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    線性代數(shù)中向量內(nèi)積及正交化幾何意義的教學研究

    2020-03-05 03:15:06郭冰陽周雙雙
    科學咨詢 2020年49期
    關(guān)鍵詞:內(nèi)積代數(shù)定理

    郭冰陽 周雙雙

    (湖南城市學院理學院 湖南益陽 413000)

    線性代數(shù)主要研究有限維線性空間及線性變換代數(shù)結(jié)構(gòu)的學科,它廣泛應(yīng)用于科學技術(shù)的各領(lǐng)域。運用線性代數(shù)在高維線性空間里研究問題,先要構(gòu)造一組標準正交基。在向量的內(nèi)積和正交化這一節(jié)中,線性代數(shù)教材都是從出發(fā),將直角坐標系的一個常用的基, ,推廣到中,通過一系列的定義和定理講述怎樣得到一組標準正交基。至于為什么要構(gòu)造標準正交基,標準正交基有什么優(yōu)勢,教材中都沒有涉及。因此,盡管教材中定義定理表述得很清楚,但學生對定義定理的本質(zhì)不理解,僅僅覺得是概念和定理的堆砌,不明白其作用。為了幫助學生將抽象的代數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)換為空間幾何的形象理解,在講授中,我們結(jié)合向量間的空間關(guān)系,通過空間幾何關(guān)系的演示,討論向量內(nèi)積和正交化的幾何意義,使結(jié)論具體呈現(xiàn),從而學生能夠理解問題本質(zhì),做到學以致用。

    一、向量內(nèi)積的幾何意義

    向量的內(nèi)積也叫數(shù)量積,以三維為例,有兩種定義:[1]

    二、標準正交基的幾何意義

    線性代數(shù)教材指出,如果基向量互相垂直,就是正交基,而且每個基向量的長度等于單位長度1,這個基就叫標準正交基。為什么要得到標準正交基呢?學生對從天而降的一大堆定義疑惑不解。講授這一內(nèi)容時,我們從內(nèi)積的幾何意義開始引入。

    三、施密特正交化的幾何意義

    線性代數(shù)中向量的內(nèi)積及正交性是連接幾何問題和代數(shù)問題的橋梁,可以將幾何代數(shù)化,代數(shù)幾何化。這也是在高維空間研究問題的基礎(chǔ),更加是線性代數(shù)后續(xù)內(nèi)容——實對稱矩陣對角化的理論基礎(chǔ)。在對這內(nèi)容的教學中,我們引導學生結(jié)合幾何背景來理解定義和定理,達到事半功倍的效果。

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