信號時域分析的沖激函數(shù)匹配法新解析

于殿泓 李琳

摘? 要：目前各種版本的“信號與系統(tǒng)”教材中，對用沖激函數(shù)匹配法求解連續(xù)系統(tǒng)的時域響應(yīng)介紹的過于籠統(tǒng)，為使該教學(xué)知識點便于教學(xué)組織，對沖激函數(shù)匹配法進行了詳細的數(shù)學(xué)解析，使其更易于教學(xué)理解;同時總結(jié)了簡潔的應(yīng)用操作流程，并結(jié)合具體實例加以解釋說明。用所研究的方法可以更好地組織信號與系統(tǒng)時域分析的教學(xué)內(nèi)容。

關(guān)鍵詞：時域分析;沖激函數(shù)匹配法;數(shù)學(xué)解析;操作流程

中圖分類號：G642? ? ? ? ?文獻標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號：2096-000X（2020）07-0085-03

Abstract： In various of signal and system textbooks， there is few books in which the time domain solution of differential equations based on impulse function matching method is discussed in detail. In order to organize teaching expediently， the impulse function matching method is analyzed in detail in the paper. This makes the method easier to be understand in teaching. At the same time， a concise operation procedure based on the method is summarized. Combined with a specific example， the application of this method is explained in detail. The results show that the proposed method can better organize the teaching contents of time domain analysis of signal and system.

Keywords： time domain analysis; impulse function matching method; mathematical analysis; operation procedure

引言

“信號與系統(tǒng)”課程中，微分方程求解是線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)時域分析的重要組成部分，無論是微分方程的經(jīng)典法求解，還是零輸入零狀態(tài)法求解，都要涉及到系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)關(guān)系問題[1-2]。針對這一問題有多種解決方法被提出，其中近十幾年來相關(guān)教學(xué)資料及文獻中提及的沖激函數(shù)匹配法，是解決系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)關(guān)系的重要而有效的工具[3-4]。該法脫離具體的物理系統(tǒng)，是一般意義上的數(shù)學(xué)分析求解，正因為如此，所以要求沖激函數(shù)匹配法應(yīng)該具有這樣的特點：1. 嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)解析過程，2. 簡明的操作步驟。本文從這兩個方面對沖激函數(shù)匹配法進行分析和研究。

一、沖激函數(shù)匹配法的數(shù)學(xué)解析

沖激函數(shù)匹配法是信號課程新近引入的一種時域分析方法，但教材中對此方法的分析較為簡單，數(shù)學(xué)解析性不強，推導(dǎo)分析不甚嚴謹，所以對課堂教學(xué)組織帶來困難[5]。另外，學(xué)生在運用該法解題時，可操作性不夠理想。針對以上原因，并基于便于課堂教學(xué)組織的思想，探討了一種闡述沖激函數(shù)匹配法的新思路。

設(shè)在時域中描述連續(xù)線性時不變系統(tǒng)的一般微分方程為：

式中，r（t）——響應(yīng)信號，r（i）（t）為響應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)，i=0，1，2，…，n（n≥0且為整數(shù)）。

e（t）——激勵信號，e（j）（t）為激勵的各階導(dǎo)數(shù)，j=0，1，2，…，m（m≥0且為整數(shù)）。

r（0）（t）——響應(yīng)信號本身，即r（t）。

e（0）（t）——激勵信號本身，即e（t）。

時域中求該n階方程的全解需要n個獨立的初始條件，而用時域的經(jīng)典解法求解時，需要的初始條件是系統(tǒng)響應(yīng)的n個0+獨立狀態(tài)，即需要已知r（0）（0+）、r（1）（0+）、…、r（n-1）（0+），但對具體系統(tǒng)而言，這些往往條件是未知的，也是不容易求得的;不過對于具體系統(tǒng)，根據(jù)其狀態(tài)，可以知道（或易于求得）系統(tǒng)響應(yīng)的n個0-獨立狀態(tài)，即r（0）（0-）、r（1）（0-）、…、r（n-1）（0-），所以如果能夠明確0-狀態(tài)和0+狀態(tài)的關(guān)系，就可以方便地求得系統(tǒng)響應(yīng)的n個0+獨立狀態(tài)。沖激函數(shù)匹配法就是解決已知0-狀態(tài)求解0+狀態(tài)的有效方法之一。

對于式（1）所給出的一般線性時不變系統(tǒng)的標(biāo)準微分方程式，用沖激函數(shù)匹配法處理從0-狀態(tài)求解0+狀態(tài)的基本步驟如下：

將作用于該系統(tǒng)的激勵代入微分方程，若其自由項（微分方程的右端項）中不包含沖激函數(shù)？啄（t）和（或）的？啄（t）導(dǎo)數(shù)項，此時該系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)是相等的，即

若自由項中包含沖激函數(shù)？啄（t）和（或）的？啄（t）導(dǎo)數(shù)項，則此時該系統(tǒng)的0-狀態(tài)和0+狀態(tài)是不相等的，這時，根據(jù)沖激函數(shù)匹配法求所需的n個0+狀態(tài)的具體步驟如下：

（一）確定自由項中沖激函數(shù)？啄（t）的最高階導(dǎo)數(shù)p的值

將具體的激勵函數(shù)代入微分方程右端，根據(jù)方程自由項（微分方程的右端項）中包含的沖激函數(shù) （t）的最高階導(dǎo)數(shù)，直接可以確定p值。

（二）設(shè)定基本奇異等式項

該等式項是系統(tǒng)響應(yīng)的最高階導(dǎo)數(shù)與奇異函數(shù)關(guān)系的基本表達式，根據(jù)微分方程兩端的奇異項的匹配關(guān)系，基本奇異等式項可設(shè)為

該式即為求取系統(tǒng)的0+狀態(tài)的基本奇異等式項。其特征是：方程的左端為系統(tǒng)響應(yīng)r（t）的最高階導(dǎo)數(shù);方程的右端為以？啄（t）為基本函數(shù)的奇異多項式，該多項式的最高階導(dǎo)數(shù)為p階（由自由項決定），最低階導(dǎo)數(shù)為-1階（實際這項為沖激函數(shù)的不定積分項——即單位階躍函數(shù)）。此奇異方程的右端共有p+2項，各項系數(shù)kp，kp-1，…，k1，k0，k-1待定。

（三）以基本奇異等式項為基礎(chǔ)，推導(dǎo)出r（i）（t）（i=0，1，2，…，n-1）的相應(yīng)奇異等式項（共n個等式項）

首先寫出r（n-1）（t）的奇異等式項。可將式（3）兩端求不定積分得到，即

（4）（1）

接下來寫出r（n-2）（t）的奇異等式項?？捎墒剑?）（1）兩端求不定積分得到，即

（4）（2）

以此類推，直至求出r（t）和r（t），具體表達式為

（4）（n-1）

（4）（n）

這樣可以得到n個奇異等式項，將其聯(lián)立構(gòu)成以下方程組

（4）

注意，方程組（4）中，？啄（-i）（t）（i=1，2，…，n+1）是？啄（t）的i重不定積分。

（四）求解方程組（4）中的待定系數(shù)kp，kp-1，…，k1，k0，k-1（共p+2個待定系數(shù)）

將方程組（4）中的等式（4）（1），（4）（2），……，（4）（n-1），（4）（n）、式（3）以及激勵項e（t）代入式（1），根據(jù)該奇異方程兩端相應(yīng)項平衡（對應(yīng)項系數(shù)相等）的原則，求出式（3）中的待定系數(shù)。

由于這里是在特定時域區(qū)間t∈（0-，0+）范圍內(nèi)求解分析響應(yīng)的狀態(tài)的跳變情況，所以求解上述系數(shù)時，需注意以下兩點：

第一，所代入的式（4）（i）（i=1，2，…，n）逐項中，所有包含? ？啄（-i）（t）（i>1）的各項均以零替代。

第二，對激勵函數(shù)e（t）代入所得方程的自由項進行分析處理。首先找出？啄（t）函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)項，這些是匹配時所需要的奇異函數(shù)項;然后將剩余項作為一個整體，視其從0-到0+有無跳變進行取舍。若無跳變，此整體項不是奇異函數(shù)，舍去;若有跳變，此整體項是奇異函數(shù)，保留，且根據(jù)跳變量的值，將該整體項用以跳變量為加權(quán)值的階躍函數(shù)替代。

（五）給出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）的數(shù)學(xué)關(guān)系式

將方程組（4）中的各個等式（4）（i）在特定區(qū)間（0-，0+）內(nèi)做如下分析：對方程組（4）中的一般項（4）（i）分別以t=0+和t=0-代入得到兩個等式，且兩式求差，得

在式（5）的右端各項中，有兩部分取值為零。一部分是？啄（t）函數(shù)及其個階導(dǎo)數(shù)項在t=0+和t=0-時刻均為零;另一部分是包含？啄（-i）（t）（i>1）的各項均為零。這樣，式（5）的右端各項中，只有階躍項[？啄（-1）（t）項]在t=0+時存在不為零的確定值。這樣根據(jù)式（5），對式（4）的逐項處理可得n個等式。處理過程中，若被處理項右端奇異項無階躍函數(shù)項（即不包含？啄（-1）（t）項），則該項被處理后等式右端為零。將這些等式聯(lián)立，可組成如下一元n次方程組式（6）

方程組（6）中，系數(shù)ki（i=0，2，…，n-1）值在前述步驟中已求得（或部分求得，未求解過的系數(shù)為零），系統(tǒng)響應(yīng)的0-狀態(tài)值r（i）（0-）（i=0，2，…，n-1）亦給出（或根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)求出），這樣系統(tǒng)響應(yīng)的0+狀態(tài)值r（i）（0+）（i=0，2，…，n-1）即可求出，從而可以實現(xiàn)線性時不變連續(xù)系統(tǒng)的時域經(jīng)典分析求解。

二、匹配法求解系統(tǒng)0+狀態(tài)應(yīng)用實例

下面通過具體實例對所歸納的步驟進行實踐與分析。圖1所示給出了具體的電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，在t<0開關(guān)處于圖中1位置并且已經(jīng)達到穩(wěn)定;t=0時刻，開關(guān)S瞬間由1合向2，這里的激勵是圖中的e（t），響應(yīng)是圖中的i（t），用經(jīng)典法求解i（t）時，需要知道響應(yīng)i（t）的0+狀態(tài)值。這里用沖激函數(shù)匹配法求解該系統(tǒng)的i（0+）及i（0+）兩個狀態(tài)值。

根據(jù)電網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)及其元器件所遵循的物理定律，可以整理出該網(wǎng)絡(luò)的輸入輸出微分方程并求出系統(tǒng)0-的響應(yīng)狀態(tài)。系統(tǒng)的微分方程為：

圖1 求解示例電網(wǎng)絡(luò)

系統(tǒng)的0-的狀態(tài)值為：i（0-）=0.8（A），i（0-）=0。

根據(jù)上述條件，基于沖激函數(shù)匹配法的i（0+）及i'（0+）的求解步驟如下：

將激勵（電壓有2V跳變到4V）代入式（7），得到

步驟（一） 確定p（這里p=1）

步驟（二） 設(shè)定基本奇異等式項（共p+2=3項）

步驟（三） 導(dǎo)出降階r（i）（t）（i=0，1）的相應(yīng)奇異等式項（共n=2個等式項）

步驟（四） 求解式（10）中的待定系數(shù)k1，k0，k-1

將式（9）、式（10）代入式（8），并注意到？啄（-2）（t）項和？啄（-3）（t）項均為零，有

由相應(yīng)項系數(shù)匹配法求得：k1=2，k0=-2，k-1=10

步驟（五） 給出r（i）（0+）和r（i）（0-）（i=0，1）的數(shù)學(xué)關(guān)系式

因為i（0-）=0.8（A），i（0-）=0，所以可求得系統(tǒng)0+狀態(tài)值：r（0+）=2.8V，r（0+）=-2V

三、結(jié)束語

這里所闡述的沖激函數(shù)匹配法的新解析及其該方法的應(yīng)用操作流程，對于LTI連續(xù)系統(tǒng)的時域經(jīng)典分析教學(xué)內(nèi)容的合理組織，將具有推動作用;同時，鑒于總結(jié)歸納出明晰的應(yīng)用流程和系統(tǒng)在不同情況下的處理原則，也可大大地方便學(xué)生對沖激函數(shù)匹配法的應(yīng)用。

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