基于波長移相剪切干涉的準(zhǔn)直波前重構(gòu)技術(shù)

單小琴，韓志剛，朱日宏

（1.南京理工大學(xué) 紫金學(xué)院，江蘇 南京 210046；2.南京理工大學(xué) 電子工程與光電技術(shù)學(xué)院，江蘇 南京 210094）

引言

在干涉測量中，為保證測量精度需要校準(zhǔn)干涉儀出射波前。檢測光束準(zhǔn)直性的方法[1]有自準(zhǔn)直法、塔爾波特成像法、夏克-哈特曼法、五棱鏡掃描法[2]、剪切干涉法[3-10]等。其中剪切干涉法以被檢波前與其自身剪切波前之間在重疊范圍內(nèi)相干涉，從而評價(jià)被檢波前本身的缺陷。橫向剪切干涉法[3-9]采用共光路系統(tǒng)，干涉條紋穩(wěn)定，環(huán)境適應(yīng)性強(qiáng)，在波前測量領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用。傳統(tǒng)提取剪切干涉條紋相位分布采用解析法[3]，這種方法處理單幀干涉條紋，相位恢復(fù)精度較低。D.S.Mehta 等[4]提出雙波長橫向剪切干涉法實(shí)現(xiàn)波前及透射相位物體的測量。移相法能夠精確測量干涉條紋的相位分布，H.Lee[5]等采用兩組楔板實(shí)現(xiàn)正交方向上的橫向剪切和移相。X.Guo[6]等提出了采用Savart 分光鏡實(shí)現(xiàn)剪切，并采用空間移相方法提取剪切干涉條紋的相位分布。空間移相方法也被用于徑向剪切干涉裝置中[7]。改變激光器的波長亦可實(shí)現(xiàn)干涉條紋移相，從而精確提取相位分布[10-13]。G.Coppola[11]等提出了采用波長掃描法利用剪切干涉裝置測量透射平板的厚度及折射率。本文提出了一種采用楔板及角錐棱鏡實(shí)現(xiàn)剪切干涉測量干涉儀準(zhǔn)直波前的方法，該方法利用干涉儀自身成像系統(tǒng)獲取干涉條紋，并采用波長移相精確獲取干涉條紋的相位分布。

1 原理

基于波長調(diào)諧的剪切干涉法重構(gòu)干涉儀準(zhǔn)直波前的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1 所示，干涉儀出射波前分別被楔板的前后兩個(gè)表面反射后，通過角錐棱鏡返回在干涉儀CCD 上形成干涉條紋。

圖1 基于波長調(diào)諧的剪切干涉法重構(gòu)干涉儀準(zhǔn)直波前的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of shear interferometry based on wavelength tuning to reconstruct interferometer collimated wavefront

如圖2(a)所示，以干涉儀出射波面的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立xOy坐標(biāo)系，干涉儀出射波前表示為W(x),x∈[a,d]，波面的x∈[a,c]部分及x∈[b,d]部分分別經(jīng)楔板的前后表面反射后形成波面WAC及WBD；這兩組波面完全進(jìn)入角錐棱鏡并反射成為再由楔板反射后形成剪切波面

圖2 測試光路Fig.2 Testing of optical path

其中CAC及CBD為常數(shù)，兩者之間的錯(cuò)位量為s=b+da-c。于是光程差函數(shù)：

其中：Ibg(x) 為 背景光強(qiáng)；C(x)為調(diào)制度函數(shù)。由(1)～(4)式可知，干涉條紋的光強(qiáng)表達(dá)式中攜帶了干涉儀出射波前信息，可以通過恢復(fù)剪切干涉條紋的相位進(jìn)而重構(gòu)波前。

波前重構(gòu)分兩步完成，首先由波長移相方法提取剪切干涉圖的相位分布，然后根據(jù)剪切量的大小分別采用積分法或待定系數(shù)法恢復(fù)干涉儀的出射波前。

1.1 基于波長調(diào)諧的剪切干涉圖相位提取

對于波長可調(diào)諧的激光干涉條紋，Δλ的波長變化量引起的相位變化 Δφ為[8]

式中 λ0為中心波長。令時(shí)，定值的波長變化量產(chǎn)生的相位變化量亦是定值。采用四步相移法求解干涉條紋的相位分布，相位步進(jìn)量定為 Δ φ=π/2，于是有其中的常數(shù)分量且當(dāng)

采集4 幅相位間隔為π/2的干涉圖，其光強(qiáng)分布分別為I1(x)、I2(x)、I3(x)及I4(x)，從而解得剪切干涉條紋的光程差分布：

1.2 波前重構(gòu)

1.2.1 積分法重構(gòu)干涉儀出射波前

當(dāng)剪切量很小，即b+d、a+c接近0 時(shí)，可采用積分法實(shí)現(xiàn)波前重構(gòu)。光程差函數(shù)可以看成是W(x)的微分：

于是干涉儀出射波面為

1.2.2 待定系數(shù)法重構(gòu)干涉儀出射波前

當(dāng)剪切量較大時(shí)，(8)式并不成立。此時(shí)不妨設(shè)干涉儀出射的一維波面W(x)可用多項(xiàng)式表示，即：

其中n為0 到nMax間的整數(shù)，光程差函數(shù)WOPD(x)可寫為

由上式可知WOPD(x)可以用x的nMax-1 階函數(shù)表示，即：

建立(11)式、(12)式的相等關(guān)系，an可由系數(shù)bn及剪切量求得[14]：

將(13)式代入式(10)即可實(shí)現(xiàn)波前重構(gòu)

2 實(shí)驗(yàn)

實(shí)驗(yàn)在100 mm 口徑波長移相干涉儀上進(jìn)行，該干涉儀為斐索型結(jié)構(gòu)，波長調(diào)諧激光器采用Newfocus7004 型，波長變化范圍是632.65 nm～632.97 nm。通過改變干涉儀擴(kuò)束鏡與準(zhǔn)直物鏡的相對位置來產(chǎn)生不同像差的準(zhǔn)直波前，采用楔板與角錐產(chǎn)生剪切干涉條紋。圖3 給出了沿光軸移動擴(kuò)束鏡時(shí)產(chǎn)生的三組剪切干涉干涉圖，隨著擴(kuò)束鏡的移動，剪切波面的傾斜量發(fā)生變化。設(shè)定產(chǎn)生剪切的兩支光束的光程差常量為67 mm，采用波長移相方法求得圖3 中L1L1'、L2L2'、L3L3'截線上的剪切波面，如圖4 所示，擴(kuò)束鏡位于不同位置時(shí)的干涉儀出射波面如圖5 所示，三組波面的峰谷值分別為3.22λ、2.10λ、0.83λ?？梢姴煌瑑A斜量的剪切波面恢復(fù)得到的干涉儀出射波面的離焦量不同，傾斜得越厲害離焦量越大。

3 討論

3.1 相對剪切比對波面重構(gòu)精度的影響

相對剪切比Sr是指剪切量S與待檢光束口徑D的比值，定義剪切波面與干涉儀出射原波面的峰谷值之比為靈敏度Se，Sr影響了剪切干涉測量的靈敏度[3]。

圖3 不同干涉儀出射波面的剪切干涉圖Fig.3 Shear interferograms formed by different emergent wavefront of interferometer

圖4 波長移相法恢復(fù)的剪切波面Fig.4 Shear wavefront retrieved by wavelength phaseshifting method

圖6(a)仿真干涉儀出射波面W(x)=0.2·x2-0.4·x3+0.3·x4，x∈[-1,1]，圖6(b)給出了經(jīng)過角錐剪切裝置后，干涉儀得到的剪切比為0.2 的波面，圖6(c)、(d)為分別采用積分法及待定系數(shù)法重構(gòu)得到的波面與原波面的差值?？芍羟斜葹?.2時(shí)，待定系數(shù)法的重構(gòu)效果比積分法好。

圖5 由剪切波面恢復(fù)得到的干涉儀出射波面Fig.5 Interferometer emerging wavefront retrieved by shear wavefront

圖6 剪切干涉波面重構(gòu)仿真Fig.6 Simulation of shear wavefront reconstruction

表1 給出了不同剪切比Sr時(shí)，靈敏度值Se及分別采用積分法和待定系數(shù)法恢復(fù)得到的波面與原波面的差函數(shù)峰谷值Dint和Dco?？梢婋S著相對剪切比的增加，靈敏度隨之提高。對于積分法，隨著相對剪切比的增加，波前重構(gòu)精度降低；而對于待定系數(shù)法，相對剪切比對波面重構(gòu)精度影響不大。

3.2 影響相對剪切比的因素

如圖7 所示，在xOy坐標(biāo)系內(nèi)，楔板的前表面與y軸的夾角為α，楔板的楔角為φ，楔板的后表面與y軸夾角表示為α-φ。以角錐在主平面的交點(diǎn)R及R'到楔板前表面的距離L1及L2定位角錐的空間位置，角錐的口徑為D，令，定義平行于y軸光線的光線L經(jīng)楔板后表面反射后剛好經(jīng)過角錐棱鏡的R點(diǎn)，以楔板在邊緣光線上的截線段h表示楔板的厚薄，這里不考慮楔板折射率的影響，即認(rèn)為楔板的折射率為1。AC、BD及AB的大小可由（14）～（16）式表示：

表1 不同剪切比對波面靈敏度及波面重構(gòu)精度的影響（仿真的干涉儀出射波面峰谷值為0.9λ）Table 1 Impact of different shear ratio on wavefront sensitivity and reconstruction accuracy (Simulated emerging wavefront peak-to-valley value of interferometer is 0.9λ)

圖7 相對剪切比及其影響因素的關(guān)系Fig.7 Relation between relative shear ratio and its influence factors

于是

剪切干涉圖的大小為

相對剪切比可由下式表示：

由(17)～(19)式可知，楔角、楔板的厚度、楔板的前表面與y軸的夾角及角錐的相對位置影響著相對剪切比。

3.2.1 楔角

圖8 為仿真D=60 mm，α=50°，h=20 mm，L2=150 mm，β=60°時(shí)，楔角φ由0°變化至1°剪切干涉條紋的相對剪切比的變化情況，由圖8 可知，相對剪切比隨著楔角同步增大。當(dāng)楔角為0°即楔板為平行平板時(shí)相對剪切比最小。需要指出的是當(dāng)剪切板為平板時(shí)，干涉儀的像面上實(shí)際接受到四組波面，即干涉儀出射波面經(jīng)剪切板前后表面反射至角錐并原路返回的兩組波面分別再次由剪切板前后表面反射形成，它們兩兩相干，形成復(fù)雜的干涉條紋圖案，如圖9 所示。

圖8 楔角對相對剪切比的影響Fig.8 Impact of wedge angle on relative shear ratio

圖9 剪切板為平板時(shí)的干涉條紋Fig.9 Interference fringes obtained when shear plate is a flat plate

3.2.2 楔板的前表面與y軸的夾角α

圖10 為仿真D=60 mm，φ=0.5°，h=1 mm，L2=150 mm，β=60°時(shí)，α由30°變化至70°剪切干涉條紋的相對剪切比的變化情況，由圖可知，相對剪切比隨著α的增大而減小。

3.2.3 楔板的厚度h

圖11 為 仿 真D=60 mm，φ=0.5°，α=50°，L2=150 mm，β=60°時(shí)，h由15 mm 變化至25 mm 剪切干涉條紋的相對剪切比的變化情況，由圖可知，相對剪切比隨著h同步增大。

圖10 α 對相對剪切比的影響Fig.10 Impact of α on relative shear ratio

圖11h 對相對剪切比的影響Fig.11 Impact of h on relative shear ratio

3.2.4 角錐的相對位置

角錐相對于楔板的位置由L2及β決定。圖12為 仿 真D=60 mm，h=20 mm，φ=0.5°，α=50°，L2=150 mm 時(shí)，β由50°變化至70°時(shí)剪切干涉條紋的相對剪切比的變化情況，由圖可知，相對剪切比隨著β的增大而增大。當(dāng)β=60°不變，L2由100 mm變化至170 mm 時(shí)，相對剪切比隨著L2的增大而增大。

3.3 估算光程差的常數(shù)分量

根據(jù)(6)式，采用波長調(diào)諧方式求解剪切干涉條紋需要估算形成剪切干涉條紋的兩支光束的光程差WOPD(x)的常數(shù)分量以該常量為基礎(chǔ)設(shè)定可調(diào)諧激光器的波長步進(jìn)以實(shí)現(xiàn)移相量的標(biāo)定[8]。不妨設(shè)干涉儀出射波面、角錐質(zhì)量及楔板的面形皆理想以估算可以證明可 用下式表示：

由此可見，估算光程差需要綜合楔板的傾角、楔角及角錐的相對位置等綜合因素。本文實(shí)驗(yàn)中，D=60 mm，φ=0.5°，α=50°，L2，L1分別約為250 mm，300 mm，h約為20 mm，估算光程差常量為67 mm。

圖12β 對相對剪切比的影響Fig.12 Impact of β on relative shear ratio

圖13L2 對相對剪切比的影響Fig.13 Impact of L2 on relative shear ratio

4 結(jié)論

本文提出了基于波長調(diào)諧的橫向剪切干涉法重構(gòu)干涉儀準(zhǔn)直波前方案，相比于傳統(tǒng)的橫向剪切干涉法，本文合理利用了角錐棱鏡的反射特性，不需另外搭建成像系統(tǒng)即可形成剪切干涉條紋；利用波長移相方法實(shí)現(xiàn)剪切干涉圖的相位提取，有效提高了波面的測量精度；分析相對剪切比對波面重構(gòu)精度的影響；推導(dǎo)相對剪切比和其影響因素間的關(guān)系公式；給出波長移相中光程差常數(shù)分量的估算方法。該方法特別適合于測量波長移相式干涉儀的出射波前。

本文采用的實(shí)驗(yàn)裝置中，楔板的前后表面面形及角錐質(zhì)量都會對系統(tǒng)帶來誤差，影響測試結(jié)果；另外，大口徑干涉儀的準(zhǔn)直系統(tǒng)的檢測可以采用本系統(tǒng)裝置拼接實(shí)現(xiàn)，今后將在這兩方面努力以改進(jìn)我們的方法。