始頻譜成分，相位提取精度優(yōu)于0.01λ，可進(jìn)一步應(yīng)用于大口徑光學(xué)元件的測(cè)量中。