基于核心素養(yǎng)下的教與學(xué)
——以“定比點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用”為例

胡鑫娜

（浙江省紹興市新昌縣知新中學(xué) 浙江紹興 312500）

數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)教學(xué)的靈魂，是指學(xué)習(xí)者能夠從數(shù)學(xué)的角度看問題，能夠用數(shù)學(xué)的思維解決問題。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)應(yīng)如水中鹽、蜜中花，體匿性存，無痕有味；又如暖暖春雨，隨風(fēng)潛入夜，潤(rùn)物細(xì)如聲[1]。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)必隱藏在每一節(jié)課的教學(xué)任務(wù)中，每一節(jié)課教授的知識(shí)就是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)最肥沃的土壤。本節(jié)課就以“定比點(diǎn)差法在圓錐曲線中的應(yīng)用”為例，淺談數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的滲透教學(xué)。

點(diǎn)差法，是解決圓錐曲線問題的重要方法，其本質(zhì)是曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的相互聯(lián)系和整體轉(zhuǎn)化。在直線與圓錐曲線的教學(xué)中，往往涉及到“中點(diǎn)弦”，這才會(huì)聯(lián)想到點(diǎn)差法。那么，點(diǎn)差法只能解決中點(diǎn)弦問題么？其實(shí)不然，本文在學(xué)生原有知識(shí)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上進(jìn)行延伸、拓展，覓尋點(diǎn)差法的本源，挖掘數(shù)學(xué)模型，提高學(xué)生的解題能力和優(yōu)化解題思維。

一、教材分析和學(xué)情分析

圓錐曲線內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。直線與圓錐曲線所成的相交弦問題，又是高考的熱點(diǎn)，在歷年高考中占據(jù)著不可小覷的地位[2]。面對(duì)圓錐曲線問題，學(xué)生的普遍反應(yīng)是“過程繁瑣，運(yùn)算量大”，而得分也不高。因此，在教學(xué)中，如何把握重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，讓學(xué)生“多一些思維，少一些計(jì)算”，便成了教學(xué)的重中之重。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.回顧點(diǎn)差法的基本步驟，覓尋點(diǎn)差法的本質(zhì)；

2.領(lǐng)悟點(diǎn)差法的核心思想——“設(shè)而不求”；

3.理解并應(yīng)用定比點(diǎn)差法的本質(zhì)解決直線與圓錐曲線中的相交弦問題；

4.通過探究、思考，歸納定比點(diǎn)差法能夠解決的數(shù)學(xué)模型。5.提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)。

三、教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）回顧舊知，解決與中點(diǎn)和斜率相關(guān)的問題

問題設(shè)置：1.在圓錐曲線問題中，什么時(shí)候用點(diǎn)差法？2.歸納點(diǎn)差法的基本步驟。3.點(diǎn)差法是否只能解決中點(diǎn)弦問題呢？

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生回顧點(diǎn)差法的相關(guān)概念及步驟，點(diǎn)差法的核心思想是“設(shè)而不求”，利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的相互聯(lián)系，代點(diǎn)作差，最終得到與弦的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，減少了計(jì)算量，降低了計(jì)算難度。點(diǎn)差法主要能解決以下幾類問題：1.已知弦中點(diǎn)，求弦所在直線的方程；2.過定點(diǎn)的弦的中點(diǎn)軌跡；3.平行弦的中點(diǎn)軌跡。其他問題都是在這三類問題的基礎(chǔ)上進(jìn)行衍生得到的。學(xué)生在已有的知識(shí)構(gòu)建中，當(dāng)題目問題涉及到弦的斜率與弦的中點(diǎn)在一起時(shí)，能想到“點(diǎn)差法”。

（二）定比點(diǎn)差，構(gòu)造典型的數(shù)學(xué)模型解題

例2 定比點(diǎn)差法試用的數(shù)學(xué)模型

步驟4：聯(lián)系步驟1和步驟3的結(jié)論，進(jìn)行推導(dǎo)、延伸，得到相應(yīng)的結(jié)論。

設(shè)計(jì)意圖：通過典型例題的講解，讓學(xué)生歸納出定比點(diǎn)差法適用的數(shù)學(xué)模型：需要滿足的條件，基本的計(jì)算步驟，理清思路、拓展思維，更好地理解定比點(diǎn)差法。

（三）小結(jié)探討，內(nèi)化所學(xué)內(nèi)容

問題設(shè)置：從知識(shí)、思想、生活實(shí)際來談?wù)勛约旱氖斋@。

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生暢所欲言、開放式地交流、探討，獲得知識(shí)、素養(yǎng)、能力。

四、教學(xué)反思——以學(xué)生為本，提高數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

定比點(diǎn)差法，實(shí)際上是直線參數(shù)方程的變異形式，核心思想是“設(shè)而不求”。它是利用圓錐曲線上兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的聯(lián)系與差異，代點(diǎn)、擴(kuò)乘、作差，解決相應(yīng)的圓錐曲線問題，尤其是遇到定點(diǎn)、成比例等條件時(shí)，定比點(diǎn)差法有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。本文從特例出發(fā)，先讓學(xué)生體會(huì)定比點(diǎn)差法的相關(guān)概念，并歸納出定比點(diǎn)差法能夠解決的數(shù)學(xué)模型，然后通過鞏固提升，讓學(xué)生深層次地掌握定比點(diǎn)差法的相關(guān)概念和本質(zhì)。